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14. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球.”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理(如图所示)，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”. 张师傅欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900 N(N：牛顿，力的单位)和1 m.
(1)设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，用式子表示F与l的关系，并说明F与l的比例关系.
(2)当动力臂l为2 m时，则撬动这块石头至少需要的动力F是多少牛？
(1)设动力为F(单位：N)，动力臂为l(单位：m)，用式子表示F与l的关系，并说明F与l的比例关系.
(2)当动力臂l为2 m时，则撬动这块石头至少需要的动力F是多少牛？
答案
(1)$Fl=900$，F与l成反比例关系 (2)450 N
解析
【分析】
解题思路如下：(1)首先利用题目给出的杠杆原理公式“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”，将已知的阻力、阻力臂数值代入公式，即可推导出F和l的关系式；再根据反比例关系的定义：两个相关联的量，乘积为定值时两个量成反比例关系，判断F与l的比例关系。(2)第二问属于代数式求值问题，将l=2代入第一问得到的关系式中，计算即可求出对应的动力F的数值。
【解析】
(1)根据杠杆原理：$\mathrm{阻力}×\mathrm{阻力臂}=\mathrm{动力}×\mathrm{动力臂}$，已知阻力为900N，阻力臂为1m，动力为F，动力臂为l，代入可得：
$900×1 = F×l$
整理得：$Fl=900$，即$F=\frac{900}{l}$。
由于F和l的乘积为固定值900，因此F与l成反比例关系。
(2)当动力臂$l=2\ \mathrm{m}$时，将$l=2$代入$Fl=900$中，得：
$F=\frac{900}{2}=450\ \mathrm{N}$
因此撬动这块石头至少需要动力450N。
【答案】
(1)$Fl=900$，F与l成反比例关系 (2)450 N
【知识点】
列代数式；反比例关系；代数式求值
【点评】
本题结合生活中杠杆撬动石头的实际场景，考查了数学知识在实际问题中的简单应用，解题的核心是准确套用题目给出的公式，正确推导变量关系并代入计算，能很好地考查学生的知识应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：(1)首先利用题目给出的杠杆原理公式“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”，将已知的阻力、阻力臂数值代入公式，即可推导出F和l的关系式；再根据反比例关系的定义：两个相关联的量，乘积为定值时两个量成反比例关系，判断F与l的比例关系。(2)第二问属于代数式求值问题，将l=2代入第一问得到的关系式中，计算即可求出对应的动力F的数值。
【解析】
(1)根据杠杆原理：$\mathrm{阻力}×\mathrm{阻力臂}=\mathrm{动力}×\mathrm{动力臂}$，已知阻力为900N，阻力臂为1m，动力为F，动力臂为l，代入可得：
$900×1 = F×l$
整理得：$Fl=900$，即$F=\frac{900}{l}$。
由于F和l的乘积为固定值900，因此F与l成反比例关系。
(2)当动力臂$l=2\ \mathrm{m}$时，将$l=2$代入$Fl=900$中，得：
$F=\frac{900}{2}=450\ \mathrm{N}$
因此撬动这块石头至少需要动力450N。
【答案】
(1)$Fl=900$，F与l成反比例关系 (2)450 N
【知识点】
列代数式；反比例关系；代数式求值
【点评】
本题结合生活中杠杆撬动石头的实际场景，考查了数学知识在实际问题中的简单应用，解题的核心是准确套用题目给出的公式，正确推导变量关系并代入计算，能很好地考查学生的知识应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.9
15. 某市有两家出租车公司，收费标准不同. 甲公司收费标准：起步价10元，超过3 km后，超过的部分按照每千米1.8元收费. 乙公司收费标准：起步价20元，超过8 km后，超过的部分按照每千米1.5元收费. 设车辆行驶x km，x取整数，不足1 km的路程按1 km计费. 根据上述内容，完成以下问题：
(1)当x＞8，且x为整数时，请用含x的代数式分别表示甲、乙两公司的收费.
(2)当行驶路程为6 km时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？
(3)当行驶路程为12 km时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？便宜多少元？
(1)当x＞8，且x为整数时，请用含x的代数式分别表示甲、乙两公司的收费.
(2)当行驶路程为6 km时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？
(3)当行驶路程为12 km时，通过计算说明哪家公司的费用更便宜？便宜多少元？
答案
15. (1)甲公司收费：$10+1.8(x-3)$，乙公司收费：$20+1.5(x-8)$ (2)当$x=6$时，甲公司收费 15.4 元，乙收费 20 元，所以甲公司的费用更便宜. (3)当$x=12$时，甲公司收费 26.2 元，乙收费 26 元，所以乙公司的费用更便宜，便宜 0.2 元.
解析
【分析】
(1) 分段计费问题的核心是“收费=起步价+超出起步里程部分的费用”。当x＞8时，甲公司起步里程为3km，超出部分路程为(x-3)km，按每千米1.8元计费，代入即可得到甲的收费代数式；乙公司起步里程为8km，超出部分路程为(x-8)km，按每千米1.5元计费，代入即可得到乙的收费代数式。
(2) 当x=6时，先判断里程所属的收费区间：甲公司6＞3，需计算超出3km的费用；乙公司6＜8，仍在起步里程内，仅收起步价，分别计算后比较大小即可得出结论。
(3) 当x=12时，12＞8，可直接代入第(1)问得到的两个代数式计算收费，再比较大小，两者的差值就是便宜的金额。
【解析】
(1) 当x＞8且x为整数时：
甲公司收费：起步价10元加上超过3km部分的费用，超过3km的路程为(x-3)km，超出部分费用为1.8(x-3)元，因此总收费为$10+1.8(x-3)$元；
乙公司收费：起步价20元加上超过8km部分的费用，超过8km的路程为(x-8)km，超出部分费用为1.5(x-8)元，因此总收费为$20+1.5(x-8)$元。
(2) 当x=6时：
甲公司收费：$10 + 1.8×(6-3) = 10 + 5.4 = 15.4$（元）
乙公司收费：6km未超过8km的起步里程，因此收费为20元。
因为$15.4＜20$，所以甲公司费用更便宜。
(3) 当x=12时：
甲公司收费：$10 + 1.8×(12-3) = 10 + 16.2 = 26.2$（元）
乙公司收费：$20 + 1.5×(12-8) = 20 + 6 = 26$（元）
因为$26＜26.2$，所以乙公司费用更便宜，便宜金额为$26.2-26=0.2$元。
【答案】
(1)甲公司收费：$10+1.8(x-3)$，乙公司收费：$20+1.5(x-8)$
(2)当$x=6$时，甲公司收费 15.4 元，乙收费 20 元，所以甲公司的费用更便宜。
(3)当$x=12$时，甲公司收费 26.2 元，乙收费 26 元，所以乙公司的费用更便宜，便宜 0.2 元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中出租车收费的实际场景，考查分段计费的应用，解题关键是明确不同行驶里程对应的收费规则，计算时注意数值代入准确即可。
【难度系数】
0.8
(1) 分段计费问题的核心是“收费=起步价+超出起步里程部分的费用”。当x＞8时，甲公司起步里程为3km，超出部分路程为(x-3)km，按每千米1.8元计费，代入即可得到甲的收费代数式；乙公司起步里程为8km，超出部分路程为(x-8)km，按每千米1.5元计费，代入即可得到乙的收费代数式。
(2) 当x=6时，先判断里程所属的收费区间：甲公司6＞3，需计算超出3km的费用；乙公司6＜8，仍在起步里程内，仅收起步价，分别计算后比较大小即可得出结论。
(3) 当x=12时，12＞8，可直接代入第(1)问得到的两个代数式计算收费，再比较大小，两者的差值就是便宜的金额。
【解析】
(1) 当x＞8且x为整数时：
甲公司收费：起步价10元加上超过3km部分的费用，超过3km的路程为(x-3)km，超出部分费用为1.8(x-3)元，因此总收费为$10+1.8(x-3)$元；
乙公司收费：起步价20元加上超过8km部分的费用，超过8km的路程为(x-8)km，超出部分费用为1.5(x-8)元，因此总收费为$20+1.5(x-8)$元。
(2) 当x=6时：
甲公司收费：$10 + 1.8×(6-3) = 10 + 5.4 = 15.4$（元）
乙公司收费：6km未超过8km的起步里程，因此收费为20元。
因为$15.4＜20$，所以甲公司费用更便宜。
(3) 当x=12时：
甲公司收费：$10 + 1.8×(12-3) = 10 + 16.2 = 26.2$（元）
乙公司收费：$20 + 1.5×(12-8) = 20 + 6 = 26$（元）
因为$26＜26.2$，所以乙公司费用更便宜，便宜金额为$26.2-26=0.2$元。
【答案】
(1)甲公司收费：$10+1.8(x-3)$，乙公司收费：$20+1.5(x-8)$
(2)当$x=6$时，甲公司收费 15.4 元，乙收费 20 元，所以甲公司的费用更便宜。
(3)当$x=12$时，甲公司收费 26.2 元，乙收费 26 元，所以乙公司的费用更便宜，便宜 0.2 元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中出租车收费的实际场景，考查分段计费的应用，解题关键是明确不同行驶里程对应的收费规则，计算时注意数值代入准确即可。
【难度系数】
0.8
