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一、选择题
1. 下列各组数中,数值相等的一组是(
A.$2^3$与$3^2$
B.$-2^3$与$(-2)^3$
C.$-3^2$与$(-3)^2$
D.$(-3×2)^2$与$-3^2×2^2$
1. 下列各组数中,数值相等的一组是(
B
).A.$2^3$与$3^2$
B.$-2^3$与$(-2)^3$
C.$-3^2$与$(-3)^2$
D.$(-3×2)^2$与$-3^2×2^2$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的相关运算，解题核心是明确乘方的定义、运算顺序以及负号在不同位置时的运算差异。解题思路为：分别计算每个选项中两个算式的结果，再对比数值是否相等，计算时注意：①没有括号时，负号不属于乘方的底数，要先算乘方再添加负号；②有括号时，负号属于乘方的底数，要把括号内的整体作为底数进行乘方运算；③有括号先算括号内的运算，先乘方后乘除。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，数值不相等；
B选项：$-2^3=-(2×2×2)=-8$，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8=-8$，数值相等；
C选项：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，数值不相等；
D选项：$(-3×2)^2=(-6)^2=36$，$-3^2×2^2=-9×4=-36$，$36≠-36$，数值不相等。
综上，数值相等的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算,有理数符号法则,混合运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是混淆负号是否属于乘方的底数，做题时要注意区分有括号和无括号时乘方运算的差异，严格按照运算顺序计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方的相关运算，解题核心是明确乘方的定义、运算顺序以及负号在不同位置时的运算差异。解题思路为：分别计算每个选项中两个算式的结果，再对比数值是否相等，计算时注意：①没有括号时，负号不属于乘方的底数，要先算乘方再添加负号；②有括号时，负号属于乘方的底数，要把括号内的整体作为底数进行乘方运算；③有括号先算括号内的运算，先乘方后乘除。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，$8≠9$，数值不相等；
B选项：$-2^3=-(2×2×2)=-8$，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8=-8$，数值相等；
C选项：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，数值不相等；
D选项：$(-3×2)^2=(-6)^2=36$，$-3^2×2^2=-9×4=-36$，$36≠-36$，数值不相等。
综上，数值相等的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算,有理数符号法则,混合运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是混淆负号是否属于乘方的底数，做题时要注意区分有括号和无括号时乘方运算的差异，严格按照运算顺序计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列各数中,与$(-7 - 2)^5$相等的是(
A.$9^5$
B.$-9^5$
C.$(-7)^5 + (-2)^5$
D.$(-7)^5 - 2^5$
B
).A.$9^5$
B.$-9^5$
C.$(-7)^5 + (-2)^5$
D.$(-7)^5 - 2^5$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时遵循有理数混合运算的顺序，先计算小括号内的减法运算，再根据乘方的符号性质化简结果，最后逐一比对选项即可选出正确答案，注意不能随意拆分括号内的加减运算后分别乘方，避免出现运算错误。
【解析】
第一步：先计算原式括号内的运算：
$-7 - 2 = -9$，因此原式可转化为$(-9)^5$。
第二步：根据乘方的符号法则化简：
负数的奇次幂为负数，5是奇数，因此$(-9)^5 = -9^5$。
第三步：逐一排除错误选项：
A选项$9^5$为正数，与计算结果符号相反，错误；
C、D选项错误拆解了括号内的加减运算，和的乘方不等于乘方的和，无对应运算法则，均错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算；乘方的符号法则
【点评】
本题侧重考察有理数运算的优先级，需牢记先算括号内、再算乘方的运算顺序，同时要区分负数的乘方和乘方的相反数的区别，不要随意拆分运算括号。
【难度系数】
0.8
解题时遵循有理数混合运算的顺序，先计算小括号内的减法运算，再根据乘方的符号性质化简结果，最后逐一比对选项即可选出正确答案，注意不能随意拆分括号内的加减运算后分别乘方，避免出现运算错误。
【解析】
第一步：先计算原式括号内的运算：
$-7 - 2 = -9$，因此原式可转化为$(-9)^5$。
第二步：根据乘方的符号法则化简：
负数的奇次幂为负数，5是奇数，因此$(-9)^5 = -9^5$。
第三步：逐一排除错误选项：
A选项$9^5$为正数，与计算结果符号相反，错误；
C、D选项错误拆解了括号内的加减运算，和的乘方不等于乘方的和，无对应运算法则，均错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算；乘方的符号法则
【点评】
本题侧重考察有理数运算的优先级，需牢记先算括号内、再算乘方的运算顺序，同时要区分负数的乘方和乘方的相反数的区别，不要随意拆分运算括号。
【难度系数】
0.8
3. 在$-(-2)^2$，$-(-2^2)$，$-2^2$，$(-2)^2$，$-|-2|$，$(-2)^{2n}$（$n$为正整数）这6个数中，负数有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确运算顺序，先算乘方、绝对值，再算相反数，逐一计算出6个数的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）统计负数的个数即可。计算时要特别注意括号对运算顺序的影响，以及负数偶次幂的符号规律。
【解析】
我们逐个计算这6个数的结果：
1. 计算$-(-2)^2$：先算乘方$(-2)^2=4$，再取相反数得$-4$，是负数；
2. 计算$-(-2^2)$：先算括号内的$2^2=4$，括号内为$-4$，再取相反数得$4$，是正数；
3. 计算$-2^2$：先算乘方$2^2=4$，再取相反数得$-4$，是负数；
4. 计算$(-2)^2$：乘方结果为$4$，是正数；
5. 计算$-|-2|$：先算绝对值$|-2|=2$，再取相反数得$-2$，是负数；
6. 计算$(-2)^{2n}$（$n$为正整数）：$2n$是偶数，负数的偶次幂为正，所以结果是正数。
综上，负数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，正负数判定
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算的顺序，解题时要牢记：乘方运算的底数带括号时，括号内整体是底数；底数不带括号时，仅底数的绝对值参与乘方运算，再结合符号规则判断结果正负即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确运算顺序，先算乘方、绝对值，再算相反数，逐一计算出6个数的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）统计负数的个数即可。计算时要特别注意括号对运算顺序的影响，以及负数偶次幂的符号规律。
【解析】
我们逐个计算这6个数的结果：
1. 计算$-(-2)^2$：先算乘方$(-2)^2=4$，再取相反数得$-4$，是负数；
2. 计算$-(-2^2)$：先算括号内的$2^2=4$，括号内为$-4$，再取相反数得$4$，是正数；
3. 计算$-2^2$：先算乘方$2^2=4$，再取相反数得$-4$，是负数；
4. 计算$(-2)^2$：乘方结果为$4$，是正数；
5. 计算$-|-2|$：先算绝对值$|-2|=2$，再取相反数得$-2$，是负数；
6. 计算$(-2)^{2n}$（$n$为正整数）：$2n$是偶数，负数的偶次幂为正，所以结果是正数。
综上，负数共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，正负数判定
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算的顺序，解题时要牢记：乘方运算的底数带括号时，括号内整体是底数；底数不带括号时，仅底数的绝对值参与乘方运算，再结合符号规则判断结果正负即可。
【难度系数】
0.7
4. 直接写出结果：
① $5^3 =$
⑤ $(-5)^4 =$
① $5^3 =$
125
； ② $3^5 =$ 243
； ③ $(-4)^3 =$ -64
； ④ $-4^3 =$ -64
；⑤ $(-5)^4 =$
625
； ⑥ $-5^4 =$ -625
； ⑦ $(-\dfrac{2}{3})^3 =$ $-\dfrac{8}{27}$
； ⑧ $-\dfrac{2^3}{3} =$ $-\dfrac{8}{3}$
。答案
4. ① 125；② 243；③ -64；④ -64；⑤ 625；⑥ -625；⑦ $-\dfrac{8}{27}$；⑧ $-\dfrac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，其次要注意区分两类运算的底数：①括号包裹负数/分数的乘方，底数是括号内的整体；②没有括号的带负号的乘方、分子是乘方形式的分数乘方，底数仅为负号后的数字、分子里的乘方底数，负号和分母不属于乘方的底数。运算时遵循符号法则：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，正数的任何次幂都为正，再逐题计算即可。
【解析】
① 根据乘方定义，$5^3 = 5 × 5 × 5 = 125$；
② $3^5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243$；
③ 底数是$-4$，负数的奇次幂为负，$(-4)^3 = (-4) × (-4) × (-4) = -64$；
④ 底数是$4$，负号在乘方运算外，$-4^3 = -(4 × 4 × 4) = -64$；
⑤ 底数是$-5$，负数的偶次幂为正，$(-5)^4 = (-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625$；
⑥ 底数是$5$，负号在乘方运算外，$-5^4 = -(5 × 5 × 5 × 5) = -625$；
⑦ 底数是$-\frac{2}{3}$，负数的奇次幂为负，分数乘方分子分母分别乘方，$(-\dfrac{2}{3})^3 = \dfrac{(-2)^3}{3^3} = -\dfrac{8}{27}$；
⑧ 仅分子的$2$是乘方的底数，先算乘方再算除法，$-\dfrac{2^3}{3} = -\dfrac{2 × 2 × 2}{3} = -\dfrac{8}{3}$。
【答案】
① $125$；② $243$；③ $-64$；④ $-64$；⑤ $625$；⑥ $-625$；⑦ $-\dfrac{8}{27}$；⑧ $-\dfrac{8}{3}$
【知识点】
乘方的定义；有理数乘方符号法则；乘方运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数，掌握底数的判断方法和乘方符号规律即可快速准确解题，能有效巩固乘方的基本概念和运算规则。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，其次要注意区分两类运算的底数：①括号包裹负数/分数的乘方，底数是括号内的整体；②没有括号的带负号的乘方、分子是乘方形式的分数乘方，底数仅为负号后的数字、分子里的乘方底数，负号和分母不属于乘方的底数。运算时遵循符号法则：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，正数的任何次幂都为正，再逐题计算即可。
【解析】
① 根据乘方定义，$5^3 = 5 × 5 × 5 = 125$；
② $3^5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243$；
③ 底数是$-4$，负数的奇次幂为负，$(-4)^3 = (-4) × (-4) × (-4) = -64$；
④ 底数是$4$，负号在乘方运算外，$-4^3 = -(4 × 4 × 4) = -64$；
⑤ 底数是$-5$，负数的偶次幂为正，$(-5)^4 = (-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625$；
⑥ 底数是$5$，负号在乘方运算外，$-5^4 = -(5 × 5 × 5 × 5) = -625$；
⑦ 底数是$-\frac{2}{3}$，负数的奇次幂为负，分数乘方分子分母分别乘方，$(-\dfrac{2}{3})^3 = \dfrac{(-2)^3}{3^3} = -\dfrac{8}{27}$；
⑧ 仅分子的$2$是乘方的底数，先算乘方再算除法，$-\dfrac{2^3}{3} = -\dfrac{2 × 2 × 2}{3} = -\dfrac{8}{3}$。
【答案】
① $125$；② $243$；③ $-64$；④ $-64$；⑤ $625$；⑥ $-625$；⑦ $-\dfrac{8}{27}$；⑧ $-\dfrac{8}{3}$
【知识点】
乘方的定义；有理数乘方符号法则；乘方运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数，掌握底数的判断方法和乘方符号规律即可快速准确解题，能有效巩固乘方的基本概念和运算规则。
【难度系数】
0.85
5. 若$x^2=(-3)^2$，则$x=$
$\pm 3$
；若$x^3=(-4)^3$，则$x=$$-4$
；若$x^2=|(-4)^3|$，则$x=$$\pm 8$
。答案
5. $\pm 3$；$-4$；$\pm 8$
解析
【分析】
解决本题需要先计算出每个小问等号右侧的结果，再结合平方根、立方根的性质求解x：①一个正数有两个平方根，二者互为相反数；②任意实数的立方根只有一个，且符号和原数保持一致。第一问先算$(-3)^2$的结果，再求其平方根即可；第二问根据立方根的唯一性直接得出结果；第三问先计算乘方再算绝对值，最后求平方根即可。
【解析】
1. 求解第一个空：
先计算等号右侧的值：$(-3)^2=9$，即$x^2=9$。
因为$(±3)^2=9$，所以$x=±3$。
2. 求解第二个空：
等号右侧为$(-4)^3$，根据立方根的性质，若两个数的立方相等，则这两个数相等，因此$x=-4$。
3. 求解第三个空：
先计算等号右侧的值：$(-4)^3=-64$，$|(-4)^3|=|-64|=64$，即$x^2=64$。
因为$(±8)^2=64$，所以$x=±8$。
【答案】
$\pm 3$；$-4$；$\pm 8$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；乘方与绝对值运算
【点评】
本题是基础运算题，核心要区分平方根和立方根的差异：正数的平方根有两个，不要漏写负的结果；而立方根具有唯一性，正数的立方根为正，负数的立方根为负。计算时要注意先化简等式右侧的算式，再求解未知量。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先计算出每个小问等号右侧的结果，再结合平方根、立方根的性质求解x：①一个正数有两个平方根，二者互为相反数；②任意实数的立方根只有一个，且符号和原数保持一致。第一问先算$(-3)^2$的结果，再求其平方根即可；第二问根据立方根的唯一性直接得出结果；第三问先计算乘方再算绝对值，最后求平方根即可。
【解析】
1. 求解第一个空：
先计算等号右侧的值：$(-3)^2=9$，即$x^2=9$。
因为$(±3)^2=9$，所以$x=±3$。
2. 求解第二个空：
等号右侧为$(-4)^3$，根据立方根的性质，若两个数的立方相等，则这两个数相等，因此$x=-4$。
3. 求解第三个空：
先计算等号右侧的值：$(-4)^3=-64$，$|(-4)^3|=|-64|=64$，即$x^2=64$。
因为$(±8)^2=64$，所以$x=±8$。
【答案】
$\pm 3$；$-4$；$\pm 8$
【知识点】
平方根的性质；立方根的性质；乘方与绝对值运算
【点评】
本题是基础运算题，核心要区分平方根和立方根的差异：正数的平方根有两个，不要漏写负的结果；而立方根具有唯一性，正数的立方根为正，负数的立方根为负。计算时要注意先化简等式右侧的算式，再求解未知量。
【难度系数】
0.8
6. 找规律填数：$\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{27}, -\dfrac{4}{81}$,
$\dfrac{5}{243}$
, $-\dfrac{6}{729}$
.答案
6. $\dfrac{5}{243}$；$-\dfrac{6}{729}$
解析
【分析】解决这道找规律题可以将数列中的每一项拆分为符号、分子、分母三个部分分别探究规律：①符号：观察前4项，第1、3项为正，第2、4项为负，可得出规律：奇数项符号为正，偶数项符号为负；②分子：前4项的分子依次是1、2、3、4，和项数完全对应，可得第n项的分子就是n；③分母：前4项的分母依次是3、9、27、81，分别对应3的1次方、3的2次方、3的3次方、3的4次方，可得第n项的分母为3的n次方。结合三部分规律即可求出后续两项。
【解析】先求第5项：第5项是奇数项，符号为正，分子为5，分母为$3^5=243$，因此第5项是$\dfrac{5}{243}$；再求第6项：第6项是偶数项，符号为负，分子为6，分母为$3^6=729$，因此第6项是$-\dfrac{6}{729}$。
【答案】$\dfrac{5}{243}$；$-\dfrac{6}{729}$
【知识点】数字规律探究、乘方的意义、正负数的性质
【点评】解决数列类找规律问题，拆分数字的不同组成部分分别分析是常用方法，解题时要注意不要遗漏正负号交替的规律。
【难度系数】0.8
【解析】先求第5项：第5项是奇数项，符号为正，分子为5，分母为$3^5=243$，因此第5项是$\dfrac{5}{243}$；再求第6项：第6项是偶数项，符号为负，分子为6，分母为$3^6=729$，因此第6项是$-\dfrac{6}{729}$。
【答案】$\dfrac{5}{243}$；$-\dfrac{6}{729}$
【知识点】数字规律探究、乘方的意义、正负数的性质
【点评】解决数列类找规律问题，拆分数字的不同组成部分分别分析是常用方法，解题时要注意不要遗漏正负号交替的规律。
【难度系数】0.8
三、解答题
7. 计算下列各式：
(1) $(-4)^2 ÷ (-8) - (-1)^{10}$；
(2) $-5^3 × (-\dfrac{2}{5})^2 ÷ (-0.4)^3$。
7. 计算下列各式：
(1) $(-4)^2 ÷ (-8) - (-1)^{10}$；
(2) $-5^3 × (-\dfrac{2}{5})^2 ÷ (-0.4)^3$。
答案
7. (1) -3 (2) $\dfrac{625}{2}$
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。解题时首先要准确计算各乘方项的结果，尤其注意带负号的乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，同时要注意区分$-5^3$是$5$的三次方的相反数，底数为$5$而非$-5$。乘除运算阶段可统一为分数形式计算，能降低出错率，最后按顺序计算最终结果即可。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：
$(-4)^2 = 16$，$(-1)^{10}=1$
第二步计算除法：
$16 ÷ (-8) = -2$
第三步计算减法：
$-2 - 1 = -3$
(2) 先将小数转化为分数方便运算：$0.4=\frac{2}{5}$
第一步计算乘方：
$-5^3 = -125$，$(-\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$，$(-0.4)^3=(-\frac{2}{5})^3=-\frac{8}{125}$
第二步按从左到右的顺序计算乘除：
原式$= -125 × \frac{4}{25} ÷ (-\frac{8}{125})$
$= -20 × (-\frac{125}{8})$
$= \frac{20×125}{8}$
$= \frac{2500}{8} = \frac{625}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{625}{2}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 有理数混合运算 3. 有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，解题核心是牢记混合运算顺序，重点注意乘方运算的符号判断，进行乘除运算时将小数转化为分数可简化计算过程，运算过程中要留意每一步的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。解题时首先要准确计算各乘方项的结果，尤其注意带负号的乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，同时要注意区分$-5^3$是$5$的三次方的相反数，底数为$5$而非$-5$。乘除运算阶段可统一为分数形式计算，能降低出错率，最后按顺序计算最终结果即可。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：
$(-4)^2 = 16$，$(-1)^{10}=1$
第二步计算除法：
$16 ÷ (-8) = -2$
第三步计算减法：
$-2 - 1 = -3$
(2) 先将小数转化为分数方便运算：$0.4=\frac{2}{5}$
第一步计算乘方：
$-5^3 = -125$，$(-\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$，$(-0.4)^3=(-\frac{2}{5})^3=-\frac{8}{125}$
第二步按从左到右的顺序计算乘除：
原式$= -125 × \frac{4}{25} ÷ (-\frac{8}{125})$
$= -20 × (-\frac{125}{8})$
$= \frac{20×125}{8}$
$= \frac{2500}{8} = \frac{625}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{625}{2}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 有理数混合运算 3. 有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，解题核心是牢记混合运算顺序，重点注意乘方运算的符号判断，进行乘除运算时将小数转化为分数可简化计算过程，运算过程中要留意每一步的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
