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8. 你喜欢吃“手拉面”吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示（假设在拉的过程中面条没有断）。
（1）经过3次捏合后，可以拉出
（2）到第几次捏合后可拉出32根细面条？
（3）经过n次捏合后，可以拉出多少根细面条（用含n的式子表示）？
（4）假设每根细面条的长度是60 cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少米？
（1）经过3次捏合后，可以拉出
8
根细面条；（2）到第几次捏合后可拉出32根细面条？
（3）经过n次捏合后，可以拉出多少根细面条（用含n的式子表示）？
（4）假设每根细面条的长度是60 cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少米？
答案
8. (1) 8 (2) 5 (3) $2^n$ (4) $2^{10}×0.6=614.4(m)$
解析
【分析】
解决本题首先需要观察每次捏合后面条数量的变化规律：初始是1根面条，每次捏合拉伸后，面条的数量都会变为之前的2倍，即第1次捏合后是2根，第2次是4根，第3次是8根，以此类推，可知捏合次数和面条数量的关系符合乘方的规律，再根据各小问的要求结合规律计算即可，注意第四问要先统一单位再计算总长度。
【解析】
（1）观察规律：第1次捏合后面条数量为$2^1=2$根，第2次捏合后为$2^2=4$根，因此第3次捏合后数量为$2^3=8$根；
（2）设第$x$次捏合后可拉出32根细面条，根据规律可得$2^x=32$，因为$2^5=32$，所以$x=5$；
（3）结合前几次的规律可知，经过$n$次捏合后，面条数量为$2^n$根；
（4）捏合10次后，面条总根数为$2^{10}=1024$根，每根长度$60\mathrm{cm}=0.6\mathrm{m}$，总长度为$1024×0.6=614.4\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 8；(2) 5；(3) $2^n$；(4) 614.4 m
【知识点】
乘方的实际应用，规律探究，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方相关知识，解题核心是找到每次捏合后面条数量翻倍的规律，再结合乘方运算求解，计算时注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要观察每次捏合后面条数量的变化规律：初始是1根面条，每次捏合拉伸后，面条的数量都会变为之前的2倍，即第1次捏合后是2根，第2次是4根，第3次是8根，以此类推，可知捏合次数和面条数量的关系符合乘方的规律，再根据各小问的要求结合规律计算即可，注意第四问要先统一单位再计算总长度。
【解析】
（1）观察规律：第1次捏合后面条数量为$2^1=2$根，第2次捏合后为$2^2=4$根，因此第3次捏合后数量为$2^3=8$根；
（2）设第$x$次捏合后可拉出32根细面条，根据规律可得$2^x=32$，因为$2^5=32$，所以$x=5$；
（3）结合前几次的规律可知，经过$n$次捏合后，面条数量为$2^n$根；
（4）捏合10次后，面条总根数为$2^{10}=1024$根，每根长度$60\mathrm{cm}=0.6\mathrm{m}$，总长度为$1024×0.6=614.4\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 8；(2) 5；(3) $2^n$；(4) 614.4 m
【知识点】
乘方的实际应用，规律探究，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方相关知识，解题核心是找到每次捏合后面条数量翻倍的规律，再结合乘方运算求解，计算时注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.8
9. 计算、观察、归纳与应用：
（1）计算：$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=\_\_\_\_\_\_$，$2^6=\_\_\_\_\_\_$，$2^7=\_\_\_\_\_\_$，$2^8=\_\_\_\_\_\_$；
（2）观察与归纳：$2^n$（$n$为正整数）的末位数字有何规律？
（3）你能说出$2^{2023}$的末位数字吗？
（1）计算：$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=\_\_\_\_\_\_$，$2^6=\_\_\_\_\_\_$，$2^7=\_\_\_\_\_\_$，$2^8=\_\_\_\_\_\_$；
（2）观察与归纳：$2^n$（$n$为正整数）的末位数字有何规律？
（3）你能说出$2^{2023}$的末位数字吗？
答案
9. (1) 32 64 128 256 (2) 当$n=4k+1$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；当$n=4k+2$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；当$n=4k+3$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；当$n=4k+4$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为6 (3) $2^{2023}$的末位数字是8
解析
【分析】
第(1)问是乘方的基础运算，按照乘方的定义（求几个相同因数乘积的运算）直接计算即可。第(2)问需要观察第(1)问算出的$2^n$的末位数字，找到其重复出现的特征，确定循环周期，再按余数分类总结规律。第(3)问利用第(2)问得到的周期规律，用2023除以周期，根据余数对应规律即可得出末位数字。
【解析】
(1) 根据乘方的运算规则计算：
$2^5=2×2×2×2×2=32$
$2^6=2^5×2=32×2=64$
$2^7=2^6×2=64×2=128$
$2^8=2^7×2=128×2=256$
(2) 观察$2^1$到$2^8$的末位数字，依次为2、4、8、6、2、4、8、6，可发现末位数字每4个为一个循环周期，按2、4、8、6的顺序重复出现，总结规律如下：
当$n=4k+1$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；
当$n=4k+2$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；
当$n=4k+3$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；
当$n=4k+4$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为6。
(3) 计算$2023÷4=505······3$，即2023除以4的余数为3，对应规律中$n=4k+3$的情况，因此$2^{2023}$的末位数字为8。
【答案】
(1) 32 64 128 256 (2) 当$n=4k+1$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；当$n=4k+2$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；当$n=4k+3$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；当$n=4k+4$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为6 (3) $2^{2023}$的末位数字是8
【知识点】
乘方运算，规律归纳，周期计算
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生逐步观察、总结数字循环规律，再应用规律解决高次幂的末位问题，是规律探究类的典型题目，能有效锻炼学生的观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
第(1)问是乘方的基础运算，按照乘方的定义（求几个相同因数乘积的运算）直接计算即可。第(2)问需要观察第(1)问算出的$2^n$的末位数字，找到其重复出现的特征，确定循环周期，再按余数分类总结规律。第(3)问利用第(2)问得到的周期规律，用2023除以周期，根据余数对应规律即可得出末位数字。
【解析】
(1) 根据乘方的运算规则计算：
$2^5=2×2×2×2×2=32$
$2^6=2^5×2=32×2=64$
$2^7=2^6×2=64×2=128$
$2^8=2^7×2=128×2=256$
(2) 观察$2^1$到$2^8$的末位数字，依次为2、4、8、6、2、4、8、6，可发现末位数字每4个为一个循环周期，按2、4、8、6的顺序重复出现，总结规律如下：
当$n=4k+1$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；
当$n=4k+2$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；
当$n=4k+3$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；
当$n=4k+4$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为6。
(3) 计算$2023÷4=505······3$，即2023除以4的余数为3，对应规律中$n=4k+3$的情况，因此$2^{2023}$的末位数字为8。
【答案】
(1) 32 64 128 256 (2) 当$n=4k+1$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；当$n=4k+2$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；当$n=4k+3$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；当$n=4k+4$（k为自然数）时，$2^n$的末位数字为6 (3) $2^{2023}$的末位数字是8
【知识点】
乘方运算，规律归纳，周期计算
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生逐步观察、总结数字循环规律，再应用规律解决高次幂的末位问题，是规律探究类的典型题目，能有效锻炼学生的观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
你能比较两个数$2027^{2028}$和$2028^{2027}$的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小（$n≥1$，$n$是整数），然后从分析$n=1$，$n=2$，$n=3$，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
（1）通过计算，比较下列①～⑥各组的两个数的大小（在横线上填“＞”“=”或“＜”）：
① $1^2$
④ $4^5$
（2）从上面各小题的结果经过归纳，猜想$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系；
（3）根据上面归纳猜想的一般结论，可以得到$2027^{2028}$
（1）通过计算，比较下列①～⑥各组的两个数的大小（在横线上填“＞”“=”或“＜”）：
① $1^2$
＜
$2^1$；② $2^3$ ＜
$3^2$；③ $3^4$ ＞
$4^3$；④ $4^5$
＞
$5^4$；⑤ $5^6$ ＞
$6^5$；⑥ $6^7$ ＞
$7^6$；…（2）从上面各小题的结果经过归纳，猜想$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系；
（3）根据上面归纳猜想的一般结论，可以得到$2027^{2028}$
＞
$2028^{2027}$（在横线上填“＞”“=”或“＜”）。答案
1. ① ＜ ② ＜ ③ ＞ ④ ＞ ⑤ ＞ ⑥ ＞
2. 当n=1,2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当n≥3时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
3. ＞
2. 当n=1,2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当n≥3时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
3. ＞
解析
【分析】
本题采用从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取1、2、3、4、5、6时两个幂的值，直接比较大小；第二步观察前6组的结果，按n的取值范围分类归纳出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小规律；第三步判断2027属于哪个取值范围，直接套用归纳的规律得出两个大数的大小关系，避免了直接计算高次幂的复杂运算。
【解析】
（1）分别计算每组两个数的大小：
① $1^2=1$，$2^1=2$，因为$1＜2$，所以填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，因为$81＞64$，所以填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，因为$1024＞625$，所以填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，因为$15625＞7776$，所以填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，因为$279936＞117649$，所以填$＞$。
（2）观察（1）的结果分类归纳：
当$n=1$、$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当$n≥3$（n为整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
（3）因为$2027≥3$，符合$n≥3$的情况，所以$2027^{2028}＞2028^{2027}$，填$＞$。
【答案】
（1）①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$；⑤$＞$；⑥$＞$
（2）当$n=1,2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n≥3$（n为整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
（3）$＞$
【知识点】
有理数乘方运算；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题属于探究规律类问题，通过计算简单情形的结果总结通用规律，再用规律解决复杂的大数比较问题，能有效提升逻辑推理和归纳总结的能力，是数学中常用的"从特殊到一般"思想方法的典型应用。
【难度系数】
0.8
本题采用从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取1、2、3、4、5、6时两个幂的值，直接比较大小；第二步观察前6组的结果，按n的取值范围分类归纳出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小规律；第三步判断2027属于哪个取值范围，直接套用归纳的规律得出两个大数的大小关系，避免了直接计算高次幂的复杂运算。
【解析】
（1）分别计算每组两个数的大小：
① $1^2=1$，$2^1=2$，因为$1＜2$，所以填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，因为$8＜9$，所以填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，因为$81＞64$，所以填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，因为$1024＞625$，所以填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，因为$15625＞7776$，所以填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，因为$279936＞117649$，所以填$＞$。
（2）观察（1）的结果分类归纳：
当$n=1$、$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；
当$n≥3$（n为整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
（3）因为$2027≥3$，符合$n≥3$的情况，所以$2027^{2028}＞2028^{2027}$，填$＞$。
【答案】
（1）①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$；⑤$＞$；⑥$＞$
（2）当$n=1,2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n≥3$（n为整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
（3）$＞$
【知识点】
有理数乘方运算；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题属于探究规律类问题，通过计算简单情形的结果总结通用规律，再用规律解决复杂的大数比较问题，能有效提升逻辑推理和归纳总结的能力，是数学中常用的"从特殊到一般"思想方法的典型应用。
【难度系数】
0.8
