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25.1 将一元二次方程$(x+2)(x-3)=2x-5$化为一般形式后，二次项系数与一次项系数的积是
-3
。答案
25.1 -3
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项）。解题思路分三步：第一步先利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步将方程右侧的项全部移到左侧，第三步合并同类项得到一般形式，最后提取二次项系数和一次项系数计算乘积即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
第一步：展开方程左边的乘积：
$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2 - x - 6$
原方程可化为：$x^2 - x - 6 = 2x - 5$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，移项要变号：
$x^2 - x - 6 - 2x + 5 = 0$
第三步：合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 1 = 0$
由此可得二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，二者的积为$1×(-3)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；移项合并同类项
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意移项时符号的变化，计算系数乘积时要带上系数本身的正负号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项）。解题思路分三步：第一步先利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步将方程右侧的项全部移到左侧，第三步合并同类项得到一般形式，最后提取二次项系数和一次项系数计算乘积即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
第一步：展开方程左边的乘积：
$(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2 - x - 6$
原方程可化为：$x^2 - x - 6 = 2x - 5$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，移项要变号：
$x^2 - x - 6 - 2x + 5 = 0$
第三步：合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 1 = 0$
由此可得二次项系数为$1$，一次项系数为$-3$，二者的积为$1×(-3)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；多项式乘多项式；移项合并同类项
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时需注意移项时符号的变化，计算系数乘积时要带上系数本身的正负号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
25.2 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法中，正确的是
①若$a - b + c = 0$，则$b^2 - 4ac ≥ 0$；
②若方程$ax^2 + c = 0$有两个不相等的实数根，则方程$ax^2 + bx + c = 0$必有两个不相等的实数根；
③若$c$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根，则一定有$ac + b + 1 = 0$成立；
④若$x_0 + 1$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，则$b^2 - 4ac = (2ax_0 + 2a + b)^2$.
①②④
.①若$a - b + c = 0$，则$b^2 - 4ac ≥ 0$；
②若方程$ax^2 + c = 0$有两个不相等的实数根，则方程$ax^2 + bx + c = 0$必有两个不相等的实数根；
③若$c$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根，则一定有$ac + b + 1 = 0$成立；
④若$x_0 + 1$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，则$b^2 - 4ac = (2ax_0 + 2a + b)^2$.
答案
25.2 ①②④
解析
【分析】
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，解题时需结合一元二次方程根的定义、根的判别式的意义，对四个说法逐一验证判断，注意分析特殊情况避免出错。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析①：当x=-1时，代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$得$a· (-1)^2 + b· (-1) + c = a-b+c$，已知$a-b+c=0$，说明$x=-1$是方程的一个实数根，因此方程必有实数根，判别式$b^2-4ac≥0$，故①正确。
2. 分析②：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根，其判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$。方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta_2 = b^2 - 4ac ≥ -4ac ＞ 0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根，故②正确。
3. 分析③：若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，代入得$ac^2 + bc + c = 0$，提取公因式得$c(ac + b + 1)=0$，因此有$c=0$或$ac + b + 1=0$，当$c=0$时$ac + b + 1=0$不一定成立，故③错误。
4. 分析④：若$x_0+1$是方程的根，由求根公式得$x_0+1=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，两边乘$2a$后移项得$2ax_0 + 2a + b = \pm\sqrt{b^2-4ac}$，两边同时平方可得$b^2-4ac=(2ax_0 + 2a + b)^2$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的综合判断题，需要熟练掌握根的定义和判别式的应用，解题时要注意特殊值情况的验证，避免因忽略特殊情况判断失误。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，解题时需结合一元二次方程根的定义、根的判别式的意义，对四个说法逐一验证判断，注意分析特殊情况避免出错。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析①：当x=-1时，代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$得$a· (-1)^2 + b· (-1) + c = a-b+c$，已知$a-b+c=0$，说明$x=-1$是方程的一个实数根，因此方程必有实数根，判别式$b^2-4ac≥0$，故①正确。
2. 分析②：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根，其判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$。方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta_2 = b^2 - 4ac ≥ -4ac ＞ 0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根，故②正确。
3. 分析③：若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，代入得$ac^2 + bc + c = 0$，提取公因式得$c(ac + b + 1)=0$，因此有$c=0$或$ac + b + 1=0$，当$c=0$时$ac + b + 1=0$不一定成立，故③错误。
4. 分析④：若$x_0+1$是方程的根，由求根公式得$x_0+1=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，两边乘$2a$后移项得$2ax_0 + 2a + b = \pm\sqrt{b^2-4ac}$，两边同时平方可得$b^2-4ac=(2ax_0 + 2a + b)^2$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的综合判断题，需要熟练掌握根的定义和判别式的应用，解题时要注意特殊值情况的验证，避免因忽略特殊情况判断失误。
【难度系数】
0.6
25.3 某果园原计划种100棵荔枝树，平均每棵荔枝树结1 000颗荔枝，现准备多种一些荔枝树以提高产量.试验发现，每多种1棵荔枝树，每棵荔枝树的产量就会减少2颗，但多种的荔枝树不能超过100棵.如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵荔枝树？设应多种x棵荔枝树.
（1）荔枝树有
（2）求应多种多少棵荔枝树.
（1）荔枝树有
(100+x)
棵，荔枝的产量为(100+x)(1 000-2x)
颗；（用含x的代数式表示）（2）求应多种多少棵荔枝树.
答案
25.3 解：(1) (100+x)
(100+x)(1 000-2x)
(2) 依题意，得$(100+x)(1 000-2x) = 100×1 000×(1+15.2\%)(0＜x＜100),$
整理，得$x^2 -400x+7 600=0,$
解方程，得$x_1=20,$ $x_2=380$（不合题意，舍去）.
因此，应多种20棵荔枝树.
(100+x)(1 000-2x)
(2) 依题意，得$(100+x)(1 000-2x) = 100×1 000×(1+15.2\%)(0＜x＜100),$
整理，得$x^2 -400x+7 600=0,$
解方程，得$x_1=20,$ $x_2=380$（不合题意，舍去）.
因此，应多种20棵荔枝树.
解析
【分析】
（1）先梳理基础数量关系：总荔枝树棵数=原计划种植棵数+多种的棵数，原计划种100棵，多种x棵，即可得到总棵数的表达式；再根据“每多种1棵，单棵产量减少2颗”可得单棵实际产量为(1000-2x)颗，总产量=总棵数×单棵产量，代入即可得到总产量的表达式。
（2）找等量关系列方程：实际总产量=原计划总产量×(1+产量增长率)，原计划总产量为100×1000，增长率为15.2%，代入即可列出一元二次方程，求解后注意题干要求“多种的荔枝树不能超过100棵”，舍去不符合范围的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 总荔枝树棵数：原计划100棵，多种x棵，因此总棵数为$\boldsymbol{100+x}$棵；
单棵荔枝的实际产量为$(1000-2x)$颗，因此总产量=总棵数×单棵产量，即$\boldsymbol{(100+x)(1000-2x)}$颗。
(2) 依题意，实际总产量要比原计划增加15.2%，原计划总产量为$100×1000$颗，列方程得：
$(100+x)(1000-2x) = 100× 1000×(1+15.2\%) \quad (0＜x≤100)$
整理方程：
$100000+800x-2x^2=115200$
$x^2 -400x+7600=0$
解方程得：$x_1=20$，$x_2=380$，由于多种的荔枝树不能超过100棵，$380＞100$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{100+x}$；$\boxed{(100+x)(1000-2x)}$
(2) $\boxed{20}$棵
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的增产类实际应用题，解题关键是理清总棵数、单棵产量、总产量三者的数量关系，建立方程模型，求解后需要结合题干的实际限制条件验证根的合理性，考查了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）先梳理基础数量关系：总荔枝树棵数=原计划种植棵数+多种的棵数，原计划种100棵，多种x棵，即可得到总棵数的表达式；再根据“每多种1棵，单棵产量减少2颗”可得单棵实际产量为(1000-2x)颗，总产量=总棵数×单棵产量，代入即可得到总产量的表达式。
（2）找等量关系列方程：实际总产量=原计划总产量×(1+产量增长率)，原计划总产量为100×1000，增长率为15.2%，代入即可列出一元二次方程，求解后注意题干要求“多种的荔枝树不能超过100棵”，舍去不符合范围的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 总荔枝树棵数：原计划100棵，多种x棵，因此总棵数为$\boldsymbol{100+x}$棵；
单棵荔枝的实际产量为$(1000-2x)$颗，因此总产量=总棵数×单棵产量，即$\boldsymbol{(100+x)(1000-2x)}$颗。
(2) 依题意，实际总产量要比原计划增加15.2%，原计划总产量为$100×1000$颗，列方程得：
$(100+x)(1000-2x) = 100× 1000×(1+15.2\%) \quad (0＜x≤100)$
整理方程：
$100000+800x-2x^2=115200$
$x^2 -400x+7600=0$
解方程得：$x_1=20$，$x_2=380$，由于多种的荔枝树不能超过100棵，$380＞100$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boxed{100+x}$；$\boxed{(100+x)(1000-2x)}$
(2) $\boxed{20}$棵
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的增产类实际应用题，解题关键是理清总棵数、单棵产量、总产量三者的数量关系，建立方程模型，求解后需要结合题干的实际限制条件验证根的合理性，考查了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 将一元二次方程$2x^2 - 3 = -x$化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别为（
A.$1$，$-3$
B.$-1$，$-3$
C.$-3$，$1$
D.$3$，$-1$
A
）.A.$1$，$-3$
B.$-1$，$-3$
C.$-3$，$1$
D.$3$，$-1$
答案
1. A
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$bx$是一次项，$b$为一次项系数，$c$为常数项，确定系数时需要包含项前面的符号。接下来需要将给定的方程通过移项整理成右边为0的标准形式，移项时注意移动的项要变号，整理后对应找到一次项系数和常数项即可匹配选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。
对原方程$2x^2 - 3 = -x$进行移项，将右侧的$-x$移到等号左侧，得：
$2x^2 + x - 3 = 0$
由此可得一次项系数为$1$，常数项为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题是基础题，主要考查对一元二次方程一般形式的认识，解题的易错点是移项忘记变号、确定系数时遗漏项前面的符号，掌握一般形式的定义和移项规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$bx$是一次项，$b$为一次项系数，$c$为常数项，确定系数时需要包含项前面的符号。接下来需要将给定的方程通过移项整理成右边为0的标准形式，移项时注意移动的项要变号，整理后对应找到一次项系数和常数项即可匹配选项。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）。
对原方程$2x^2 - 3 = -x$进行移项，将右侧的$-x$移到等号左侧，得：
$2x^2 + x - 3 = 0$
由此可得一次项系数为$1$，常数项为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 移项法则
【点评】
本题是基础题，主要考查对一元二次方程一般形式的认识，解题的易错点是移项忘记变号、确定系数时遗漏项前面的符号，掌握一般形式的定义和移项规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 若3是关于x的方程$x^2 + ax = 6$的一个根，则a的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知3是该方程的根，说明x=3代入原方程后等式成立，代入后即可得到只含参数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的值，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵3是关于x的方程$x^2 + ax = 6$的一个根
∴将x=3代入原方程，可得：
$\begin{aligned}3^2 + 3a &= 6 \\9 + 3a &= 6 \\3a &= 6 - 9 \\3a &= -3 \\a &= -1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的概念的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把含参数的一元二次方程转化为关于参数的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知3是该方程的根，说明x=3代入原方程后等式成立，代入后即可得到只含参数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的值，再对应选项选择即可。
【解析】
解：
∵3是关于x的方程$x^2 + ax = 6$的一个根
∴将x=3代入原方程，可得：
$\begin{aligned}3^2 + 3a &= 6 \\9 + 3a &= 6 \\3a &= 6 - 9 \\3a &= -3 \\a &= -1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的概念的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把含参数的一元二次方程转化为关于参数的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.8
3. 下列关于$x$的方程$(x-5)(x-3)=m^2$（$m$为常数）的根的情况，结论正确的是（
A.两个正根
B.一个正根，一个负根
C.两个负根
D.根的符号与$m$的值有关
D
）.A.两个正根
B.一个正根，一个负根
C.两个负根
D.根的符号与$m$的值有关
答案
3. D
解析
【分析】
要判断该方程根的符号情况，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，第一步先计算判别式，确认方程是否有实数根；第二步利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，结合两根之和固定为正的特点，只需要分析两根之积的符号随参数m的变化情况，即可判断根的符号是否与m有关。
【解析】
首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=m^2\\x^2 -8x +15 - m^2&=0\end{aligned}$
1. 计算判别式判断实根情况：
$\Delta = (-8)^2 - 4×1×(15 - m^2) = 64 - 60 + 4m^2 = 4 + 4m^2$
因为m为常数，$m^2≥0$，所以$\Delta=4(1+m^2)＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
2. 设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = 8＞0$
两根之积：$x_1x_2 = 15 - m^2$
3. 分析两根之积的符号：
当$m^2 ＜15$时，$x_1x_2＞0$，结合两根之和为正，此时方程有两个正根；
当$m^2 =15$时，$x_1x_2=0$，此时方程的根为0和8，一个根为0，一个根为正；
当$m^2 ＞15$时，$x_1x_2＜0$，此时方程有一个正根、一个负根。
综上，方程根的符号与m的取值有关。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题核心考查一元二次方程实根判断及根的符号分析，解题关键是先确定方程总有两个不等实根，再通过两根乘积随参数的变化情况分类讨论，即可得出根的符号与参数相关的结论。
【难度系数】
0.7
要判断该方程根的符号情况，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，第一步先计算判别式，确认方程是否有实数根；第二步利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，结合两根之和固定为正的特点，只需要分析两根之积的符号随参数m的变化情况，即可判断根的符号是否与m有关。
【解析】
首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=m^2\\x^2 -8x +15 - m^2&=0\end{aligned}$
1. 计算判别式判断实根情况：
$\Delta = (-8)^2 - 4×1×(15 - m^2) = 64 - 60 + 4m^2 = 4 + 4m^2$
因为m为常数，$m^2≥0$，所以$\Delta=4(1+m^2)＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
2. 设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = 8＞0$
两根之积：$x_1x_2 = 15 - m^2$
3. 分析两根之积的符号：
当$m^2 ＜15$时，$x_1x_2＞0$，结合两根之和为正，此时方程有两个正根；
当$m^2 =15$时，$x_1x_2=0$，此时方程的根为0和8，一个根为0，一个根为正；
当$m^2 ＞15$时，$x_1x_2＜0$，此时方程有一个正根、一个负根。
综上，方程根的符号与m的取值有关。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题核心考查一元二次方程实根判断及根的符号分析，解题关键是先确定方程总有两个不等实根，再通过两根乘积随参数的变化情况分类讨论，即可得出根的符号与参数相关的结论。
【难度系数】
0.7
4. （天津模拟）若一元二次方程$2x^2 -4x -5=0$的两个根分别是$x_1$，$x_2$，则$(x_1+x_2)·x_1x_2$的值是（
A.8
B.$-5$
C.$-12$
D.16
B
）.A.8
B.$-5$
C.$-12$
D.16
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；其次找到题干方程中对应的$a、b、c$的值，分别代入公式求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的结果；最后将两个结果相乘即可得到所求代数式的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -4x -5=0$，可知二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$，
代入所求代数式得：
$(x_1+x_2)·x_1x_2=2×(-\frac{5}{2})=-5$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题关键是准确记忆公式、正确代入系数计算，需特别注意系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；其次找到题干方程中对应的$a、b、c$的值，分别代入公式求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的结果；最后将两个结果相乘即可得到所求代数式的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -4x -5=0$，可知二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$，
代入所求代数式得：
$(x_1+x_2)·x_1x_2=2×(-\frac{5}{2})=-5$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题关键是准确记忆公式、正确代入系数计算，需特别注意系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
