1. 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是().

A.$1-x^2$
B.$-x^2-25$
C.$-16b^2+9a^2$
D.$\frac{1}{4}-x^2$

1.B

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解因式的多项式是二项式，两项都可以写成某个整式的平方的形式，且两项的符号相反（一正一负）。解题时我们只需将每个选项依次对照这三个特征排查，即可找到符合题意的选项。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，适用的多项式需满足：①二项式；②两项均为某个整式的平方；③两项符号相反。
对各选项逐一分析：
A. $1-x^2=1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(1+x)(1-x)$，不符合题意；
B. $-x^2 -25 = -(x^2 + 25)$，两项同号，不满足“符号相反”的要求，不能用平方差公式分解，符合题意；
C. $-16b^2 +9a^2 = (3a)^2 - (4b)^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(3a+4b)(3a-4b)$，不符合题意；
D. $\frac{1}{4}-x^2 = (\frac{1}{2})^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(\frac{1}{2}+x)(\frac{1}{2}-x)$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式、整式的乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对平方差公式分解因式适用条件的记忆和理解，只要熟练掌握平方差公式的结构特点，逐一核对选项即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 因式分解$(x-1)^2 -9$的结果是().

A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$

2.D

【分析】
首先观察式子的结构，该式是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式因式分解。先确定平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$中对应的$a$和$b$：本题中$a=x-1$，$b=3$（因为$9=3^2$），将$a$、$b$代入公式后，再对括号内的整式进行化简合并，最后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：观察原式可知符合平方差公式的结构，先将$9$改写为$3^2$：
$\begin{aligned}(x-1)^2 -9&=(x-1)^2 - 3^2\\&=[(x-1)+3][(x-1)-3]\\&=(x-1+3)(x-1-3)\\&=(x+2)(x-4)\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式加减运算
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确确定公式中的两个项，代入后化简即可，是因式分解中的基础题型。
【难度系数】
0.85

3. 分解因式：$x^2 -4 =$ 。

3.$(x+2)(x-2)$

【分析】
要对$x^2-4$进行因式分解，首先观察式子的结构特征：式子是两个数的平方作差的形式，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的适用条件，其中$a$对应$x$，$b$对应$2$，直接套用平方差公式即可完成分解。
【解析】
解：$x^2 - 4$
$=x^2 - 2^2$
$=(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，熟记公式的形式特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4. 把下列各式分解因式：
(1)$-16x^2 + y^2$；
(2)$4(x+y)^2 -9(x-y)^2$；
(3)$(3x-2)^2 - (2x+7)^2$。

4.解 (1)$-16x^2+y^2=y^2-16x^2=(y+4x)(y-4x).$
(2)$4(x+y)^2-9(x-y)^2=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]=(5x-y)(5y-x).$
(3)$(3x-2)^2-(2x+7)^2=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]=(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9).$

【分析】
这三道因式分解题均适用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：①先观察式子特征，确认是否为两个平方项且符号相反，符合平方差公式的结构；②准确找出每个式子中对应公式的$a$、$b$两个整体；③套用平方差公式展开；④展开后合并同类项，若有公因式需提取公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
(1) 先调整项的顺序化为平方差形式：
$-16x^2 + y^2 = y^2 - 16x^2 = y^2 - (4x)^2$
套用平方差公式得：$=(y+4x)(y-4x)$
(2) 先将两项改写为平方形式：
$4(x+y)^2 - 9(x-y)^2 = [2(x+y)]^2 - [3(x-y)]^2$
套用平方差公式得：
$=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]$
分别去括号合并同类项：
第一个括号：$2x+2y+3x-3y=5x-y$
第二个括号：$2x+2y-3x+3y=5y-x$
因此原式$=(5x-y)(5y-x)$
(3) 直接将两个括号内的式子视为整体套用平方差公式：
$(3x-2)^2 - (2x+7)^2 = [(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]$
分别合并同类项：
第一个括号：$3x-2+2x+7=5x+5$
第二个括号：$3x-2-2x-7=x-9$
提取第一个因式的公因式5得：$=5(x+1)(x-9)$
【答案】
(1) $(y+4x)(y-4x)$
(2) $(5x-y)(5y-x)$
(3) $5(x+1)(x-9)$
【知识点】
平方差公式分解因式；合并同类项；提公因式法分解因式
【点评】
本组题是运用平方差公式分解因式的基础题型，解题核心是准确识别平方差结构，找准公式对应的“$a$”和“$b$”两个整体，分解完成后要注意检查是否合并彻底、有无公因式未提取，确保因式分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

5. 先分解因式,再求值:$(4a + b)^2 - 9b^2$,其中$a + b = 2$,$b - 2a = 3$.

5.解 $(4a+b)^2-9b^2$
$=(4a+b+3b)(4a+b-3b)$
$=(4a+4b)(4a-2b)$
$=8(a+b)(2a-b).$
当$a+b=2,b-2a=3$时，
原式$=8×2×(-3)=-48.$

【分析】
观察待处理的代数式$(4a + b)^2 - 9b^2$，它是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，因此优先用平方差公式分解因式。分解后对因式进行化简整理，可得到包含已知条件$a+b$、$b-2a$相关的代数式，最后采用整体代入的方法计算，无需单独求解a、b的取值，简化计算过程。
【解析】
首先对原式进行因式分解：
$\begin{aligned}(4a+b)^2 - 9b^2&=(4a+b)^2 - (3b)^2\\&=(4a+b+3b)(4a+b-3b)\\&=(4a+4b)(4a-2b)\\&=8(a+b)(2a-b)\end{aligned}$
已知$a+b=2$，$b-2a=3$，因此$2a-b=-(b-2a)=-3$。
将$a+b=2$，$2a-b=-3$代入化简后的式子得：
原式$=8×2×(-3)=-48$
【答案】
$-48$
【知识点】
平方差公式分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查平方差公式在因式分解中的应用，以及整体代入的数学思想，解题时注意观察代数式的结构特征，合理选择因式分解的方法，代换时注意符号的处理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

6.设n为整数，试说明$(2n+1)^2 - 25$能被4整除.

6.解 $(2n+1)^2-25$
$=(2n+1)^2-5^2$
$=(2n+1+5)(2n+1-5)$
$=(2n+6)(2n-4)$
$=4(n+3)(n-2).$
$\because n$为整数，
$\therefore (2n+1)^2-25$能被4整除.

【分析】
要说明一个整式能被4整除，核心是将该整式变形为“4×整数”的形式。观察待证式子$(2n+1)^2 - 25$，恰好符合平方差公式$a^2-b^2$的结构特征（其中$a=2n+1$，$b=5$），因此第一步先用平方差公式分解因式，再对分解后的因式整理化简，提取公因式4，最后结合n是整数的条件，判断剩余因式的整数属性，即可完成证明。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-25&=(2n+1)^2-5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
∵n为整数，
∴$n+3$、$n-2$均为整数，即$(n+3)(n-2)$是整数，
因此$(2n+1)^2-25$是4的整数倍，能被4整除。
【答案】
$(2n+1)^2 - 25$能被4整除。
【知识点】
平方差公式因式分解、提公因式法、整除判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过因式分解将原式变形为含因数4的形式，结合整数的性质即可完成证明，能够有效考查对因式分解方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8