五、解答题（三）
22.如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,BC=6 cm,M,N分别是AC,BC的中点.
(1)求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上的任意一点,满足AC+BC=a cm,其他条件不变,请猜想MN的长度,并说明理由.
(3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC−CB=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,请猜想MN的长度.(画出图形,写出你的结论,并说明理由)

22. 解:(1)因为$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,
所以$AB=AC+BC=8+6=14(\mathrm{cm})$.
因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$.
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=7\ \mathrm{cm}$.
(2)$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$.理由如下:
因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$.
因为$AC+BC=a\ \mathrm{cm}$,
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$.
(3)如图所示.
$MN=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$.理由如下:
因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}CB$.
因为$AC-CB=b\ \mathrm{cm}$,
所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(AC-CB)=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$.

23.【实践操作】
在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题:如图,点A,O,B在同一条直线上,将一个直角三角尺按图①的方式放置,直角顶点与点O重合,OE平分∠BOC.
【问题发现】
(1)若∠DOE=20°,求∠AOC的度数.
(2)猜想图①中∠AOC和∠DOE之间的数量关系.写出你的结论,并说明理由.
【变式探究】
(3)将这个直角三角尺按图②的方式放置,其他条件不变,试探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系.写出你的结论,并说明理由.

23. 解:(1)根据题意可知,$∠COD$是直角.
因为$∠DOE=20°$,
所以$∠COE=∠COD-∠DOE=90°-20°=70°$.
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠BOC=2∠COE=2×70°=140°$.
因为点 A,O,B 在同一条直线上,
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-140°=40°$.
(2)$∠AOC=2∠DOE$.理由如下:
因为$∠COD$是直角,
所以$∠COE=90°-∠DOE$.
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠BOC=2∠COE=2×(90°-∠DOE)=180°-2∠DOE$.
因为点 A,O,B 在同一条直线上,
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-(180°-2∠DOE)=2∠DOE$.
(3)$∠AOC+2∠DOE=360°$.理由如下:
设$∠BOE=m$.
因为 OE 平分$∠BOC$,
所以$∠COE=∠BOE=m$,$∠BOC=2∠BOE=2m$.
因为点 A,O,B 在同一条直线上,
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-2m$.
因为$∠COD$是直角,
所以$∠DOE=∠COD+∠COE=90°+m$.
所以$2∠DOE=180°+2m$.
所以$∠AOC+2∠DOE=360°$.