典例 计算：
(1)$3a^2b(-4a^2b+2ab^2-ab)$；
(2)$-5x(x^2y-xy^2)-2x^2(\frac{1}{2}xy+y^2)$。
温馨提示 (1)单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘单项式的和的形式；
(2)用单项式去乘多项式中的每一项时,不要漏乘；
(3)注意确定积的符号。
举一反三 化简求值：$x(x+1)-3x(x-2)$，其中$x=3$。

1. $3a^2b(-4a^2b + 2ab^2 - ab) = 3a^2b · (-4a^2b) + 3a^2b · 2ab^2 - 3a^2b · ab = -12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2$
2. $-5x(x^2y - xy^2) - 2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) = -5x^3y + 5x^2y^2 - x^3y - 2x^2y^2 = -6x^3y + 3x^2y^2$
化简求值：$x(x+1)-3x(x-2)=x^2+x-3x^2+6x=-2x^2+7x$，当$x=3$时，原式$=-2×3^2+7×3=-2×9+21=-18+21=3$

【分析】
这组题目考查整式的乘法运算及化简求值，解题思路如下：
1. 单项式乘多项式的运算核心是转化为单项式乘单项式：用单项式依次乘以多项式的每一项，再把所有积相加，运算时需注意：①不要漏乘多项式中的任何一项；②注意确定每一项乘积的符号（同号得正，异号得负）；③计算单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂的指数相加，单独出现的字母连同指数作为积的因式。
2. 化简求值类问题先按照整式运算法则化简式子，再代入数值计算，比直接代入计算更简便，可减少计算错误。
【解析】
(1) 计算$3a^2b(-4a^2b+2ab^2-ab)$
根据单项式乘多项式法则展开，再分别计算单项式乘单项式的结果：
$\begin{aligned}原式&= 3a^2b · (-4a^2b) + 3a^2b · 2ab^2 - 3a^2b · ab \\&=-12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2\end{aligned}$
(2) 计算$-5x(x^2y-xy^2)-2x^2(\frac{1}{2}xy+y^2)$
先分别展开两个单项式乘多项式的部分，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= -5x·x^2y + (-5x)·(-xy^2) - 2x^2·\frac{1}{2}xy -2x^2·y^2 \\&=-5x^3y + 5x^2y^2 - x^3y - 2x^2y^2 \\&=-6x^3y + 3x^2y^2\end{aligned}$
化简求值：计算$x(x+1)-3x(x-2)$，其中$x=3$
先展开式子合并同类项化简，再代入数值计算：
$\begin{aligned}原式&=x^2+x-3x^2+6x \\&=-2x^2+7x\end{aligned}$
将$x=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-2×3^2+7×3 \\&=-18+21 \\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2}$
(2) $\boldsymbol{-6x^3y + 3x^2y^2}$
化简求值结果：$\boldsymbol{3}$
【知识点】
单项式乘多项式；整式的加减；整式的化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点在于漏乘多项式的项、符号判断错误，化简求值类问题遵循“先化简，再求值”的原则可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8

典例解析

解（1）$3a^2b(-4a^2b + 2ab^2 - ab) = 3a^2b · (-4a^2b) + 3a^2b · 2ab^2 - 3a^2b · ab = -12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2.$
（2）$-5x(x^2y - xy^2) - 2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) = -5x^3y + 5x^2y^2 - x^3y - 2x^2y^2 = -6x^3y + 3x^2y^2.$

【分析】
这两道题均属于整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题思路如下：①运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，注意不要漏乘任何一项，同时要准确携带每一项的符号；②按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算每一组单项式相乘的结果；③最后合并同类项，化简得到最终结果。第（2）题是两个乘积项相减的形式，先分别计算两个单项式乘多项式的结果，再做加减合并即可。
【解析】
（1）根据乘法分配律展开原式：
$3a^2b(-4a^2b + 2ab^2 - ab) = 3a^2b · (-4a^2b) + 3a^2b · 2ab^2 - 3a^2b · ab$
分别计算每一项单项式乘法：
$3a^2b · (-4a^2b) = -12a^{2+2}b^{1+1} = -12a^4b^2$
$3a^2b · 2ab^2 = 6a^{2+1}b^{1+2} = 6a^3b^3$
$3a^2b · ab = 3a^{2+1}b^{1+1} = 3a^3b^2$
整理得：原式$=-12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2$
（2）先分别展开两个单项式乘多项式的部分：
$-5x(x^2y - xy^2) = -5x · x^2y + (-5x) · (-xy^2) = -5x^3y + 5x^2y^2$
$-2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) = -2x^2 · \frac{1}{2}xy + (-2x^2) · y^2 = -x^3y - 2x^2y^2$
再合并同类项：
原式$=-5x^3y + 5x^2y^2 - x^3y - 2x^2y^2 = (-5x^3y - x^3y) + (5x^2y^2 - 2x^2y^2) = -6x^3y + 3x^2y^2$
【答案】
（1）$-12a^4b^2 + 6a^3b^3 - 3a^3b^2$
（2）$-6x^3y + 3x^2y^2$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查乘法分配律在整式乘法中的应用，解题时需注意运算过程中的符号变化，避免漏乘多项式的项，合并同类项时要准确识别同类项后再进行系数加减。
【难度系数】
0.8

1. 计算$6x(3-2x)$，结果正确的是().

A.$-12x^2 + 18x$
B.$-12x^2 + 3$
C.$16x$
D.$6x$

1. A

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：先回忆单项式乘多项式的运算法则，即用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时注意处理好符号和同底数幂的运算，最后将计算结果和选项对照即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}6x(3-2x)&=6x×3 + 6x×(-2x)\\&=18x-12x^2\\&=-12x^2+18x\end{aligned}$
计算结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查基础运算法则的掌握情况，易错点是运算时漏乘多项式的项、符号判断错误或者同底数幂计算出错，熟练掌握基础运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8

2. 一个长方体的长、宽、高分别为$(3a - 4)$，$2a$，$a$，则它的体积等于().

A.$3a^3 - 4a^2$
B.$a^2$
C.$6a^3 - 8a^2$
D.$6a^2 - 8a$

2. C

【分析】
要解决这道题，首先回忆长方体体积的计算公式：长方体体积=长×宽×高。我们只需要将题目给出的长、宽、高的代数式代入公式，再按照整式乘法的运算法则逐步计算，最后将结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据长方体体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=(3a - 4) × 2a × a\\&=(3a - 4) × 2a^2\\&=3a × 2a^2 - 4 × 2a^2\\&=6a^3 - 8a^2\end{aligned}$
计算结果与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
1.长方体体积公式 2.单项式乘多项式运算
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合应用题，核心是牢记基础公式和整式乘法的运算规则，计算时注意不要漏乘、不要弄错符号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8