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3. 计算:
(1) $-\dfrac{1}{4}x^2y(\dfrac{2}{3}y^2 - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{4})$；
(2) $3ab^2(1 - \dfrac{1}{6}ab^4) + (-2ab^3)^2$；
(3) $2xy^2(-3x + 2xy) - 4$。
(1) $-\dfrac{1}{4}x^2y(\dfrac{2}{3}y^2 - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{4})$；
(2) $3ab^2(1 - \dfrac{1}{6}ab^4) + (-2ab^3)^2$；
(3) $2xy^2(-3x + 2xy) - 4$。
答案
解 (1) 原式$=-\dfrac{1}{4}x^2y · \dfrac{2}{3}y^2 + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · (-\dfrac{1}{3}x) + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · \dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{6}x^2y^3+\dfrac{1}{12}x^3y-\dfrac{1}{16}x^2y$。
(2) 原式$=3ab^2 - \dfrac{1}{2}a^2b^6 + 4a^2b^6=3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$。
(3) 原式$=-6x^2y^2+4x^2y^3-4$。
(2) 原式$=3ab^2 - \dfrac{1}{2}a^2b^6 + 4a^2b^6=3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$。
(3) 原式$=-6x^2y^2+4x^2y^3-4$。
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
（1）属于单项式乘多项式的基础运算，利用乘法分配律将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，计算时注意系数符号和同底数幂的乘法规则即可；
（2）按照整式运算顺序，先分别计算单项式乘多项式、积的乘方两类运算，再合并同类项，积的乘方需注意把每个因式分别乘方，合并同类项时仅调整系数，字母和指数不变；
（3）先利用单项式乘多项式法则展开式子，再检查是否有同类项，无同类项直接整理结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$=-\dfrac{1}{4}x^2y · \dfrac{2}{3}y^2 + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · (-\dfrac{1}{3}x) + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · \dfrac{1}{4}$
分别计算每一项乘积：
$=-\dfrac{1}{6}x^2y^3+\dfrac{1}{12}x^3y-\dfrac{1}{16}x^2y$
(2) 先计算乘法和乘方运算：
原式$=3ab^2×1 - 3ab^2×\dfrac{1}{6}ab^4 + (-2)^2a^2(b^3)^2$
$=3ab^2 - \dfrac{1}{2}a^2b^6 + 4a^2b^6$
再合并同类项：
$=3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$
(3) 先展开单项式乘多项式：
原式$=2xy^2×(-3x) + 2xy^2×2xy - 4$
计算乘积得：
$=-6x^2y^2+4x^2y^3-4$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{6}x^2y^3+\dfrac{1}{12}x^3y-\dfrac{1}{16}x^2y$
(2) $3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$
(3) $-6x^2y^2+4x^2y^3-4$
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对整式运算法则的掌握程度，运算时需注意不要漏乘多项式的项，正确处理负号，严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，完成计算后注意检查是否有未合并的同类项。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：
（1）属于单项式乘多项式的基础运算，利用乘法分配律将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，计算时注意系数符号和同底数幂的乘法规则即可；
（2）按照整式运算顺序，先分别计算单项式乘多项式、积的乘方两类运算，再合并同类项，积的乘方需注意把每个因式分别乘方，合并同类项时仅调整系数，字母和指数不变；
（3）先利用单项式乘多项式法则展开式子，再检查是否有同类项，无同类项直接整理结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$=-\dfrac{1}{4}x^2y · \dfrac{2}{3}y^2 + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · (-\dfrac{1}{3}x) + (-\dfrac{1}{4}x^2y) · \dfrac{1}{4}$
分别计算每一项乘积：
$=-\dfrac{1}{6}x^2y^3+\dfrac{1}{12}x^3y-\dfrac{1}{16}x^2y$
(2) 先计算乘法和乘方运算：
原式$=3ab^2×1 - 3ab^2×\dfrac{1}{6}ab^4 + (-2)^2a^2(b^3)^2$
$=3ab^2 - \dfrac{1}{2}a^2b^6 + 4a^2b^6$
再合并同类项：
$=3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$
(3) 先展开单项式乘多项式：
原式$=2xy^2×(-3x) + 2xy^2×2xy - 4$
计算乘积得：
$=-6x^2y^2+4x^2y^3-4$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{6}x^2y^3+\dfrac{1}{12}x^3y-\dfrac{1}{16}x^2y$
(2) $3ab^2+\dfrac{7}{2}a^2b^6$
(3) $-6x^2y^2+4x^2y^3-4$
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对整式运算法则的掌握程度，运算时需注意不要漏乘多项式的项，正确处理负号，严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，完成计算后注意检查是否有未合并的同类项。
【难度系数】
0.8
4.先化简,再求值:$ab(b^2 + b) - b^2(ab + 2a) - 3ab$,其中$a=5,b=-1$.
答案
解 原式$=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab=-ab^2-3ab$。
当$a=5,b=-1$时，原式$=-5×(-1)^2 - 3×5×(-1)=10$。
当$a=5,b=-1$时，原式$=-5×(-1)^2 - 3×5×(-1)=10$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号；第二步将展开后的式子中的同类项进行合并，得到最简整式；第三步将已知的a、b的数值代入最简整式中计算，即可得到结果，先化简再求值可以大大降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=ab· b^2 + ab· b - b^2· ab - b^2· 2a - 3ab\\&=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab\\&=(ab^3 - ab^3)+(ab^2 - 2ab^2)-3ab\\&=-ab^2 - 3ab\end{aligned}$
再代入$a=5,b=-1$求值：
$\begin{aligned}原式&=-5× (-1)^2 - 3× 5× (-1)\\&=-5×1 + 15\\&=-5 + 15\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
单项式乘多项式运算、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式运算的基本法则，解题的关键是去括号时注意符号变化，合并同类项要准确，代入负数计算时要注意乘方的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号；第二步将展开后的式子中的同类项进行合并，得到最简整式；第三步将已知的a、b的数值代入最简整式中计算，即可得到结果，先化简再求值可以大大降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=ab· b^2 + ab· b - b^2· ab - b^2· 2a - 3ab\\&=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab\\&=(ab^3 - ab^3)+(ab^2 - 2ab^2)-3ab\\&=-ab^2 - 3ab\end{aligned}$
再代入$a=5,b=-1$求值：
$\begin{aligned}原式&=-5× (-1)^2 - 3× 5× (-1)\\&=-5×1 + 15\\&=-5 + 15\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
单项式乘多项式运算、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式运算的基本法则，解题的关键是去括号时注意符号变化，合并同类项要准确，代入负数计算时要注意乘方的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 解方程：$2x(7 - 2x) + 5x(8 - x) = 3x(5 - 3x) - 39.$
答案
解 $2x(7 - 2x) + 5x(8 - x) = 3x(5 - 3x) - 39$。
去括号，得$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2=15x - 9x^2 - 39$。
移项，得$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2 - 15x + 9x^2=-39$。
合并同类项，得$39x=-39$。
系数化为1，得$x=-1$。
去括号，得$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2=15x - 9x^2 - 39$。
移项，得$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2 - 15x + 9x^2=-39$。
合并同类项，得$39x=-39$。
系数化为1，得$x=-1$。
解析
【分析】
本题方程两边均含有单项式乘多项式的运算，且存在二次项，解题思路如下：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则去掉方程两边的括号，注意不要漏乘括号内的项，同时关注运算符号；第二步，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要变号；第三步，合并同类项，可发现所有二次项相互抵消，方程转化为标准的一元一次方程；第四步，将未知数的系数化为1，即可求得方程的解。
【解析】
解：$2x(7 - 2x) + 5x(8 - x) = 3x(5 - 3x) - 39$
去括号，得
$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2=15x - 9x^2 - 39$
移项，得
$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2 - 15x + 9x^2=-39$
合并同类项，得
$39x=-39$
系数化为1，得
$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
单项式乘多项式运算，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，看似含有二次项，实际合并同类项后二次项可完全抵消，转化为常规一元一次方程求解，解题时需注意去括号不要漏乘项、移项要变号，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题方程两边均含有单项式乘多项式的运算，且存在二次项，解题思路如下：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则去掉方程两边的括号，注意不要漏乘括号内的项，同时关注运算符号；第二步，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要变号；第三步，合并同类项，可发现所有二次项相互抵消，方程转化为标准的一元一次方程；第四步，将未知数的系数化为1，即可求得方程的解。
【解析】
解：$2x(7 - 2x) + 5x(8 - x) = 3x(5 - 3x) - 39$
去括号，得
$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2=15x - 9x^2 - 39$
移项，得
$14x - 4x^2 + 40x - 5x^2 - 15x + 9x^2=-39$
合并同类项，得
$39x=-39$
系数化为1，得
$x=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
单项式乘多项式运算，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，看似含有二次项，实际合并同类项后二次项可完全抵消，转化为常规一元一次方程求解，解题时需注意去括号不要漏乘项、移项要变号，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知$ab^2=3$，求$ab(a^2b^5 - ab^3 - b)$的值.
答案
解 原式$=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2=(ab^2)^3-(ab^2)^2-ab^2=3^3-3^2-3=15$。
解析
【分析】
本题是已知单个代数式的值求复杂代数式的值的问题，解题思路如下：第一步，先利用单项式乘多项式的运算法则将要求的原式展开，得到各项的整式形式；第二步，观察已知条件$ab^2=3$，将展开后的各项逆用积的乘方公式，转化为含$ab^2$的幂的形式；第三步，将$ab^2=3$整体代入变形后的式子计算，即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=ab· a^2b^5 + ab·(-ab^3) + ab·(-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
再逆用积的乘方公式$(xy)^n=x^ny^n$，对各项变形：
$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$
因此原式可改写为：
$(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=3$整体代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3 - 3^2 - 3\\&=27 - 9 - 3\\&=15\end{aligned}$
【答案】
$15$
【知识点】
1.单项式乘多项式运算 2.积的乘方逆用 3.整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，核心解题技巧是运用整体代入思想，将所求代数式转化为已知代数式的组合形式，避免了求解未知数a、b的繁琐过程，考查了学生对整式运算法则的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是已知单个代数式的值求复杂代数式的值的问题，解题思路如下：第一步，先利用单项式乘多项式的运算法则将要求的原式展开，得到各项的整式形式；第二步，观察已知条件$ab^2=3$，将展开后的各项逆用积的乘方公式，转化为含$ab^2$的幂的形式；第三步，将$ab^2=3$整体代入变形后的式子计算，即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=ab· a^2b^5 + ab·(-ab^3) + ab·(-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
再逆用积的乘方公式$(xy)^n=x^ny^n$，对各项变形：
$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$
因此原式可改写为：
$(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=3$整体代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3 - 3^2 - 3\\&=27 - 9 - 3\\&=15\end{aligned}$
【答案】
$15$
【知识点】
1.单项式乘多项式运算 2.积的乘方逆用 3.整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，核心解题技巧是运用整体代入思想，将所求代数式转化为已知代数式的组合形式，避免了求解未知数a、b的繁琐过程，考查了学生对整式运算法则的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7.某同学在计算一个多项式乘－2a时，因抄错运算符号，算成了加－2a，得到的结果是$a^2 + 2a -1$，那么正确的计算结果是多少？
答案
解 根据题意可知这个多项式为$a^2+2a-1-(-2a)=a^2+4a-1$，
所以正确的计算结果是$-2a(a^2+4a-1)=-2a^3-8a^2+2a$。
所以正确的计算结果是$-2a(a^2+4a-1)=-2a^3-8a^2+2a$。
解析
【分析】
解题时首先要先还原出原本的多项式：已知错误的运算为「原多项式 + (-2a) = 得到的结果$a^2 + 2a -1$」，根据加减法的互逆关系，用错误结果减去(-2a)就能求出原多项式；再用求出的原多项式乘-2a，即可得到正确的计算结果。
【解析】
1. 求原多项式：
根据错误运算的关系可得，原多项式为：
$\begin{aligned}a^2 + 2a -1 - (-2a)&=a^2 + 2a -1 +2a\\&=a^2 +4a -1\end{aligned}$
2. 计算正确结果：
用原多项式乘-2a，根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-2a(a^2 +4a -1)&=-2a· a^2 + (-2a)·4a + (-2a)·(-1)\\&=-2a^3 -8a^2 +2a\end{aligned}$
【答案】
$-2a^3 -8a^2 +2a$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式
【点评】
本题考查逆向思维和整式运算的应用，解题关键是理清错误运算的数量关系还原原式，计算时要注意单项式乘多项式时的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先还原出原本的多项式：已知错误的运算为「原多项式 + (-2a) = 得到的结果$a^2 + 2a -1$」，根据加减法的互逆关系，用错误结果减去(-2a)就能求出原多项式；再用求出的原多项式乘-2a，即可得到正确的计算结果。
【解析】
1. 求原多项式：
根据错误运算的关系可得，原多项式为：
$\begin{aligned}a^2 + 2a -1 - (-2a)&=a^2 + 2a -1 +2a\\&=a^2 +4a -1\end{aligned}$
2. 计算正确结果：
用原多项式乘-2a，根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-2a(a^2 +4a -1)&=-2a· a^2 + (-2a)·4a + (-2a)·(-1)\\&=-2a^3 -8a^2 +2a\end{aligned}$
【答案】
$-2a^3 -8a^2 +2a$
【知识点】
整式的加减；单项式乘多项式
【点评】
本题考查逆向思维和整式运算的应用，解题关键是理清错误运算的数量关系还原原式，计算时要注意单项式乘多项式时的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图，把边长分别为a和b的两个正方形并排放在一起，请你计算图中阴影部分的面积。
答案
解 图中阴影部分的面积为$a^2 + b^2 + \dfrac{1}{2}b(a - b) - \dfrac{1}{2}a^2 - \dfrac{1}{2}b(a + b)=\dfrac{1}{2}a^2$。
解析
【分析】
本题中阴影部分为不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此采用“割补法”，用整体图形的总面积减去空白部分的面积求解。首先明确组合图形的总面积：由边长为a、b的两个正方形，加上上方底为$(a-b)$、高为b的小三角形组成；再确定两个空白三角形的面积，分别是大正方形中底为a、高为a的直角三角形，和下方底为$(a+b)$、高为b的直角三角形；最后做差并化简整式即可得到阴影面积。
【解析】
解：先计算组合图形的总面积：
两个正方形的面积和为 $a^2 + b^2$，
上方突出的小三角形面积为 $\frac{1}{2}b(a-b)$，
因此总面积 $S_{总} = a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$。
再计算空白部分的总面积：
大正方形内的空白直角三角形面积为 $\frac{1}{2}a^2$，
下方的空白直角三角形面积为 $\frac{1}{2}b(a+b)$，
因此空白总面积 $S_{空} = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$。
阴影部分面积为总面积减去空白面积：
$\begin{aligned}S_{阴影} &= S_{总} - S_{空} \\&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b) \\&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}a^2$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 整式的加减运算
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心思路是将未知的不规则面积转化为已知的规则图形面积的和差，计算时需注意去括号的符号变化和合并同类项的准确性；最终结果不含b，说明阴影面积仅与大正方形的边长有关，也可通过等积变形的方法快速验证结论。
【难度系数】
0.6
本题中阴影部分为不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此采用“割补法”，用整体图形的总面积减去空白部分的面积求解。首先明确组合图形的总面积：由边长为a、b的两个正方形，加上上方底为$(a-b)$、高为b的小三角形组成；再确定两个空白三角形的面积，分别是大正方形中底为a、高为a的直角三角形，和下方底为$(a+b)$、高为b的直角三角形；最后做差并化简整式即可得到阴影面积。
【解析】
解：先计算组合图形的总面积：
两个正方形的面积和为 $a^2 + b^2$，
上方突出的小三角形面积为 $\frac{1}{2}b(a-b)$，
因此总面积 $S_{总} = a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$。
再计算空白部分的总面积：
大正方形内的空白直角三角形面积为 $\frac{1}{2}a^2$，
下方的空白直角三角形面积为 $\frac{1}{2}b(a+b)$，
因此空白总面积 $S_{空} = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$。
阴影部分面积为总面积减去空白面积：
$\begin{aligned}S_{阴影} &= S_{总} - S_{空} \\&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a+b) \\&= a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}a^2$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 整式的加减运算
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心思路是将未知的不规则面积转化为已知的规则图形面积的和差，计算时需注意去括号的符号变化和合并同类项的准确性；最终结果不含b，说明阴影面积仅与大正方形的边长有关，也可通过等积变形的方法快速验证结论。
【难度系数】
0.6
