19. (本小题满分10分)
图①是一手机支架的实物图，图②是其侧面示意图，已知伸缩臂AB的长度可调节(10 cm≤AB≤15 cm)，并且可绕点A转动，转动角α的变化范围是0°＜α≤90°，手机支撑片EC可绕点B转动，BC=10 cm，转动角β的变化范围是0°＜β≤90°. 小明使用该支架进行线上学习，当β≥30°，且点C距底座的高度不小于7 cm时，他才感觉舒适.

(1)如图②，当α=90°，β=37°，AB=12 cm时，求支撑片底部点C距底座的高度，并判断这个高度是否符合小明使用的舒适要求. (参考数据：$\sin37°≈0.6$，$\cos37°≈0.8$，$\tan37°≈0.75$)
(2)如图③，当α=60°，β=90°时，AB的长度为多少厘米，才能满足点C距底座的最低舒适高度要求？(结果精确到1 cm. 参考数据：$\sqrt{3}≈1.73$)

19. 解：(1)如图，过点C作$CM⊥ AD$于点M，$CN⊥ AB$于点N.

$\therefore$ 四边形AMCN是矩形.
$\therefore CM=AN$.
在$\mathrm{Rt}△ BNC$中，
$\because β=37°$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，
$\cos β=\dfrac{BN}{BC}$，
$\therefore BN=BC· \cos 37°=10× 0.8=8(\mathrm{cm})$.
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AN=AB-BN=4(\mathrm{cm})$.
$\therefore CM=4\ \mathrm{cm}$，即支撑片底部点C距底座的高度为4 cm.
$\because 4＜7$，
$\therefore$ 这个高度不符合小明使用的舒适要求.
(2)如图，过点B作$BQ⊥ AD$于点Q，过点C作$CP⊥ AD$于点P，$CO⊥ BQ$于点O.

$\therefore$ 四边形PQOC是矩形.
$\therefore OQ=CP$.
$\because$ 点C距底座的高度不小于7 cm时，小明才感觉舒适，
$\therefore$ 点C距底座的最低舒适高度要求为7 cm.
$\therefore OQ=CP=7\ \mathrm{cm}$.
$\because α=60°$，$∠ AQB=90°$，
$\therefore ∠ ABQ=30°$.
$\because β=90°$，
$\therefore ∠ CBO=60°$.
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，
$\because BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ CBO=60°$，
$\therefore OB=BC· \cos 60°=10× \dfrac{1}{2}=5(\mathrm{cm})$.
$\therefore BQ=OB+OQ=5+7=12(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt}△ AQB$中，
$\because α=60°$，$BQ=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=\dfrac{BQ}{\sin 60°}=\dfrac{12}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}\approx14(\mathrm{cm})$.
即AB的长度为14 cm时，才能满足点C距底座的最低舒适高度要求.