登录
【例】(2025邵阳期中)如图，AC，BD相交于点O，∠B=∠C.求证：△AOB∽△DOC.
方法技巧 当已知条件中出现平行线、对顶角、公共角或给出几个角的大小时，一般选用“两角分别相等的两个三角形相似”进行判定.
方法技巧 当已知条件中出现平行线、对顶角、公共角或给出几个角的大小时，一般选用“两角分别相等的两个三角形相似”进行判定.
答案
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
解析
【分析】
要证明△AOB∽△DOC，可选用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来推导。首先已知条件给出了一组相等的角∠B=∠C，再观察图形特征：AC和BD相交于点O，可得到一组对顶角∠AOB与∠DOC，根据对顶角的性质可知这组角也相等，此时两个三角形已有两组角分别相等，满足相似三角形的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AC，BD相交于点O，
∴∠BOA=∠COD（对顶角相等）。
又
∵∠B=∠C（已知），
∴根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△AOB∽△DOC。
【答案】
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
【知识点】
对顶角的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是善于挖掘图形中的隐含条件（对顶角相等），结合已知的等角条件，直接套用相似三角形的判定定理即可求证，难度较低。
【难度系数】
0.9
要证明△AOB∽△DOC，可选用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来推导。首先已知条件给出了一组相等的角∠B=∠C，再观察图形特征：AC和BD相交于点O，可得到一组对顶角∠AOB与∠DOC，根据对顶角的性质可知这组角也相等，此时两个三角形已有两组角分别相等，满足相似三角形的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AC，BD相交于点O，
∴∠BOA=∠COD（对顶角相等）。
又
∵∠B=∠C（已知），
∴根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△AOB∽△DOC。
【答案】
证明:
∵AC,BD相交于点O,
∴∠BOA=∠COD.
又
∵∠B=∠C,
∴△AOB∽△DOC.
【知识点】
对顶角的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题关键是善于挖掘图形中的隐含条件（对顶角相等），结合已知的等角条件，直接套用相似三角形的判定定理即可求证，难度较低。
【难度系数】
0.9
【变式1】如图，在$△ ABC$中，点$D$在$AB$边上，点$E$在$AC$边上，且$∠1=∠2=∠3$，则下列结论不正确的是（
A.$△ ADE ∽ △ ABC$
B.$△ ADE ∽ △ ACD$
C.$△ ADE ∽ △ EDC$
D.$△ ABC ∽ △ ACD$
C
）A.$△ ADE ∽ △ ABC$
B.$△ ADE ∽ △ ACD$
C.$△ ADE ∽ △ EDC$
D.$△ ABC ∽ △ ACD$
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项中三角形是否相似，需结合已知∠1=∠2=∠3的条件，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析每个选项中两个三角形的对应角关系：首先找公共角，再结合已知等角判断是否满足两角相等的判定条件，找不到两组对应等角的即为不相似的选项。
【解析】
我们根据两角分别相等的两个三角形相似，逐个分析选项：
1. 选项A：在△ADE和△ABC中，∠A是公共角，且已知∠1=∠2，满足两组对应角相等，故△ADE∽△ABC，A结论正确，不符合题意。
2. 选项B：在△ADE和△ACD中，∠A是公共角，且已知∠1=∠3，满足两组对应角相等，故△ADE∽△ACD，B结论正确，不符合题意。
3. 选项D：在△ABC和△ACD中，∠A是公共角，且已知∠2=∠3，满足两组对应角相等，故△ABC∽△ACD，D结论正确，不符合题意。
4. 选项C：在△ADE和△EDC中，仅能得到∠1=∠3，无法证明存在第二组对应角相等，也不满足其他相似判定条件，故△ADE与△EDC不相似，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合已知角相等的条件，优先找公共角，再验证另一组对应角是否相等，即可快速判断三角形是否相似。
【难度系数】
0.7
要判断各选项中三角形是否相似，需结合已知∠1=∠2=∠3的条件，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析每个选项中两个三角形的对应角关系：首先找公共角，再结合已知等角判断是否满足两角相等的判定条件，找不到两组对应等角的即为不相似的选项。
【解析】
我们根据两角分别相等的两个三角形相似，逐个分析选项：
1. 选项A：在△ADE和△ABC中，∠A是公共角，且已知∠1=∠2，满足两组对应角相等，故△ADE∽△ABC，A结论正确，不符合题意。
2. 选项B：在△ADE和△ACD中，∠A是公共角，且已知∠1=∠3，满足两组对应角相等，故△ADE∽△ACD，B结论正确，不符合题意。
3. 选项D：在△ABC和△ACD中，∠A是公共角，且已知∠2=∠3，满足两组对应角相等，故△ABC∽△ACD，D结论正确，不符合题意。
4. 选项C：在△ADE和△EDC中，仅能得到∠1=∠3，无法证明存在第二组对应角相等，也不满足其他相似判定条件，故△ADE与△EDC不相似，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合已知角相等的条件，优先找公共角，再验证另一组对应角是否相等，即可快速判断三角形是否相似。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，在$△ ECD$中，$∠ C=90°$，$AB ⊥ EC$于点B，$AB=1.2$，$EB=1.6$，$BC=12.4$，则CD的长是
（
A.14
B.12.4
C.10.5
D.9.3
（
C
）A.14
B.12.4
C.10.5
D.9.3
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知AB⊥EC，∠C=90°，可推出AB与CD平行，进而得到△EAB和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出EC的总长度，再代入比例式即可计算出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥EC，∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
又
∵∠E是△EAB和△EDC的公共角，
∴△EAB∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
∵EB=1.6，BC=12.4，
∴EC=EB+BC=1.6+12.4=14，
将AB=1.2，EB=1.6，EC=14代入比例式得：
$\frac{1.6}{14}=\frac{1.2}{CD}$，
解得：$CD=\frac{1.2×14}{1.6}=10.5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础的相似三角形应用题型，解题关键是准确识别相似三角形，正确列出对应边的比例式，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，已知AB⊥EC，∠C=90°，可推出AB与CD平行，进而得到△EAB和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，先求出EC的总长度，再代入比例式即可计算出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥EC，∠C=90°，
∴∠ABE=∠C=90°，
又
∵∠E是△EAB和△EDC的公共角，
∴△EAB∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
∵EB=1.6，BC=12.4，
∴EC=EB+BC=1.6+12.4=14，
将AB=1.2，EB=1.6，EC=14代入比例式得：
$\frac{1.6}{14}=\frac{1.2}{CD}$，
解得：$CD=\frac{1.2×14}{1.6}=10.5$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础的相似三角形应用题型，解题关键是准确识别相似三角形，正确列出对应边的比例式，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 (
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
C
)A.①②
B.②④
C.①③
D.③④
答案
1. C
解析
【分析】
要判断阴影三角形是否与原△ABC相似，首先利用三角形内角和求出△ABC三个内角的度数，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一核对每个阴影三角形是否与原三角形有两个对应相等的角即可。首先可先计算∠C：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$，即△ABC三个内角分别为$76°$、$34°$、$70°$。
【解析】
先计算原△ABC的第三个内角：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° -76° -34° =70°$
再逐个分析4种剪法：
1. 图①：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ B=34°$，且阴影三角形另有一个内角为$76°$，与原三角形的$∠ A$相等，满足两角对应相等，两三角形相似；
2. 图②：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ B=34°$，阴影三角形在点C处的内角为$34°$，找不到第二个与原三角形相等的对应角，故不相似；
3. 图③：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ C=70°$，且阴影三角形另有一个内角为$34°$，与原三角形的$∠ B$相等，满足两角对应相等，两三角形相似；
4. 图④：阴影三角形与原三角形仅公共角$∠ C=70°$相等，找不到第二个对应相等的角，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定规则，分析时要注意找准两个三角形的公共角和对应相等的角。
【难度系数】
0.7
要判断阴影三角形是否与原△ABC相似，首先利用三角形内角和求出△ABC三个内角的度数，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一核对每个阴影三角形是否与原三角形有两个对应相等的角即可。首先可先计算∠C：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-76°-34°=70°$，即△ABC三个内角分别为$76°$、$34°$、$70°$。
【解析】
先计算原△ABC的第三个内角：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° -76° -34° =70°$
再逐个分析4种剪法：
1. 图①：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ B=34°$，且阴影三角形另有一个内角为$76°$，与原三角形的$∠ A$相等，满足两角对应相等，两三角形相似；
2. 图②：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ B=34°$，阴影三角形在点C处的内角为$34°$，找不到第二个与原三角形相等的对应角，故不相似；
3. 图③：阴影三角形与原三角形有公共角$∠ C=70°$，且阴影三角形另有一个内角为$34°$，与原三角形的$∠ B$相等，满足两角对应相等，两三角形相似；
4. 图④：阴影三角形与原三角形仅公共角$∠ C=70°$相等，找不到第二个对应相等的角，故不相似。
综上，①③的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定规则，分析时要注意找准两个三角形的公共角和对应相等的角。
【难度系数】
0.7
2. (2025上海月考)下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是 （
A.都含有一个$65°$的内角
B.都含有一个$75°$的内角
C.都含有一个$85°$的内角
D.都含有一个$95°$的内角
D
）A.都含有一个$65°$的内角
B.都含有一个$75°$的内角
C.都含有一个$85°$的内角
D.都含有一个$95°$的内角
答案
2. D
解析
【分析】
解题需结合两个核心知识点思考：①等腰三角形的角的性质：等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此锐角既可以是顶角也可以是底角，钝角只能是顶角；②相似三角形判定：两角对应相等的两个三角形相似。要判断两个等腰三角形一定相似，需保证给定的内角对应的等腰三角形内角组合唯一，不会出现两种不同的角的搭配，因此只需找到选项中属于钝角的内角即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：65°是锐角，对应两种等腰三角形：①65°为顶角，底角为(180°-65°)÷2=57.5°；②65°为底角，顶角为180°-65°×2=50°。两个含65°的等腰三角形可能分别属于这两种情况，角不对应相等，不一定相似，排除A。
2. 选项B：75°是锐角，对应两种等腰三角形：①75°为顶角，底角为(180°-75°)÷2=52.5°；②75°为底角，顶角为180°-75°×2=30°。两种三角形内角不对应，不一定相似，排除B。
3. 选项C：85°是锐角，对应两种等腰三角形：①85°为顶角，底角为(180°-85°)÷2=47.5°；②85°为底角，顶角为180°-85°×2=10°。两种三角形内角不对应，不一定相似，排除C。
4. 选项D：95°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，底角固定为(180°-95°)÷2=42.5°，所有含95°内角的等腰三角形内角均为95°、42.5°、42.5°，两角对应相等，一定相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略对等腰三角形中已知锐角的分类讨论，解题关键是明确钝角在等腰三角形中只能作为顶角，内角组合唯一，这类题需要牢固掌握等腰三角形的角的特性和相似判定定理。
【难度系数】
0.7
解题需结合两个核心知识点思考：①等腰三角形的角的性质：等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此锐角既可以是顶角也可以是底角，钝角只能是顶角；②相似三角形判定：两角对应相等的两个三角形相似。要判断两个等腰三角形一定相似，需保证给定的内角对应的等腰三角形内角组合唯一，不会出现两种不同的角的搭配，因此只需找到选项中属于钝角的内角即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：65°是锐角，对应两种等腰三角形：①65°为顶角，底角为(180°-65°)÷2=57.5°；②65°为底角，顶角为180°-65°×2=50°。两个含65°的等腰三角形可能分别属于这两种情况，角不对应相等，不一定相似，排除A。
2. 选项B：75°是锐角，对应两种等腰三角形：①75°为顶角，底角为(180°-75°)÷2=52.5°；②75°为底角，顶角为180°-75°×2=30°。两种三角形内角不对应，不一定相似，排除B。
3. 选项C：85°是锐角，对应两种等腰三角形：①85°为顶角，底角为(180°-85°)÷2=47.5°；②85°为底角，顶角为180°-85°×2=10°。两种三角形内角不对应，不一定相似，排除C。
4. 选项D：95°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，底角固定为(180°-95°)÷2=42.5°，所有含95°内角的等腰三角形内角均为95°、42.5°、42.5°，两角对应相等，一定相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略对等腰三角形中已知锐角的分类讨论，解题关键是明确钝角在等腰三角形中只能作为顶角，内角组合唯一，这类题需要牢固掌握等腰三角形的角的特性和相似判定定理。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$ 于点 $D$，$AC=6$，$AB=9$，则 $AD$ 的长是（
A.6
B.5
C.4
D.3
C
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
3. C
解析
【分析】
本题可通过“双垂直”模型中的相似三角形求解。首先观察图形，Rt△ABC中CD⊥AB，存在公共角∠A，可证明△ACD与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$，
将$AC=6$，$AB=9$代入得：
$6^2=9× AD$，
$36=9AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是识别出直角三角形斜边上的高构成的相似三角形模型，利用相似的性质建立边的关系求解，该模型是几何中常用的经典模型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题可通过“双垂直”模型中的相似三角形求解。首先观察图形，Rt△ABC中CD⊥AB，存在公共角∠A，可证明△ACD与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD· AB$，
将$AC=6$，$AB=9$代入得：
$6^2=9× AD$，
$36=9AD$，
解得$AD=4$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是识别出直角三角形斜边上的高构成的相似三角形模型，利用相似的性质建立边的关系求解，该模型是几何中常用的经典模型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
