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1. 画$y=ax^2(a＞0)$的图象
画$y=ax^2(a＞0)$的图象时，可以先画出图象在$y$轴右边的部分，然后利用
画$y=ax^2(a＞0)$的图象时，可以先画出图象在$y$轴右边的部分，然后利用
对称性
，再画出图象在$y$轴左边的部分。在画右边部分时，只需“列表
、描点
、连线
”三个步骤。答案
1. 对称性 列表 描点 连线
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象特征：它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此绘制完y轴右侧的图象后，利用轴对称性质就能直接得到左侧图象，不需要重新计算坐标。再回忆绘制函数图象的通用基础步骤，不管是画完整图象还是局部图象，核心都是列表、描点、连线三步，对应填写后三个空即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此画出y轴右侧部分后，可利用对称性画出y轴左侧的部分。绘制函数图象的基础步骤为列表、描点、连线，画右侧部分时也遵循这三个步骤。
【答案】
对称性；列表；描点；连线
【知识点】
二次函数对称性，函数图象画法
【点评】
本题属于基础识记类题目，侧重考查二次函数的基础图象性质和画图的基本操作步骤，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象特征：它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此绘制完y轴右侧的图象后，利用轴对称性质就能直接得到左侧图象，不需要重新计算坐标。再回忆绘制函数图象的通用基础步骤，不管是画完整图象还是局部图象，核心都是列表、描点、连线三步，对应填写后三个空即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此画出y轴右侧部分后，可利用对称性画出y轴左侧的部分。绘制函数图象的基础步骤为列表、描点、连线，画右侧部分时也遵循这三个步骤。
【答案】
对称性；列表；描点；连线
【知识点】
二次函数对称性，函数图象画法
【点评】
本题属于基础识记类题目，侧重考查二次函数的基础图象性质和画图的基本操作步骤，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数 $y=ax^2(a＞0)$ 的图象的性质
(1)图象关于
(2)图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而
(3)图象是一条曲线,它的开口
(4)当 $x=0$ 时,函数值最小,最小值为
(1)图象关于
y轴
对称；(2)图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而
增大
,简称为“右升
”,图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而减小
,简称为“左降
”；(3)图象是一条曲线,它的开口
向上
,对称轴与图象的交点是原点(0,0)；(4)当 $x=0$ 时,函数值最小,最小值为
0
.答案
2. (1) y轴 (2) 增大 右升 减小 左降 (3) 向上 (4) 0
解析
【分析】
本题考查$a＞0$时二次函数$y=ax^2$的基础图象性质，解题时可结合抛物线的图象特征逐一推导：首先根据代入$x$、$-x$得到的函数值相等判断对称轴；再通过比较对称轴两侧不同自变量对应的函数值大小判断增减性；根据$a$的符号判断开口方向；最后结合$x^2$的非负性求最小值，也可直接结合已学的基础性质对应填空。
【解析】
(1) 对任意$x$，代入$-x$得$y=a(-x)^2=ax^2$，与原函数值相等，因此图象关于y轴对称；
(2) 当$a＞0$时，在对称轴右侧（$x＞0$的区域），若$x_2＞x_1＞0$，则$ax_2^2＞ax_1^2$，函数值随自变量增大而增大，简称“右升”；在对称轴左侧（$x＜0$的区域），若$x_2＜x_1＜0$，则$ax_2^2＞ax_1^2$，函数值随自变量增大而减小，简称“左降”；
(3) 二次项系数$a＞0$，因此抛物线$y=ax^2$的开口向上；
(4) 由于$x^2≥0$，且$a＞0$，因此$ax^2≥0$，当且仅当$x=0$时取等号，因此函数的最小值为0。
【答案】
(1) y轴 (2) 增大 右升 减小 左降 (3) 向上 (4) 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查最简二次函数的核心性质，是后续学习一般形式二次函数的重要基础，熟练掌握该类基础性质可提升复杂二次函数问题的解题效率。
【难度系数】
0.9
本题考查$a＞0$时二次函数$y=ax^2$的基础图象性质，解题时可结合抛物线的图象特征逐一推导：首先根据代入$x$、$-x$得到的函数值相等判断对称轴；再通过比较对称轴两侧不同自变量对应的函数值大小判断增减性；根据$a$的符号判断开口方向；最后结合$x^2$的非负性求最小值，也可直接结合已学的基础性质对应填空。
【解析】
(1) 对任意$x$，代入$-x$得$y=a(-x)^2=ax^2$，与原函数值相等，因此图象关于y轴对称；
(2) 当$a＞0$时，在对称轴右侧（$x＞0$的区域），若$x_2＞x_1＞0$，则$ax_2^2＞ax_1^2$，函数值随自变量增大而增大，简称“右升”；在对称轴左侧（$x＜0$的区域），若$x_2＜x_1＜0$，则$ax_2^2＞ax_1^2$，函数值随自变量增大而减小，简称“左降”；
(3) 二次项系数$a＞0$，因此抛物线$y=ax^2$的开口向上；
(4) 由于$x^2≥0$，且$a＞0$，因此$ax^2≥0$，当且仅当$x=0$时取等号，因此函数的最小值为0。
【答案】
(1) y轴 (2) 增大 右升 减小 左降 (3) 向上 (4) 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查最简二次函数的核心性质，是后续学习一般形式二次函数的重要基础，熟练掌握该类基础性质可提升复杂二次函数问题的解题效率。
【难度系数】
0.9
【例1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数$y=4x^2$，$y=\frac{1}{4}x^2$的图象。
【变式】二次函数$y=2x^2$的图象大致是（
【变式】二次函数$y=2x^2$的图象大致是（
A
）答案
【例1】 解：如图.
【变式】 A
解析
【分析】
例1：绘制二次函数$y=ax^2$的图象时，首先明确此类函数的顶点为原点、对称轴为y轴，且$a＞0$时开口向上，因此只需选取关于y轴对称的几组点，计算对应函数值，再描点、用平滑曲线连线即可得到完整图象。
变式：要判断$y=2x^2$的图象，首先根据$a$的符号判断开口方向，再结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特征，最后根据$|a|$越大开口越窄的规律匹配对应图象即可。
【解析】
例1
画二次函数图象分三步：
1. 列表：分别取x的对称值计算对应y值：
对$y=4x^2$，取$x=-1,0,1$时，对应$y=4,0,4$，也可根据需要选取其他对称点；
对$y=\frac{1}{4}x^2$，取$x=-4,0,4$时，对应$y=4,0,4$。
2. 描点：将计算得到的坐标点在坐标系中标出。
3. 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，同时根据对称性补全y轴另一侧的图象，最终得到对应图象。
变式
对于二次函数$y=2x^2$：
① 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，可排除所有开口向下的选项；
② $y=ax^2$的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，可排除顶点不在原点的选项；
③ $|a|$越大抛物线开口越窄，$2$介于$\frac{1}{4}$和$4$之间，因此开口宽窄在$y=\frac{1}{4}x^2$和$y=4x^2$之间，综上符合条件的为选项A。
【答案】
【例1】 如图.
【变式】 A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数图象的画法
【点评】
本题围绕基础二次函数$y=ax^2$的图象与性质设计，解题核心是掌握a的符号对开口方向的影响、|a|对开口宽窄的影响，以及此类函数的顶点、对称轴特征，属于基础类考题，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.85
例1：绘制二次函数$y=ax^2$的图象时，首先明确此类函数的顶点为原点、对称轴为y轴，且$a＞0$时开口向上，因此只需选取关于y轴对称的几组点，计算对应函数值，再描点、用平滑曲线连线即可得到完整图象。
变式：要判断$y=2x^2$的图象，首先根据$a$的符号判断开口方向，再结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特征，最后根据$|a|$越大开口越窄的规律匹配对应图象即可。
【解析】
例1
画二次函数图象分三步：
1. 列表：分别取x的对称值计算对应y值：
对$y=4x^2$，取$x=-1,0,1$时，对应$y=4,0,4$，也可根据需要选取其他对称点；
对$y=\frac{1}{4}x^2$，取$x=-4,0,4$时，对应$y=4,0,4$。
2. 描点：将计算得到的坐标点在坐标系中标出。
3. 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，同时根据对称性补全y轴另一侧的图象，最终得到对应图象。
变式
对于二次函数$y=2x^2$：
① 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，可排除所有开口向下的选项；
② $y=ax^2$的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，可排除顶点不在原点的选项；
③ $|a|$越大抛物线开口越窄，$2$介于$\frac{1}{4}$和$4$之间，因此开口宽窄在$y=\frac{1}{4}x^2$和$y=4x^2$之间，综上符合条件的为选项A。
【答案】
【例1】 如图.
【变式】 A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质；2. 二次函数图象的画法
【点评】
本题围绕基础二次函数$y=ax^2$的图象与性质设计，解题核心是掌握a的符号对开口方向的影响、|a|对开口宽窄的影响，以及此类函数的顶点、对称轴特征，属于基础类考题，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.85
【例2】函数$y=6x^2$的图象开口方向是
向上
，对称轴是y轴
，与对称轴的交点坐标是(0,0)
，图象有最低
（填“最高”或“最低”）点，函数有最小
值，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
。答案
【例2】 向上 y轴 (0,0) 最低 小 增大
解析
【分析】
解题时首先明确该函数是最简二次函数形式$y=ax^2$，按以下思路逐步推导：第一步先判断二次项系数$a$的符号，以此确定开口方向；第二步回忆$y=ax^2$的固有性质，直接得到对称轴、顶点坐标；第三步结合开口方向判断图象有最高点还是最低点、函数有最大值还是最小值；最后根据开口方向和$x＞0$的范围，判断函数的增减性。
【解析】
1. 函数$y=6x^2$的二次项系数$a=6＞0$，因此图象开口向上；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴固定为y轴（即直线$x=0$）；
3. 图象与对称轴的交点为函数的顶点，坐标为$(0,0)$；
4. 因为图象开口向上，所以图象有最低点，对应的函数有最小值；
5. 开口向上的二次函数，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向上；y轴；$(0,0)$；最低；小；增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2$的图象与相关性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确该函数是最简二次函数形式$y=ax^2$，按以下思路逐步推导：第一步先判断二次项系数$a$的符号，以此确定开口方向；第二步回忆$y=ax^2$的固有性质，直接得到对称轴、顶点坐标；第三步结合开口方向判断图象有最高点还是最低点、函数有最大值还是最小值；最后根据开口方向和$x＞0$的范围，判断函数的增减性。
【解析】
1. 函数$y=6x^2$的二次项系数$a=6＞0$，因此图象开口向上；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴固定为y轴（即直线$x=0$）；
3. 图象与对称轴的交点为函数的顶点，坐标为$(0,0)$；
4. 因为图象开口向上，所以图象有最低点，对应的函数有最小值；
5. 开口向上的二次函数，在对称轴右侧（$x＞0$的区间），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向上；y轴；$(0,0)$；最低；小；增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握$y=ax^2$的图象与相关性质，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
【变式】(2025珠海三模)若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
【变式】 A
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，有两种常用解题思路：①代入法：将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较大小；②性质法：先判断二次函数$y=x^2$的开口方向和对称轴，再结合三个点横坐标的位置和函数增减性比较y值大小，两种方法都符合九年级知识要求，能快速得出结果。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将各点横坐标代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$0＜1＜4$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），在$x≥0$的范围内，y随x的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，均在$x≥0$的区间内，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.二次函数的增减性 3.有理数大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数性质快速判断，主要考查对二次函数基本性质的掌握和应用能力，是常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基本性质，有两种常用解题思路：①代入法：将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y值后直接比较大小；②性质法：先判断二次函数$y=x^2$的开口方向和对称轴，再结合三个点横坐标的位置和函数增减性比较y值大小，两种方法都符合九年级知识要求，能快速得出结果。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将各点横坐标代入$y=x^2$计算：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$0＜1＜4$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），在$x≥0$的范围内，y随x的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，均在$x≥0$的区间内，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.二次函数的增减性 3.有理数大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数性质快速判断，主要考查对二次函数基本性质的掌握和应用能力，是常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
1. 二次函数$y=\sqrt{3}x^2$的图象与对称轴的交点坐标是（
A.$(0,\sqrt{3})$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},0)$
D.$(0,0)$
D
）A.$(0,\sqrt{3})$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},0)$
D.$(0,0)$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时需明确两个核心思路：首先确定二次函数$y=\sqrt{3}x^2$的对称轴，再计算函数图象与对称轴的交点坐标。回忆形如$y=ax^2(a≠0)$的最简二次函数性质，它的对称轴是y轴（直线$x=0$），图象和对称轴的交点就是函数的顶点，将对称轴的x值代入解析式就能求出对应y值，得到交点坐标。
【解析】
解：二次函数$y=\sqrt{3}x^2$属于$y=ax^2(a≠0)$的形式，其中$a=\sqrt{3}$：
1. 确定对称轴：该类二次函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 计算交点坐标：将$x=0$代入函数解析式，得$y=\sqrt{3}×0^2=0$，因此图象与对称轴的交点坐标为$(0,0)$。
综上本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数对称轴
3. 交点坐标计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对最简二次函数核心图象性质的掌握，熟记$y=ax^2$的对称轴和顶点特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时需明确两个核心思路：首先确定二次函数$y=\sqrt{3}x^2$的对称轴，再计算函数图象与对称轴的交点坐标。回忆形如$y=ax^2(a≠0)$的最简二次函数性质，它的对称轴是y轴（直线$x=0$），图象和对称轴的交点就是函数的顶点，将对称轴的x值代入解析式就能求出对应y值，得到交点坐标。
【解析】
解：二次函数$y=\sqrt{3}x^2$属于$y=ax^2(a≠0)$的形式，其中$a=\sqrt{3}$：
1. 确定对称轴：该类二次函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
2. 计算交点坐标：将$x=0$代入函数解析式，得$y=\sqrt{3}×0^2=0$，因此图象与对称轴的交点坐标为$(0,0)$。
综上本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数对称轴
3. 交点坐标计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对最简二次函数核心图象性质的掌握，熟记$y=ax^2$的对称轴和顶点特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
