登录
2.计算图中涂色部分的周长和面积。(单位:cm)(8分)
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
2. (1)C=37.68cm S=25.12$\mathrm{cm}^2$
(2)C=44.56cm S=70.88$\mathrm{cm}^2$
(2)C=44.56cm S=70.88$\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
计算涂色部分周长时，首先要明确涂色部分的外围轮廓由哪些圆弧、直边组成，分别计算各部分长度后求和，注意不要漏算或重复计算边；计算面积时，可通过割补、平移等方法，把不规则涂色部分转化为长方形、圆、半圆等规则图形的面积和差来计算，计算时π统一取3.14即可。
【解析】
(1) 周长计算：观察图形可知，涂色部分周长由半径4cm的半圆弧与2个直径4cm的整圆弧组成：
$\begin{aligned}C&=3.14× 8÷ 2 + 3.14× 4× 2\\&=12.56 + 25.12\\&=37.68\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
面积计算：将涂色部分平移割补后，可拼接为半径4cm的半圆：
$\begin{aligned}S&=3.14× 4^2÷ 2\\&=3.14× 16÷ 2\\&=25.12\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
(2) 周长计算：涂色部分周长由半径4cm的半圆弧、2条长12cm的直边和1条长8cm的直边组成：
$\begin{aligned}C&=3.14× 8÷ 2 + 12× 2 + 8\\&=12.56 + 24 + 8\\&=44.56\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
面积计算：用长12cm、宽8cm的长方形面积减去半径4cm的半圆面积（空白部分）：
$\begin{aligned}S&=12× 8 - 3.14× 4^2÷ 2\\&=96 - 25.12\\&=70.88\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $C=37.68\mathrm{cm}$，$S=25.12\mathrm{cm}^2$；(2) $C=44.56\mathrm{cm}$，$S=70.88\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；不规则图形周长面积计算
【点评】
本题主要考查对不规则图形周长、面积的转化计算能力，解题关键是准确拆分周长的组成部分，灵活运用和差法、割补法处理面积，注意避免漏算周长边、错算图形尺寸的问题。
【难度系数】
0.65
计算涂色部分周长时，首先要明确涂色部分的外围轮廓由哪些圆弧、直边组成，分别计算各部分长度后求和，注意不要漏算或重复计算边；计算面积时，可通过割补、平移等方法，把不规则涂色部分转化为长方形、圆、半圆等规则图形的面积和差来计算，计算时π统一取3.14即可。
【解析】
(1) 周长计算：观察图形可知，涂色部分周长由半径4cm的半圆弧与2个直径4cm的整圆弧组成：
$\begin{aligned}C&=3.14× 8÷ 2 + 3.14× 4× 2\\&=12.56 + 25.12\\&=37.68\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
面积计算：将涂色部分平移割补后，可拼接为半径4cm的半圆：
$\begin{aligned}S&=3.14× 4^2÷ 2\\&=3.14× 16÷ 2\\&=25.12\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
(2) 周长计算：涂色部分周长由半径4cm的半圆弧、2条长12cm的直边和1条长8cm的直边组成：
$\begin{aligned}C&=3.14× 8÷ 2 + 12× 2 + 8\\&=12.56 + 24 + 8\\&=44.56\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
面积计算：用长12cm、宽8cm的长方形面积减去半径4cm的半圆面积（空白部分）：
$\begin{aligned}S&=12× 8 - 3.14× 4^2÷ 2\\&=96 - 25.12\\&=70.88\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $C=37.68\mathrm{cm}$，$S=25.12\mathrm{cm}^2$；(2) $C=44.56\mathrm{cm}$，$S=70.88\mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；不规则图形周长面积计算
【点评】
本题主要考查对不规则图形周长、面积的转化计算能力，解题关键是准确拆分周长的组成部分，灵活运用和差法、割补法处理面积，注意避免漏算周长边、错算图形尺寸的问题。
【难度系数】
0.65
五、解决问题。（41分）
1.如下图，等腰直角三角形OAB的面积为5平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（3分）
1.如下图，等腰直角三角形OAB的面积为5平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（3分）
答案
1. 解:设圆的半径为r厘米。
$r×r÷2=5$
$r^2 =5×2$
$r^2 =10$
$3.14×10=31.4$(平方厘米)
答:圆的面积是31.4平方厘米。
$r×r÷2=5$
$r^2 =5×2$
$r^2 =10$
$3.14×10=31.4$(平方厘米)
答:圆的面积是31.4平方厘米。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：等腰直角三角形OAB的两条直角边OA、OB都是圆的半径r，且两条直角边互相垂直，可分别作为三角形的底和高。已知三角形的面积，我们不需要单独求出半径r的具体数值，只需要通过三角形面积公式求出$r^2$的值，再直接代入圆的面积公式$S=π r^2$计算即可得到圆的面积。
【解析】
解：设圆的半径为r厘米。
等腰直角三角形OAB的面积 = 直角边×直角边÷2，因此可得：
$r× r÷2=5$
整理计算得$r^2=5×2=10$
根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$r^2=10$、$π$取3.14代入得：
$3.14×10=31.4$（平方厘米）
【答案】
31.4平方厘米
【知识点】
圆的面积计算；三角形面积计算；等腰直角三角形特征
【点评】
本题的核心是找到等腰直角三角形的直角边与圆半径的对应关系，解题时无需单独计算半径的具体值，通过整体代入$r^2$的值即可求出结果，能很好地考查对图形关联的观察能力和整体代入的计算思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：等腰直角三角形OAB的两条直角边OA、OB都是圆的半径r，且两条直角边互相垂直，可分别作为三角形的底和高。已知三角形的面积，我们不需要单独求出半径r的具体数值，只需要通过三角形面积公式求出$r^2$的值，再直接代入圆的面积公式$S=π r^2$计算即可得到圆的面积。
【解析】
解：设圆的半径为r厘米。
等腰直角三角形OAB的面积 = 直角边×直角边÷2，因此可得：
$r× r÷2=5$
整理计算得$r^2=5×2=10$
根据圆的面积公式$S=π r^2$，将$r^2=10$、$π$取3.14代入得：
$3.14×10=31.4$（平方厘米）
【答案】
31.4平方厘米
【知识点】
圆的面积计算；三角形面积计算；等腰直角三角形特征
【点评】
本题的核心是找到等腰直角三角形的直角边与圆半径的对应关系，解题时无需单独计算半径的具体值，通过整体代入$r^2$的值即可求出结果，能很好地考查对图形关联的观察能力和整体代入的计算思维。
【难度系数】
0.7
2.秦叔叔为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70厘米，平均每分钟转80圈。他骑自行车通过一座长879.2米的桥需要多少分钟？（自行车车身长度忽略不计）（4分）
答案
2. 70厘米=0.7米
$3.14×0.7×80=175.84$(米)
$879.2÷175.84=5$(分)
$3.14×0.7×80=175.84$(米)
$879.2÷175.84=5$(分)
解析
【分析】
要计算通过桥需要的时间，已知桥的总长度（路程），首先需要求出骑自行车的速度：
1. 先统一单位，因为轮胎直径单位是厘米，桥长单位是米，单位不统一无法直接计算；
2. 车轮转1圈前进的距离就是轮胎的外周长，根据圆的周长公式$C=π d$可算出车轮转1圈走的路程；
3. 用1圈的路程乘每分钟转的圈数，就能得到每分钟行驶的速度；
4. 最后根据“时间=路程÷速度”，用桥长除以速度就能求出所需时间。
【解析】
首先进行单位换算：
$70厘米=0.7米$
计算自行车每分钟行驶的路程（速度）：
$3.14×0.7×80=175.84$（米/分钟）
计算通过桥需要的时间：
$879.2÷175.84=5$（分）
【答案】
他骑自行车通过这座桥需要5分钟。
【知识点】
圆的周长计算；行程问题；单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了圆周长公式的实际应用，也考查了行程问题基本数量关系的运用，解题时要注意先统一单位，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算通过桥需要的时间，已知桥的总长度（路程），首先需要求出骑自行车的速度：
1. 先统一单位，因为轮胎直径单位是厘米，桥长单位是米，单位不统一无法直接计算；
2. 车轮转1圈前进的距离就是轮胎的外周长，根据圆的周长公式$C=π d$可算出车轮转1圈走的路程；
3. 用1圈的路程乘每分钟转的圈数，就能得到每分钟行驶的速度；
4. 最后根据“时间=路程÷速度”，用桥长除以速度就能求出所需时间。
【解析】
首先进行单位换算：
$70厘米=0.7米$
计算自行车每分钟行驶的路程（速度）：
$3.14×0.7×80=175.84$（米/分钟）
计算通过桥需要的时间：
$879.2÷175.84=5$（分）
【答案】
他骑自行车通过这座桥需要5分钟。
【知识点】
圆的周长计算；行程问题；单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了圆周长公式的实际应用，也考查了行程问题基本数量关系的运用，解题时要注意先统一单位，避免因单位不一致出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3.在一块长1.6米、宽8分米的长方形薄铁皮上剪半径是1分米的圆形铁片，最多能剪出多少个这样的圆形铁片？（4分）
答案
3. 1.6米=16分米
$1×2=2$(分米)
$16÷2=8$(个)
$8÷2=4$(个)
$8×4=32$(个)
$1×2=2$(分米)
$16÷2=8$(个)
$8÷2=4$(个)
$8×4=32$(个)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：剪圆形铁片时，边角料无法拼接使用，因此不能直接用长方形面积除以圆的面积计算个数，需要结合圆的直径判断长方形的长、宽分别能容纳多少个圆。第一步先统一长度单位，再计算圆的直径，接着分别计算长、宽方向最多能剪出的圆的数量，最后将两个方向的数量相乘得到总个数。
【解析】
首先统一单位：1.6米=16分米
圆的直径：$1×2=2$（分米）
计算长方形长的方向可剪出的圆的数量：$16÷2=8$（个）
计算长方形宽的方向可剪出的圆的数量：$8÷2=4$（个）
总数量：$8×4=32$（个）
【答案】
32个
【知识点】
长度单位换算、圆的基本性质、图形裁剪计算
【点评】
本题易错点是直接用长方形面积除以圆的面积求个数，忽略了裁剪时边角料无法利用的实际情况，解题时需结合图形的实际尺寸分别计算两个方向可容纳的图形数量，再求总数量。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确：剪圆形铁片时，边角料无法拼接使用，因此不能直接用长方形面积除以圆的面积计算个数，需要结合圆的直径判断长方形的长、宽分别能容纳多少个圆。第一步先统一长度单位，再计算圆的直径，接着分别计算长、宽方向最多能剪出的圆的数量，最后将两个方向的数量相乘得到总个数。
【解析】
首先统一单位：1.6米=16分米
圆的直径：$1×2=2$（分米）
计算长方形长的方向可剪出的圆的数量：$16÷2=8$（个）
计算长方形宽的方向可剪出的圆的数量：$8÷2=4$（个）
总数量：$8×4=32$（个）
【答案】
32个
【知识点】
长度单位换算、圆的基本性质、图形裁剪计算
【点评】
本题易错点是直接用长方形面积除以圆的面积求个数，忽略了裁剪时边角料无法利用的实际情况，解题时需结合图形的实际尺寸分别计算两个方向可容纳的图形数量，再求总数量。
【难度系数】
0.7
4.【模型意识】小明想买一个直径是12厘米的比萨，商店里刚好售完，售货员提出一个建议：用总价相同的直径分别为9厘米和6厘米的同款比萨各一个来代替。就比萨的面积而言，你认为这样替换划算吗？（4分）
答案
4. 直径是12厘米的比萨的面积:
$3.14×(12÷2)^2 =113.04$(平方厘米)
直径分别为9厘米和6厘米的比萨的面积和:
$3.14×(9÷2)^2 +3.14×(6÷2)^2 =91.845$(平方厘米)
113.04＞91.845,不划算。
$3.14×(12÷2)^2 =113.04$(平方厘米)
直径分别为9厘米和6厘米的比萨的面积和:
$3.14×(9÷2)^2 +3.14×(6÷2)^2 =91.845$(平方厘米)
113.04＞91.845,不划算。
解析
【分析】
要判断替换是否划算，在总价相同的前提下，只需要对比两种方案的比萨总面积大小即可。解题时先回忆圆的面积公式：圆的面积=π×半径²，其中半径=直径÷2。第一步先计算直径12厘米的比萨的面积，第二步计算直径9厘米和6厘米的两个比萨的面积之和，最后对比两个面积的大小，若原比萨面积更大，说明替换后拿到的比萨更小，就不划算，反之则划算。
【解析】
1. 计算直径12厘米的比萨面积：
半径：$12÷2=6$（厘米）
面积：$3.14×6^2=3.14×36=113.04$（平方厘米）
2. 计算两个小比萨的总面积：
直径9厘米的比萨半径：$9÷2=4.5$（厘米），面积：$3.14×4.5^2=3.14×20.25=63.585$（平方厘米）
直径6厘米的比萨半径：$6÷2=3$（厘米），面积：$3.14×3^2=3.14×9=28.26$（平方厘米）
两个小比萨面积和：$63.585+28.26=91.845$（平方厘米）
3. 比较面积大小：$113.04＞91.845$，说明替换后获得的比萨总面积更小。
【答案】
这样替换不划算。
【知识点】
圆的面积计算；小数大小比较；实际问题优化
【点评】
本题结合生活消费的真实场景，考查圆的面积公式的实际应用，需要学生建立“同总价下对比商品总量判断性价比”的逻辑，引导学生学会用数学知识解决生活中的实际决策问题。
【难度系数】
0.7
要判断替换是否划算，在总价相同的前提下，只需要对比两种方案的比萨总面积大小即可。解题时先回忆圆的面积公式：圆的面积=π×半径²，其中半径=直径÷2。第一步先计算直径12厘米的比萨的面积，第二步计算直径9厘米和6厘米的两个比萨的面积之和，最后对比两个面积的大小，若原比萨面积更大，说明替换后拿到的比萨更小，就不划算，反之则划算。
【解析】
1. 计算直径12厘米的比萨面积：
半径：$12÷2=6$（厘米）
面积：$3.14×6^2=3.14×36=113.04$（平方厘米）
2. 计算两个小比萨的总面积：
直径9厘米的比萨半径：$9÷2=4.5$（厘米），面积：$3.14×4.5^2=3.14×20.25=63.585$（平方厘米）
直径6厘米的比萨半径：$6÷2=3$（厘米），面积：$3.14×3^2=3.14×9=28.26$（平方厘米）
两个小比萨面积和：$63.585+28.26=91.845$（平方厘米）
3. 比较面积大小：$113.04＞91.845$，说明替换后获得的比萨总面积更小。
【答案】
这样替换不划算。
【知识点】
圆的面积计算；小数大小比较；实际问题优化
【点评】
本题结合生活消费的真实场景，考查圆的面积公式的实际应用，需要学生建立“同总价下对比商品总量判断性价比”的逻辑，引导学生学会用数学知识解决生活中的实际决策问题。
【难度系数】
0.7
