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一、选择题
1. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是(
A.$\sqrt{27}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{96}$
D.$\sqrt{24}$
1. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是(
A
)A.$\sqrt{27}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{96}$
D.$\sqrt{24}$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪个选项与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：需先把所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐一化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3，符合的即为正确答案。
【解析】
根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式：
A. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
B. $\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，不符合要求；
C. $\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，不符合要求；
D. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，不符合要求。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类二次根式的判定，解题关键是牢记判定前必须先将二次根式化为最简形式，再比对被开方数，掌握二次根式化简方法和同类二次根式定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：需先把所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐一化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3，符合的即为正确答案。
【解析】
根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式：
A. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
B. $\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，不符合要求；
C. $\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，不符合要求；
D. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，化简后被开方数为6，不符合要求。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查同类二次根式的判定，解题关键是牢记判定前必须先将二次根式化为最简形式，再比对被开方数，掌握二次根式化简方法和同类二次根式定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 下列根式中,不能与$\sqrt{2}$合并的是(
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
D.$\sqrt{8}$
C
)A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
D.$\sqrt{8}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断根式能否与$\sqrt{2}$合并，首先明确：只有化为最简二次根式后，被开方数相同的同类二次根式才能合并。因此解题思路是将四个选项的根式全部化为最简二次根式，对比被开方数是否为2，被开方数不为2的即为不能合并的选项。
【解析】
逐个化简各选项：
A. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并；
B. $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并；
C. $\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，最简形式的被开方数是6，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能与$\sqrt{2}$合并；
D. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并。
综上，符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式，同类二次根式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断方法，解题关键是牢记要先将二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
要判断根式能否与$\sqrt{2}$合并，首先明确：只有化为最简二次根式后，被开方数相同的同类二次根式才能合并。因此解题思路是将四个选项的根式全部化为最简二次根式，对比被开方数是否为2，被开方数不为2的即为不能合并的选项。
【解析】
逐个化简各选项：
A. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并；
B. $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并；
C. $\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，最简形式的被开方数是6，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能与$\sqrt{2}$合并；
D. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简形式的被开方数是2，属于同类二次根式，可与$\sqrt{2}$合并。
综上，符合题意的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式，同类二次根式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断方法，解题关键是牢记要先将二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算中,正确的是(
A.$\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=1$
C.$5\sqrt{6}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}$
D
)A.$\sqrt{9}-\sqrt{4}=\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=1$
C.$5\sqrt{6}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的运算规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。接下来按照这个规则逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1≠\sqrt{5}$，计算错误；
B选项：$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3-2)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠1$，计算错误；
C选项：$5\sqrt{6}$和$2\sqrt{3}$化简后被开方数分别为6和3，不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误；
D选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(1+2)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式、二次根式加减
【点评】
本题属于二次根式加减的基础考查题，解题的核心是牢记“先化简、再判断是否为同类二次根式，仅同类二次根式可合并”的规则，要避免出现直接合并根号内的数、忘记合并后保留被开方数、非同类二次根式强行合并等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的运算规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。接下来按照这个规则逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1≠\sqrt{5}$，计算错误；
B选项：$3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=(3-2)\sqrt{5}=\sqrt{5}≠1$，计算错误；
C选项：$5\sqrt{6}$和$2\sqrt{3}$化简后被开方数分别为6和3，不是同类二次根式，不能直接合并，计算错误；
D选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(1+2)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式、二次根式加减
【点评】
本题属于二次根式加减的基础考查题，解题的核心是牢记“先化简、再判断是否为同类二次根式，仅同类二次根式可合并”的规则，要避免出现直接合并根号内的数、忘记合并后保留被开方数、非同类二次根式强行合并等常见错误。
【难度系数】
0.8
4. 计算$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{18}$的结果是(
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
4. C
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题思路遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先处理乘法运算，可利用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算乘积，也可先将两个二次根式化为最简形式再相乘；第二步将剩余的二次根式$\sqrt{18}$化为最简二次根式；最后判断化简后的两个二次根式是同类二次根式（被开方数均为2），将系数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：按二次根式运算规则分步计算：
1. 计算乘法项：
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{8 × \frac{1}{4}} = \sqrt{2}$
2. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
因此计算结果为$4\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式乘法法则 2. 二次根式化简 3. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算顺序及化简、合并规则，熟练掌握相关性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的混合运算题，解题思路遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先处理乘法运算，可利用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算乘积，也可先将两个二次根式化为最简形式再相乘；第二步将剩余的二次根式$\sqrt{18}$化为最简二次根式；最后判断化简后的两个二次根式是同类二次根式（被开方数均为2），将系数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：按二次根式运算规则分步计算：
1. 计算乘法项：
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{8 × \frac{1}{4}} = \sqrt{2}$
2. 化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
因此计算结果为$4\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式乘法法则 2. 二次根式化简 3. 同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算顺序及化简、合并规则，熟练掌握相关性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
5. 下列各数中,与$1+\sqrt{2}$的积为有理数的是(
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$-1-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
)A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$-1-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
5. A
解析
【分析】
解题思路可从两个方向切入：一是直接计算每个选项与$1+\sqrt{2}$的乘积，判断结果是否为有理数；二是利用有理化因式的性质，形如$a+\sqrt{b}$的代数式的有理化因式为$a-\sqrt{b}$，二者相乘可通过平方差公式消去根号得到有理数，可先锁定符合结构的选项再验证，提高解题效率。
【解析】
分别计算各选项与$1+\sqrt{2}$的乘积：
A选项：$(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$，1是有理数，符合要求；
B选项：$(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
C选项：$(1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})=-(1+\sqrt{2})^2=-3-2\sqrt{2}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
D选项：$(1+\sqrt{2})×\sqrt{2}=\sqrt{2}+2$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，平方差公式，有理化因式
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题核心是熟练掌握二次根式乘法法则和平方差公式的应用，能准确区分有理数和无理数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个方向切入：一是直接计算每个选项与$1+\sqrt{2}$的乘积，判断结果是否为有理数；二是利用有理化因式的性质，形如$a+\sqrt{b}$的代数式的有理化因式为$a-\sqrt{b}$，二者相乘可通过平方差公式消去根号得到有理数，可先锁定符合结构的选项再验证，提高解题效率。
【解析】
分别计算各选项与$1+\sqrt{2}$的乘积：
A选项：$(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$，1是有理数，符合要求；
B选项：$(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
C选项：$(1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})=-(1+\sqrt{2})^2=-3-2\sqrt{2}$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求；
D选项：$(1+\sqrt{2})×\sqrt{2}=\sqrt{2}+2$，结果含二次根式，是无理数，不符合要求。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法运算，平方差公式，有理化因式
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题核心是熟练掌握二次根式乘法法则和平方差公式的应用，能准确区分有理数和无理数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 请写出两个与$\sqrt{5}$是同类二次根式的式子：
1. 请写出两个与$\sqrt{5}$是同类二次根式的式子：
$2\sqrt{5},-3\sqrt{5}$(答案不唯一)
.答案
1. $2\sqrt{5},-3\sqrt{5}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的判定规则：先把所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，就属于同类二次根式。本题中已知的$\sqrt{5}$本身就是最简二次根式，被开方数是5，因此我们只需要写出化简后被开方数为5的二次根式即可，根号外的系数可以取任意不为0的有理数，答案不唯一。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
$\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，因此只要是最简形式下被开方数为5的二次根式，都与$\sqrt{5}$是同类二次根式，例如给$\sqrt{5}$分别乘以系数2和-3，得到$2\sqrt{5}$、$-3\sqrt{5}$，符合要求。
【答案】
$2\sqrt{5},-3\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，属于基础题型，解题时要注意必须先将二次根式化为最简形式再判断是否为同类二次根式，根号外的系数不影响同类二次根式的判定。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的判定规则：先把所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，就属于同类二次根式。本题中已知的$\sqrt{5}$本身就是最简二次根式，被开方数是5，因此我们只需要写出化简后被开方数为5的二次根式即可，根号外的系数可以取任意不为0的有理数，答案不唯一。
【解析】
根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
$\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，因此只要是最简形式下被开方数为5的二次根式，都与$\sqrt{5}$是同类二次根式，例如给$\sqrt{5}$分别乘以系数2和-3，得到$2\sqrt{5}$、$-3\sqrt{5}$，符合要求。
【答案】
$2\sqrt{5},-3\sqrt{5}$(答案不唯一)
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，属于基础题型，解题时要注意必须先将二次根式化为最简形式再判断是否为同类二次根式，根号外的系数不影响同类二次根式的判定。
【难度系数】
0.8
2. 如果最简二次根式$\sqrt{1+a}$与$\sqrt{4a-2}$是同类二次根式，那么$a=$
1
。答案
2. 1
解析
【分析】
解决这道题首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的就是同类二次根式。本题已经明确给出两个根式都是最简二次根式，因此只需令它们的被开方数相等，列出关于a的一元一次方程求解即可，最后要验证求得的a值是否能让两个二次根式有意义，确保结果符合要求。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{1+a}$与$\sqrt{4a-2}$是同类二次根式
∴ 两个根式的被开方数相等，可得方程：
$1+a=4a-2$
移项，得：$4a - a = 1 + 2$
合并同类项，得：$3a = 3$
系数化为1，得：$a=1$
检验：当$a=1$时，$1+a=2≥0$，$4a-2=4×1 - 2=2≥0$，且两个根式均为最简二次根式，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
同类二次根式的定义；最简二次根式的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住“最简二次根式”和“同类二次根式”两个核心条件，直接列方程求解即可，注意最后要验证结果是否满足二次根式有意义的要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的就是同类二次根式。本题已经明确给出两个根式都是最简二次根式，因此只需令它们的被开方数相等，列出关于a的一元一次方程求解即可，最后要验证求得的a值是否能让两个二次根式有意义，确保结果符合要求。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{1+a}$与$\sqrt{4a-2}$是同类二次根式
∴ 两个根式的被开方数相等，可得方程：
$1+a=4a-2$
移项，得：$4a - a = 1 + 2$
合并同类项，得：$3a = 3$
系数化为1，得：$a=1$
检验：当$a=1$时，$1+a=2≥0$，$4a-2=4×1 - 2=2≥0$，且两个根式均为最简二次根式，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
同类二次根式的定义；最简二次根式的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是抓住“最简二次根式”和“同类二次根式”两个核心条件，直接列方程求解即可，注意最后要验证结果是否满足二次根式有意义的要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
3. 一个三角形的两边长分别是$\sqrt{3}$与$\sqrt{12}$,则它的第三边长$x$的取值范围是
$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
.答案
3. $\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先将已知的非最简二次根式$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再将两条已知边的长度代入三边关系的不等式计算，即可求出第三边$x$的取值范围。
【解析】
第一步：先化简已知边长中的二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
第二步：根据三角形三边关系“两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和”，代入已知边长计算：
两边之差：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
两边之和：$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
因此第三边$x$的取值范围是$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的化简，二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础运算和三角形三边关系的应用，解题时注意要先把二次根式化为最简形式再进行加减计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先将已知的非最简二次根式$\sqrt{12}$化简为最简二次根式，再将两条已知边的长度代入三边关系的不等式计算，即可求出第三边$x$的取值范围。
【解析】
第一步：先化简已知边长中的二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
第二步：根据三角形三边关系“两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和”，代入已知边长计算：
两边之差：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
两边之和：$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
因此第三边$x$的取值范围是$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}＜x＜3\sqrt{3}$
【知识点】
三角形三边关系，二次根式的化简，二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基础运算和三角形三边关系的应用，解题时注意要先把二次根式化为最简形式再进行加减计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
4. 三角形的三边长分别是$\sqrt{20}$，$\sqrt{40}$，$\sqrt{45}$，则这个三角形的周长为
$5\sqrt{5}+2\sqrt{10}$
.答案
4. $5\sqrt{5}+2\sqrt{10}$
解析
【分析】
要求三角形的周长，首先明确三角形周长等于三边长之和，因此先列出周长的计算式为三个二次根式相加；接下来按照二次根式加减的运算步骤，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式（被开方数相同的二次根式），即可得到最终结果。
【解析】
三角形的周长为三边长之和，因此：
$\begin{aligned}C&=\sqrt{20}+\sqrt{40}+\sqrt{45}\\&=\sqrt{4×5}+\sqrt{4×10}+\sqrt{9×5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+3\sqrt{5}\\&=(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})+2\sqrt{10}\\&=5\sqrt{5}+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{5}+2\sqrt{10}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 最简二次根式化简
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的加减运算能力，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意仅合并系数，被开方数保持不变。
【难度系数】
0.8
要求三角形的周长，首先明确三角形周长等于三边长之和，因此先列出周长的计算式为三个二次根式相加；接下来按照二次根式加减的运算步骤，先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式（被开方数相同的二次根式），即可得到最终结果。
【解析】
三角形的周长为三边长之和，因此：
$\begin{aligned}C&=\sqrt{20}+\sqrt{40}+\sqrt{45}\\&=\sqrt{4×5}+\sqrt{4×10}+\sqrt{9×5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+3\sqrt{5}\\&=(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})+2\sqrt{10}\\&=5\sqrt{5}+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{5}+2\sqrt{10}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 最简二次根式化简
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的加减运算能力，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时注意仅合并系数，被开方数保持不变。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 计算：
(1) $3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{12}-\frac{1}{2}\sqrt{48}+\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$；
(4) $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-\frac{12}{\sqrt{6}}$；
(5) $\sqrt{18}-(\sqrt{12}-2\sqrt{2})$；
(6) $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\sqrt{8}$。
1. 计算：
(1) $3\sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{12}-\frac{1}{2}\sqrt{48}+\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$；
(4) $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-\frac{12}{\sqrt{6}}$；
(5) $\sqrt{18}-(\sqrt{12}-2\sqrt{2})$；
(6) $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\sqrt{8}$。
答案
1. (1) $\sqrt{5}-2\sqrt{2}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (3) 1 (4) $5-4\sqrt{6}$ (5) $5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$ (6) 2
解析
【分析】
这组题目均为二次根式的基础运算题，解题核心思路为：① 先将所有二次根式化为最简二次根式；② 合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）；③ 遇到乘法运算时优先判断是否符合整式乘法公式（平方差、完全平方公式），用公式简化计算；④ 出现分母含根号的情况先做分母有理化，再按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 合并同类二次根式：
原式$=(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(\sqrt{2}-3\sqrt{2})=\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，再合并：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
原式$=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$
(4) 先算完全平方和分母有理化，再合并：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$
$\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$
原式$=5-2\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$
(5) 先去括号，再化简合并：
原式$=\sqrt{18}-\sqrt{12}+2\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
代入得：$3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
(6) 利用二次根式除法性质$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$计算，再合并：
原式$=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\sqrt{8}=\sqrt{\frac{12}{3}}+\sqrt{\frac{24}{3}}-2\sqrt{2}=\sqrt{4}+\sqrt{8}-2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-2\sqrt{2}$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；(3) $1$；(4) $5-4\sqrt{6}$；(5) $5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$；(6) $2$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考查二次根式的化简能力、运算公式的灵活运用能力，计算时需注意先化简再合并，牢记运算顺序和去括号的符号变化，熟练运用乘法公式可有效降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.8
这组题目均为二次根式的基础运算题，解题核心思路为：① 先将所有二次根式化为最简二次根式；② 合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式）；③ 遇到乘法运算时优先判断是否符合整式乘法公式（平方差、完全平方公式），用公式简化计算；④ 出现分母含根号的情况先做分母有理化，再按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 合并同类二次根式：
原式$=(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})+(\sqrt{2}-3\sqrt{2})=\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，再合并：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
原式$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
原式$=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$
(4) 先算完全平方和分母有理化，再合并：
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$
$\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$
原式$=5-2\sqrt{6}-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$
(5) 先去括号，再化简合并：
原式$=\sqrt{18}-\sqrt{12}+2\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
代入得：$3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
(6) 利用二次根式除法性质$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$计算，再合并：
原式$=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\sqrt{8}=\sqrt{\frac{12}{3}}+\sqrt{\frac{24}{3}}-2\sqrt{2}=\sqrt{4}+\sqrt{8}-2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-2\sqrt{2}$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$；(3) $1$；(4) $5-4\sqrt{6}$；(5) $5\sqrt{2}-2\sqrt{3}$；(6) $2$
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考查二次根式的化简能力、运算公式的灵活运用能力，计算时需注意先化简再合并，牢记运算顺序和去括号的符号变化，熟练运用乘法公式可有效降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.8
