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19. (8分)先化简,再求值:
(1)$(2x+y)^2 + (x-y)(x+y) -5x(x-y)$,其中$x=\sqrt{2}+1,y=1-\sqrt{2}$;
(2)$4x^3y -9xy^3$,其中$x=-1,y=2$.
(1)$(2x+y)^2 + (x-y)(x+y) -5x(x-y)$,其中$x=\sqrt{2}+1,y=1-\sqrt{2}$;
(2)$4x^3y -9xy^3$,其中$x=-1,y=2$.
答案
19. 解:(1)原式=9xy,
当x=$\sqrt{2}+1$,y=1-$\sqrt{2}$时,
原式=9×($\sqrt{2}+1$)(1-$\sqrt{2}$)=-9;
(2)原式=xy(2x+3y)(2x-3y),
当x=-1,y=2时,
原式=(-1)×2 × [2×(-1)+3×2] × [2×(-1)-3×2]
=-2×4×(-8)=64.
当x=$\sqrt{2}+1$,y=1-$\sqrt{2}$时,
原式=9×($\sqrt{2}+1$)(1-$\sqrt{2}$)=-9;
(2)原式=xy(2x+3y)(2x-3y),
当x=-1,y=2时,
原式=(-1)×2 × [2×(-1)+3×2] × [2×(-1)-3×2]
=-2×4×(-8)=64.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题核心是先化简再代入求值，可大幅降低计算量、减少出错概率。
(1) 首先回忆整式乘法的相关公式：完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则，分别将原式的三个部分展开，再合并同类项得到最简整式，之后代入x、y的数值，观察到两个因式符合平方差公式的形式，可直接套用公式快速计算结果。
(2) 首先对多项式进行因式分解，先提取公因式，再观察剩余部分符合平方差公式的结构，继续分解至不能再分解为止，之后代入x、y的数值分步计算即可。
【解析】
(1) 利用公式展开计算：
原式$=(4x^2+4xy+y^2)+(x^2-y^2)-(5x^2-5xy)$
$=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy$
合并同类项：
$4x^2+x^2-5x^2 + y^2-y^2 +4xy+5xy =9xy$
代入$x=\sqrt{2}+1,y=1-\sqrt{2}$：
原式$=9×(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=9×[1^2-(\sqrt{2})^2]=9×(1-2)=-9$
(2) 因式分解：
先提取公因式$xy$：
原式$=xy(4x^2-9y^2)$
再利用平方差公式分解$4x^2-9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$，得：
原式$=xy(2x+3y)(2x-3y)$
代入$x=-1,y=2$：
原式$=(-1)×2×[2×(-1)+3×2]×[2×(-1)-3×2]$
$=-2×4×(-8)=64$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{64}$
【知识点】
整式的混合运算，因式分解，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查对整式乘法公式和因式分解方法的掌握程度，先化简后代入的思路能有效避免复杂运算，计算过程中要注意符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题核心是先化简再代入求值，可大幅降低计算量、减少出错概率。
(1) 首先回忆整式乘法的相关公式：完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则，分别将原式的三个部分展开，再合并同类项得到最简整式，之后代入x、y的数值，观察到两个因式符合平方差公式的形式，可直接套用公式快速计算结果。
(2) 首先对多项式进行因式分解，先提取公因式，再观察剩余部分符合平方差公式的结构，继续分解至不能再分解为止，之后代入x、y的数值分步计算即可。
【解析】
(1) 利用公式展开计算：
原式$=(4x^2+4xy+y^2)+(x^2-y^2)-(5x^2-5xy)$
$=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy$
合并同类项：
$4x^2+x^2-5x^2 + y^2-y^2 +4xy+5xy =9xy$
代入$x=\sqrt{2}+1,y=1-\sqrt{2}$：
原式$=9×(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=9×[1^2-(\sqrt{2})^2]=9×(1-2)=-9$
(2) 因式分解：
先提取公因式$xy$：
原式$=xy(4x^2-9y^2)$
再利用平方差公式分解$4x^2-9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$，得：
原式$=xy(2x+3y)(2x-3y)$
代入$x=-1,y=2$：
原式$=(-1)×2×[2×(-1)+3×2]×[2×(-1)-3×2]$
$=-2×4×(-8)=64$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{64}$
【知识点】
整式的混合运算，因式分解，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查对整式乘法公式和因式分解方法的掌握程度，先化简后代入的思路能有效避免复杂运算，计算过程中要注意符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
20.(8分)已知$(a+b)^2=13,(a-b)^2=5.$
(1)求$a^2+b^2,ab$的值；
(2)求$a^4 - a^2b^2 + b^4$的值.
(1)求$a^2+b^2,ab$的值；
(2)求$a^4 - a^2b^2 + b^4$的值.
答案
20. 解:(1)$\because (a + b)^2 =13, (a - b)^2 =5$,
$\therefore (a + b)^2 + (a - b)^2 =13+5$,
$\therefore 2(a^2 + b^2 )=18$,
$\therefore a^2 + b^2 =9$,
将$a^2 + b^2 =9$代入$(a + b)^2 =13$,
得2ab=4,
$\therefore ab=2$,
$\therefore a^2 + b^2 =9,ab=2$.
(2)$a^4 -a^2b^2 + b^4$
=$(a^2 + b^2 )^2 -3a^2b^2$,
将(1)中的$a^2 + b^2 =9,ab=2$代入,
得$a^4 -a^2b^2 + b^4 =81-3×4=69$.
$\therefore (a + b)^2 + (a - b)^2 =13+5$,
$\therefore 2(a^2 + b^2 )=18$,
$\therefore a^2 + b^2 =9$,
将$a^2 + b^2 =9$代入$(a + b)^2 =13$,
得2ab=4,
$\therefore ab=2$,
$\therefore a^2 + b^2 =9,ab=2$.
(2)$a^4 -a^2b^2 + b^4$
=$(a^2 + b^2 )^2 -3a^2b^2$,
将(1)中的$a^2 + b^2 =9,ab=2$代入,
得$a^4 -a^2b^2 + b^4 =81-3×4=69$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用。解题时先回忆完全平方公式的展开形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。对于第(1)问，观察两个已知等式的特点，将两个等式相加可以消去$ab$项，直接求出$a^2+b^2$的值，再将求得的$a^2+b^2$代入任意一个完全平方展开式，即可求出$ab$的值。对于第(2)问，先利用完全平方公式将所求代数式变形为含有$a^2+b^2$和$ab$的形式，再将第(1)问的结果整体代入计算即可。
【解析】
(1) $\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=5$，
$\therefore (a+b)^2 + (a-b)^2 =13+5$，
展开整理得$2(a^2 + b^2)=18$，
$\therefore a^2 + b^2 =9$。
将$a^2 + b^2 =9$代入$(a+b)^2=13$，
得$9+2ab=13$，解得$2ab=4$，
$\therefore ab=2$。
(2) 先对所求代数式变形：
$a^4 - a^2b^2 + b^4=(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2$，
将$a^2 + b^2=9$、$ab=2$代入上式，
得原式$=9^2 - 3×2^2=81-12=69$。
【答案】
(1) $a^2+b^2=9$，$ab=2$；
(2) $69$
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，整式恒等变形
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，熟练掌握两个完全平方公式的常见变形结论是解题的关键，采用整体代入的思想可有效简化运算过程，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用。解题时先回忆完全平方公式的展开形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。对于第(1)问，观察两个已知等式的特点，将两个等式相加可以消去$ab$项，直接求出$a^2+b^2$的值，再将求得的$a^2+b^2$代入任意一个完全平方展开式，即可求出$ab$的值。对于第(2)问，先利用完全平方公式将所求代数式变形为含有$a^2+b^2$和$ab$的形式，再将第(1)问的结果整体代入计算即可。
【解析】
(1) $\because (a+b)^2=13$，$(a-b)^2=5$，
$\therefore (a+b)^2 + (a-b)^2 =13+5$，
展开整理得$2(a^2 + b^2)=18$，
$\therefore a^2 + b^2 =9$。
将$a^2 + b^2 =9$代入$(a+b)^2=13$，
得$9+2ab=13$，解得$2ab=4$，
$\therefore ab=2$。
(2) 先对所求代数式变形：
$a^4 - a^2b^2 + b^4=(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2$，
将$a^2 + b^2=9$、$ab=2$代入上式，
得原式$=9^2 - 3×2^2=81-12=69$。
【答案】
(1) $a^2+b^2=9$，$ab=2$；
(2) $69$
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值，整式恒等变形
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活运用，熟练掌握两个完全平方公式的常见变形结论是解题的关键，采用整体代入的思想可有效简化运算过程，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
21.(8分)阅读理解：
已知$a+b=-4$，$ab=3$，求$a^2+b^2$的值.
解:$\because a+b=-4$，$\therefore (a+b)^2=(-4)^2$.
即$a^2+2ab+b^2=16$.
$\because ab=3$，$\therefore a^2+b^2=10$.
参考上述过程解答:
(1)已知$a-b=-3$，$ab=-2$.求式子$(a-b)(a^2+b^2)$的值;
(2)若$m-n-p=-10$，$(m-p)n=-12$，求式子$(m-p)^2+n^2$的值.
已知$a+b=-4$，$ab=3$，求$a^2+b^2$的值.
解:$\because a+b=-4$，$\therefore (a+b)^2=(-4)^2$.
即$a^2+2ab+b^2=16$.
$\because ab=3$，$\therefore a^2+b^2=10$.
参考上述过程解答:
(1)已知$a-b=-3$，$ab=-2$.求式子$(a-b)(a^2+b^2)$的值;
(2)若$m-n-p=-10$，$(m-p)n=-12$，求式子$(m-p)^2+n^2$的值.
答案
21. 解:(1)$\because (a - b)^2 = ( - 3)^2$,
$\therefore a^2 -2ab + b^2 =9$,
又$\because ab=-2$,
$\therefore a^2 + b^2 =9-4=5$,
$\therefore (a-b)(a^2 + b^2 )=(-3)×5=-15$;
(2)$\because (m - n - p)^2 = ( - 10)^2 =100$,
即 $[(m-p)-n]^2=100$,
$\therefore (m - p)^2 -2n(m-p)+ n^2 =100$,
$\therefore (m - p)^2 + n^2 =100+2n(m-p)$
$=100+2×(-12)=76$.
$\therefore a^2 -2ab + b^2 =9$,
又$\because ab=-2$,
$\therefore a^2 + b^2 =9-4=5$,
$\therefore (a-b)(a^2 + b^2 )=(-3)×5=-15$;
(2)$\because (m - n - p)^2 = ( - 10)^2 =100$,
即 $[(m-p)-n]^2=100$,
$\therefore (m - p)^2 -2n(m-p)+ n^2 =100$,
$\therefore (m - p)^2 + n^2 =100+2n(m-p)$
$=100+2×(-12)=76$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 要求$(a-b)(a^2+b^2)$的值，已知$a-b=-3$，只需先求出$a^2+b^2$的值即可。根据完全平方差公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知$a-b$和$ab$的值，代入即可求出$a^2+b^2$，再代入目标式子计算即可。
(2) 观察已知条件和所求式子，可将$(m-p)$看作一个整体，那么$m-n-p=(m-p)-n$，所求式子为$(m-p)^2+n^2$，刚好符合完全平方差公式$[(m-p)-n]^2=(m-p)^2-2n(m-p)+n^2$的结构，将已知条件整体代入变形即可求出结果。
【解析】
(1) $\because a-b=-3$
$\therefore (a-b)^2=(-3)^2$
即$a^2-2ab+b^2=9$
又$\because ab=-2$
$\therefore a^2+b^2=9+2ab=9+2×(-2)=5$
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=(-3)×5=-15$
(2) $\because m-n-p=-10$
$\therefore [(m-p)-n]^2=(-10)^2=100$
展开得：$(m-p)^2-2n(m-p)+n^2=100$
移项得：$(m-p)^2+n^2=100+2n(m-p)$
又$\because (m-p)n=-12$
$\therefore (m-p)^2+n^2=100+2×(-12)=76$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{76}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整体代入法 3.代数式求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形规则，学会将局部代数式看作整体代入计算，能有效简化运算步骤，是整式运算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
(1) 要求$(a-b)(a^2+b^2)$的值，已知$a-b=-3$，只需先求出$a^2+b^2$的值即可。根据完全平方差公式，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知$a-b$和$ab$的值，代入即可求出$a^2+b^2$，再代入目标式子计算即可。
(2) 观察已知条件和所求式子，可将$(m-p)$看作一个整体，那么$m-n-p=(m-p)-n$，所求式子为$(m-p)^2+n^2$，刚好符合完全平方差公式$[(m-p)-n]^2=(m-p)^2-2n(m-p)+n^2$的结构，将已知条件整体代入变形即可求出结果。
【解析】
(1) $\because a-b=-3$
$\therefore (a-b)^2=(-3)^2$
即$a^2-2ab+b^2=9$
又$\because ab=-2$
$\therefore a^2+b^2=9+2ab=9+2×(-2)=5$
$\therefore (a-b)(a^2+b^2)=(-3)×5=-15$
(2) $\because m-n-p=-10$
$\therefore [(m-p)-n]^2=(-10)^2=100$
展开得：$(m-p)^2-2n(m-p)+n^2=100$
移项得：$(m-p)^2+n^2=100+2n(m-p)$
又$\because (m-p)n=-12$
$\therefore (m-p)^2+n^2=100+2×(-12)=76$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{76}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整体代入法 3.代数式求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形规则，学会将局部代数式看作整体代入计算，能有效简化运算步骤，是整式运算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
