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22. (10分)已知长方形的周长为30 cm,两相邻的边长为x cm,y cm,且$x^3 + x^2y - 4xy^2 - 4y^3 = 0$,求长方形的面积.
答案
22. 解:$\because$长方形的周长为30cm,
$\therefore x+y=15$,
$\because x^3 + x^2 y -4xy^2 -4y^3 =0$,
$\therefore x^2 (x+y)-4y^2 (x+y)=0$,
$\therefore (x+y)(x+2y)(x-2y)=0$,
$\therefore 15(x+2y)(x-2y)=0$,
即x=-2y(不合题意,舍去)或x=2y,
$\therefore$当x=2y时,2y+y=15,
解得y=5,
$\therefore x=2y=10$,
$\therefore$长方形的面积为$10×5=50(cm^2)$.
$\therefore x+y=15$,
$\because x^3 + x^2 y -4xy^2 -4y^3 =0$,
$\therefore x^2 (x+y)-4y^2 (x+y)=0$,
$\therefore (x+y)(x+2y)(x-2y)=0$,
$\therefore 15(x+2y)(x-2y)=0$,
即x=-2y(不合题意,舍去)或x=2y,
$\therefore$当x=2y时,2y+y=15,
解得y=5,
$\therefore x=2y=10$,
$\therefore$长方形的面积为$10×5=50(cm^2)$.
解析
【分析】
首先从已知的长方形周长条件入手，利用长方形周长公式可直接求出x+y的值；再观察给出的三次多项式方程，采用分组分解法因式分解，将前两项、后两项分别分组提取公因式后，可得到含(x+y)的乘积形式，结合边长为正的隐含条件，舍去不符合实际意义的解，得到x与y的数量关系；最后联立x+y的关系式求解x、y的具体值，代入长方形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：$\because$长方形的周长为30cm,
$\therefore 2(x+y)=30$，即$x+y=15$,
$\because x^3 + x^2 y -4xy^2 -4y^3 =0$,
$\therefore$分组提取公因式得：$x^2 (x+y)-4y^2 (x+y)=0$,
$\therefore (x+y)(x^2-4y^2)=0$,
利用平方差公式分解得：$(x+y)(x+2y)(x-2y)=0$,
将$x+y=15$代入得：$15(x+2y)(x-2y)=0$,
$\because x,y$是长方形边长，均为正数，$\therefore x+2y≠0$,
故只有$x-2y=0$，即$x=2y$,
将$x=2y$代入$x+y=15$得：$2y+y=15$,
解得$y=5$,
$\therefore x=2y=10$,
$\therefore$长方形的面积为$10×5=50(cm^2)$.
【答案】
$50\mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解的应用，长方形周长与面积计算，二元一次方程求解
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，重点考察分组分解法因式分解的应用，同时需要结合实际问题的取值要求排除无效解，解题的关键是正确对高次多项式因式分解得到x和y的数量关系。
【难度系数】
0.6
首先从已知的长方形周长条件入手，利用长方形周长公式可直接求出x+y的值；再观察给出的三次多项式方程，采用分组分解法因式分解，将前两项、后两项分别分组提取公因式后，可得到含(x+y)的乘积形式，结合边长为正的隐含条件，舍去不符合实际意义的解，得到x与y的数量关系；最后联立x+y的关系式求解x、y的具体值，代入长方形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：$\because$长方形的周长为30cm,
$\therefore 2(x+y)=30$，即$x+y=15$,
$\because x^3 + x^2 y -4xy^2 -4y^3 =0$,
$\therefore$分组提取公因式得：$x^2 (x+y)-4y^2 (x+y)=0$,
$\therefore (x+y)(x^2-4y^2)=0$,
利用平方差公式分解得：$(x+y)(x+2y)(x-2y)=0$,
将$x+y=15$代入得：$15(x+2y)(x-2y)=0$,
$\because x,y$是长方形边长，均为正数，$\therefore x+2y≠0$,
故只有$x-2y=0$，即$x=2y$,
将$x=2y$代入$x+y=15$得：$2y+y=15$,
解得$y=5$,
$\therefore x=2y=10$,
$\therefore$长方形的面积为$10×5=50(cm^2)$.
【答案】
$50\mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解的应用，长方形周长与面积计算，二元一次方程求解
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合题，重点考察分组分解法因式分解的应用，同时需要结合实际问题的取值要求排除无效解，解题的关键是正确对高次多项式因式分解得到x和y的数量关系。
【难度系数】
0.6
23.(11分)计算下列图中阴影部分的面积,其中∠B=∠C=∠D=90°.
(1)如图1,AB=2a,BC=CD=DE=a;
(2)如图2,AB=m+n,BC=DE=n−m(n＞m).
(1)如图1,AB=2a,BC=CD=DE=a;
(2)如图2,AB=m+n,BC=DE=n−m(n＞m).
答案
23. 解:(1)如图1,延长AB,ED交于点F,
则AF=3a,EF=2a,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{正方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · 3a · 2a -a^2$
$=3a^2 -a^2$
$=2a^2$;
(2)如图2,延长AB,ED交于点F.
设CD=x,则BF=x,
$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)$
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{长方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)-x(n-m)$
$=(n-m)(m+n)$
$=n^2 -m^2$.
解析
【分析】
本题中阴影部分为不规则图形，无法直接用常规面积公式计算，因此采用割补法中的补形思路：延长AB、ED交于点F，可将原图形补为一个大直角三角形AEF，此时阴影部分面积等于大直角三角形AEF的面积减去空白矩形BCDF的面积，再代入已知边长进行整式运算即可得到结果。
【解析】
(1) 对于图1：
延长AB、ED交于点F，由已知AB=2a，BC=CD=DE=a，可得AF=AB+BF=2a+a=3a，EF=BC+DE=a+a=2a，空白部分BCDF是边长为a的正方形。
阴影部分面积为大三角形面积减去正方形面积：
$S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{正方形BCDF}=\frac{1}{2} × 3a × 2a - a^2=3a^2 - a^2=2a^2$。
(2) 对于图2：
延长AB、ED交于点F，设CD的长度为x，则BF=CD=x，已知AB=m+n，BC=DE=n-m，可得AF=AB+BF=m+n+x，EF=BC+DE=2(n-m)，空白部分BCDF是长为x、宽为n-m的长方形。
阴影部分面积为大三角形面积减去长方形面积：
$S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{长方形BCDF}=\frac{1}{2} × (m+n+x) × 2(n-m) - x(n-m)$
$=(m+n+x)(n-m) - x(n-m)=(n-m)(m+n+x-x)=(n-m)(m+n)=n^2 - m^2$。
【答案】
23. 解:(1)如图1,延长AB,ED交于点F,
则AF=3a,EF=2a,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{正方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · 3a · 2a -a^2$
$=3a^2 -a^2$
$=2a^2$;
(2)如图2,延长AB,ED交于点F.
设CD=x,则BF=x,
$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)$
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{长方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)-x(n-m)$
$=(n-m)(m+n)$
$=n^2 -m^2$.
【知识点】
割补法求面积，整式混合运算，平方差公式
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，核心是通过补形法将复杂图形转化为熟悉的直角三角形和矩形的面积差进行求解，第二问中未知的CD长度可通过整式运算自然消去，无需单独求解，体现了整体运算的思想，计算时要注意整式乘法法则的正确运用。
【难度系数】
0.7
本题中阴影部分为不规则图形，无法直接用常规面积公式计算，因此采用割补法中的补形思路：延长AB、ED交于点F，可将原图形补为一个大直角三角形AEF，此时阴影部分面积等于大直角三角形AEF的面积减去空白矩形BCDF的面积，再代入已知边长进行整式运算即可得到结果。
【解析】
(1) 对于图1：
延长AB、ED交于点F，由已知AB=2a，BC=CD=DE=a，可得AF=AB+BF=2a+a=3a，EF=BC+DE=a+a=2a，空白部分BCDF是边长为a的正方形。
阴影部分面积为大三角形面积减去正方形面积：
$S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{正方形BCDF}=\frac{1}{2} × 3a × 2a - a^2=3a^2 - a^2=2a^2$。
(2) 对于图2：
延长AB、ED交于点F，设CD的长度为x，则BF=CD=x，已知AB=m+n，BC=DE=n-m，可得AF=AB+BF=m+n+x，EF=BC+DE=2(n-m)，空白部分BCDF是长为x、宽为n-m的长方形。
阴影部分面积为大三角形面积减去长方形面积：
$S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{长方形BCDF}=\frac{1}{2} × (m+n+x) × 2(n-m) - x(n-m)$
$=(m+n+x)(n-m) - x(n-m)=(n-m)(m+n+x-x)=(n-m)(m+n)=n^2 - m^2$。
【答案】
23. 解:(1)如图1,延长AB,ED交于点F,
则AF=3a,EF=2a,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{正方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · 3a · 2a -a^2$
$=3a^2 -a^2$
$=2a^2$;
(2)如图2,延长AB,ED交于点F.
设CD=x,则BF=x,
$\therefore S_{△ AEF}=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)$
$\therefore S_{阴影}=S_{△ AEF}-S_{长方形BCDF}$
$=\frac{1}{2} · (m+n+x) · 2(n-m)-x(n-m)$
$=(n-m)(m+n)$
$=n^2 -m^2$.
【知识点】
割补法求面积，整式混合运算，平方差公式
【点评】
本题考查不规则图形的面积计算，核心是通过补形法将复杂图形转化为熟悉的直角三角形和矩形的面积差进行求解，第二问中未知的CD长度可通过整式运算自然消去，无需单独求解，体现了整体运算的思想，计算时要注意整式乘法法则的正确运用。
【难度系数】
0.7
24. (12分)数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)观察图2,请你写出下列三个代数式:$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的等量关系;
(2)若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的长方形,则需要A种纸片1张,B种纸片2张,C种纸片
(3)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知$a+b=5,a^2+b^2=11$,求$ab$的值;
②已知$(x-2025)^2+(x-2027)^2=20$,求$(x-2026)^2$的值.
(1)观察图2,请你写出下列三个代数式:$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的等量关系;
(2)若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的长方形,则需要A种纸片1张,B种纸片2张,C种纸片
3
张;(3)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知$a+b=5,a^2+b^2=11$,求$ab$的值;
②已知$(x-2025)^2+(x-2027)^2=20$,求$(x-2026)^2$的值.
答案
24. 解:(1)由图中大正方形的面积可得, $(a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2$;
(2)$\because (a+2b)(a+b)=a^2 +3ab +2b^2$,
$\therefore$需要3张C种纸片;
(3)①$\because a+b=5$,
$\therefore (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2 =25$,
$\because a^2 + b^2 =11$,
$\therefore 2ab=25-11=14$,
$\therefore ab=7$;
②令x-2026=t,
则x-2025=t+1,x-2027=t-1,
$\because (x - 2025)^2 + (x - 2027)^2 =20$,
$\therefore (t + 1)^2 + (t - 1)^2 = t^2 +2t+1+ t^2 -2t+1=20$,
$\therefore t^2 =9$,即$(x - 2026)^2 = t^2 =9$.
(2)$\because (a+2b)(a+b)=a^2 +3ab +2b^2$,
$\therefore$需要3张C种纸片;
(3)①$\because a+b=5$,
$\therefore (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2 =25$,
$\because a^2 + b^2 =11$,
$\therefore 2ab=25-11=14$,
$\therefore ab=7$;
②令x-2026=t,
则x-2025=t+1,x-2027=t-1,
$\because (x - 2025)^2 + (x - 2027)^2 =20$,
$\therefore (t + 1)^2 + (t - 1)^2 = t^2 +2t+1+ t^2 -2t+1=20$,
$\therefore t^2 =9$,即$(x - 2026)^2 = t^2 =9$.
解析
【分析】
(1) 通过两种方法计算图2大正方形的面积推导等量关系：一是直接按边长计算面积为$(a+b)^2$；二是拆分大正方形为1个A正方形、1个B正方形和2个C长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，两种方法计算的面积相等，即可得到三者的等量关系。
(2) 先利用多项式乘多项式法则展开$(a+2b)(a+b)$，其中$ab$项的系数就是需要C种纸片（面积为$ab$）的数量。
(3) ① 直接将已知的$a+b$和$a^2+b^2$代入第(1)问得到的完全平方公式，变形计算即可求出$ab$的值。
② 观察已知两个平方项的底数的中间值为$x-2026$，设$t=x-2026$，将两个底数用含$t$的式子表示后代入已知等式，展开化简即可求出$t^2$，也就是所求的$(x-2026)^2$的值。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张A纸片、1张B纸片、2张C纸片拼接而成，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此可得等量关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) 展开计算$(a+2b)(a+b)$：
$\begin{aligned}(a+2b)(a+b)&=a^2+ab+2ab+2b^2\\&=a^2+3ab+2b^2\end{aligned}$
其中$ab$项的系数为3，因此需要3张C种纸片。
(3) ① 已知$a+b=5$，将等式两边同时平方得：
$(a+b)^2=5^2=25$
根据完全平方公式展开得$a^2+2ab+b^2=25$，
将$a^2+b^2=11$代入得：$11+2ab=25$，
解得$2ab=14$，因此$ab=7$。
② 设$t=x-2026$，则$x-2025=t+1$，$x-2027=t-1$，
代入已知等式得：$(t+1)^2+(t-1)^2=20$，
展开得：$t^2+2t+1+t^2-2t+1=20$，
合并同类项化简得：$2t^2+2=20$，即$t^2=9$，
因此$(x-2026)^2=t^2=9$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) $3$
(3) ① $ab=7$；② $(x-2026)^2=9$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，换元法求值
【点评】
本题以几何图形拼接为背景，考查完全平方公式的推导与灵活应用，题型由浅入深，既渗透了数形结合的数学思想，也考查了整式运算的核心能力，换元法的使用能有效简化复杂代数式的计算，是整式乘法章节的经典题型。
【难度系数】
0.7
(1) 通过两种方法计算图2大正方形的面积推导等量关系：一是直接按边长计算面积为$(a+b)^2$；二是拆分大正方形为1个A正方形、1个B正方形和2个C长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，两种方法计算的面积相等，即可得到三者的等量关系。
(2) 先利用多项式乘多项式法则展开$(a+2b)(a+b)$，其中$ab$项的系数就是需要C种纸片（面积为$ab$）的数量。
(3) ① 直接将已知的$a+b$和$a^2+b^2$代入第(1)问得到的完全平方公式，变形计算即可求出$ab$的值。
② 观察已知两个平方项的底数的中间值为$x-2026$，设$t=x-2026$，将两个底数用含$t$的式子表示后代入已知等式，展开化简即可求出$t^2$，也就是所求的$(x-2026)^2$的值。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张A纸片、1张B纸片、2张C纸片拼接而成，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此可得等量关系：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) 展开计算$(a+2b)(a+b)$：
$\begin{aligned}(a+2b)(a+b)&=a^2+ab+2ab+2b^2\\&=a^2+3ab+2b^2\end{aligned}$
其中$ab$项的系数为3，因此需要3张C种纸片。
(3) ① 已知$a+b=5$，将等式两边同时平方得：
$(a+b)^2=5^2=25$
根据完全平方公式展开得$a^2+2ab+b^2=25$，
将$a^2+b^2=11$代入得：$11+2ab=25$，
解得$2ab=14$，因此$ab=7$。
② 设$t=x-2026$，则$x-2025=t+1$，$x-2027=t-1$，
代入已知等式得：$(t+1)^2+(t-1)^2=20$，
展开得：$t^2+2t+1+t^2-2t+1=20$，
合并同类项化简得：$2t^2+2=20$，即$t^2=9$，
因此$(x-2026)^2=t^2=9$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) $3$
(3) ① $ab=7$；② $(x-2026)^2=9$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，换元法求值
【点评】
本题以几何图形拼接为背景，考查完全平方公式的推导与灵活应用，题型由浅入深，既渗透了数形结合的数学思想，也考查了整式运算的核心能力，换元法的使用能有效简化复杂代数式的计算，是整式乘法章节的经典题型。
【难度系数】
0.7
