1.（攀枝花中考）在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx$与一次函数$y=bx-a$的图象可能是（）

1. C 解析:由方程组$\begin{cases} y=ax^2+bx, \\ y=bx-a, \end{cases}$得$ax^2=-a,∵ a≠0,∴ x^2 = -1$,该方程无实数根,故二次函数图象与一次函数图象无交点,故 B 错.A.二次函数图象开口向上,说明$a＞0$,对称轴在$y$轴右侧,则$-\dfrac{b}{2a}＞0,∴ b＜0$.又
∵ 一次函数中$b$为一次项系数,图象显示从左向右上升,$b＞0$,两者矛盾,故 A 错.C.二次函数图象开口向上,说明$a＞0$,对称轴在$y$轴右侧,则$b＜0$.又
∵ $b$为一次函数的一次项系数,图象显示从左向右下降,$b＜0$.
∵ $-a＜0,∴ a＞0$,两者相符,故 C 正确.D.二次函数的图象应过原点,此选项不符,故 D 错.故选 C.

2. (2026·阜阳模拟)二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数且$a＜0$)的图象如图,则直线$y=(c-a)x+a-b+c$与反比例函数$y=-\dfrac{3a+c}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为 ()

2. C 解析:
∵ 抛物线开口向下,$∴ a＜0$.
∵ 抛物线与$y$轴交点在$y$轴的正半轴,$∴ c＞0$.
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=1,∴ b=-2a＞0,∴ c-a＞0,∴$ 一次函数$y=(c-a)x+a-b+c$应是$y$随$x$的增大而增大,$∴$ 二次函数的表达式为$y=ax^2-2ax+c$.
∵ 当$x=-1$时,$y＜0$,$∴ y=ax^2-2ax+c=a+2a+c=3a+c＜0$.
∵ $b=-2a$,$∴ a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c＜0$,$∴$ 直线$y=(c-a)x+a-b+c$与$y$轴的交点在$y$轴的负半轴.$∵ 3a+c＜0,∴ -(3a+c)＞0,∴$ 反比例函数$y=-\dfrac{3a+c}{x}=\dfrac{-(3a+c)}{x}$的图象在第一、三象限,可得 C 选项符合题意.故选 C.

3. (2025·安徽中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，则（）

A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b - c ＜ 0$
D.$a - b + c ＜ 0$

3. C 解析:
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的开口向上,$∴ a＞0$.
∵ 对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}＞0,a＞0,∴ -b＞0$,即$b＜0$.
∵ 抛物线与$y$轴交点在负半轴,$∴ c＜0$.选项 A,$a＞0,b＜0,c＜0,∵$ 两负一正相乘得正,$∴ abc＞0$,该选项错误.选项 B,对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$,由图象知对称轴在直线$x=1$左侧,即$-\dfrac{b}{2a}＜1$,又$a＞0$,两边乘$2a$得$-b＜2a,∴ 2a+b＞0$,该选项错误.选项 C,当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$,即$4a-4b+4c＞0$;当$x=2$时,$y=4a+2b+c=0$,$∴ (4a+2b+c)-(4a-4b+4c)＜0$,$∴ 2b-c＜0$,该选项正确.选项 D,当$x=-1$时,$y=a-b+c$,由图象知$x=-1$对应的函数值$y＞0$,$∴ a-b+c＞0$,该选项错误.故选 C.

4. (2026·绥化中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，顶点坐标为$(-2,5)$，与$x$轴交于$A(m,0)$，$B$两点，其中$2＜m＜3$。则下列结论：①$\frac{b}{ac}＜0$；②$b+4a=0$；③$a-b+3c＞0$；④$-\frac{5}{16}＜a＜-\frac{1}{5}$；⑤方程$ax^2+(b+k^2)x+c+k^2=0$（$k$为常数）有实数根。其中正确的结论有（）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

4. B 解析:
∵ 抛物线开口向下,顶点坐标为$(-2,5)$,与$y$轴交于正半轴,$∴ a＜0,-\dfrac{b}{2a}=-2,c＞0,∴ b=4a＜0,∴ \dfrac{b}{ac}＞0$,故①错误；
∵ $b=4a,∴ b-4a=0$,故②错误；
∵ $a＜0,c＞0,∴ c-a＞0,∴ a-b+3c=a-4a+3c=3(c-a)＞0$,故③正确；
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-2,5)$,$∴$ 当$x=-2$时,$y=4a-2b+c=5$,即$4a-2×4a+c=5,∴ c=4a+5$,由图象可得当$x=2$时,$y＞0$,即$4a+2b+c＞0,∴ 4a+8a+4a+5＞0,∴ a＞-\dfrac{5}{16}$,由图象可得当$x=3$时,$y＜0$,即$9a+3b+c＜0,∴ 9a+12a+4a+5＜0$,$∴ a＜-\dfrac{1}{5},∴ -\dfrac{5}{16}＜a＜-\dfrac{1}{5}$,故④正确；
∵ 方程$ax^2+(b+k^2)x+c+k^2=0$可化为$ax^2+bx+c=-k^2x-k^2$,$∴$ 该方程的解为抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-k^2x-k^2$的交点的横坐标.
∵ 直线$y=-k^2x-k^2=-k^2(x+1)$,$∴$ 该直线过定点$(-1,0)$,且过第二、三、四象限(如图),,
∴ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-k^2x-k^2$必有交点,$∴$ 方程$ax^2+(b+k^2)x+c+k^2=0$($k$为常数)有实数根.故⑤正确.综上所述,正确的结论是③④⑤,共3个.故选 B.

5. (2025·德阳中考改编)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是常数，$a＞0$)过点$(1,0)$，$(m,0)$，且$2＜m＜3$，该抛物线与直线$y=kx+c$($k,c$是常数，$k≠0$)相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点(点$A$在点$B$左侧)。下列说法：①$bc＜0$；②$3a+b＞0$；③点$A'$是点$A$关于直线$x=-\dfrac{b}{2a}$的对称点，则$3＜AA'＜4$；④当$x_2=4$时，不等式$ax^2+(b-k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$。其中正确的结论为________(填序号)。

5. ①④ 解析:
∵ 抛物线过点$(1,0)$和$(m,0)(2＜m＜3)$,$∴$ 设抛物线为$y=a(x-1)(x-m)$,$∴ y=ax^2-a(1+m)x+am,∴ b=-a(1+m),c=am.∵ a＞0$且$m＞2,∴ b＜0,c＞0,∴ bc＜0$,故结论①符合题意；
∵ $b=-a(1+m),∴ 3a+b=3a-a(1+m)=a(2-m).∵ 2＜m＜3$,$∴ 2-m＜0,∴ 3a+b＜0$,结论②不符合题意；由题意,第一种情况,若$A(0,c)$,
∵ 对称轴为直线$x=\dfrac{1+m}{2}$,$∴$ 对称点$A'$的横坐标为$2×\dfrac{1+m}{2}=1+m$,$∴$ 两点间的横向距离为$1+m-0=1+m.∵ 2＜m＜3,∴ 3＜1+m＜4$,即$3＜AA'＜4$;第二种情况,若$B(0,c)$,如图,,显然$AA'＞4$,故结论③不符合题意；当$x_2=4$时,方程$ax^2+(b-k)x=0$的根为$x=0$和$x=4$,即$ax^2+(b-k)x=ax(x-4).∵ a＞0,∴$ 不等式$ax(x-4)＜0$的解集为$0＜x＜4$,故结论④符合题意.综上,正确结论为①④.

6. 若二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数$)$的图象如图所示,则关于$x$的不等式$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$的解集为。

6. x＜-1或x＞1 解析:由图象可得$x＜1$或$x＞3$时,$ax^2+bx+c＜0$,$∴$ 当$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$时,$x+2＜1$或$x+2＞3$,解得$x＜-1$或$x＞1$.

7. (2026·连云港校级月考)某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验,对函数$y=-(x-1)·(|x|-3)$的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1) $x$与$y$的几组对应值如下表,其中$m=$.

(2)如图,在直角坐标系中画出了函数$y=-(x-1)(|x|-3)$的部分图象,用描点法将这个图象补充完整.

(3)结合函数图象,解决下列问题:
①当$y$随$x$的增大而减小时,写出$x$的取值范围;
②若方程$-(x-1)(|x|-3)=-3$的所有解的和为$a$,则$a$的值为;
③不等式$-4≤-(x-1)(|x|-3)≤0$的解集为;
④$y=2x+b$与$y=-(x-1)(|x|-3)$的图象有3个公共点,则$b$的取值范围为.

7. (1)-4 解析:当$x=-1$时,$y=-(x-1)(|x|-3)=-4$,$∴ m=-4$.(2)函数可写为分段形式:$y=\begin{cases} -x^2+4x-3,x≥0, \\ x^2+2x-3,x＜0, \end{cases}$根据表达式,计算并补充关键点,$(-4,5),(-3,0),(-2,-3),(-1,-4)$,作图如下.(3)①$x≤-1$或$x≥2$ 解析:由图得,当$x≤-1$或$x≥2$时,$y$随$x$的增大而减小.②2 解析:方程$-(x-1)(|x|-3)=-3$的解,即为直线$y=-3$与函数图象交点的横坐标,当$x＜0$时,$x^2+2x-3=-3$,得$x^2+2x=0$,解得$x=-2$或$x=0$(舍去);当$x≥0$时,$-x^2+4x-3=-3$,得$-x^2+4x=0$,解得$x=0$或$x=4$;所以方程的解为$x=-2,0,4$,其和$a=-2+0+4=2$.③$-3≤x≤1$或$3≤x≤2+\sqrt{5}$ 解析:求不等式$-4≤-(x-1)(|x|-3)≤0$的解集,即求函数值在-4和0之间的$x$范围.从图象上分析:当$x＜0$时,$y=x^2+2x-3$的顶点为$(-1,-4)$,与$x$轴交于$x=-3$,当$-3≤x＜0$时,函数值满足$-4≤y≤0$;当$x≥0$时,函数$y=-x^2+4x-3$与$x$轴交于$x=1$和$x=3$,解$-x^2+4x-3≥-4$得$x^2-4x-1≤0$,解得$2-\sqrt{5}≤x≤2+\sqrt{5}$;结合$x≥0$和$y≤0(x≤1$或$x≥3)$,得$0≤x≤1$或$3≤x≤2+\sqrt{5}$.综上所述,解集为$-3≤x≤1$或$3≤x≤2+\sqrt{5}$.④$-3＜b＜-2$ 解析:$y=2x+b$与$y=-(x-1)(|x|-3)$的图象有3个公共点,联立方程:当$x＜0$时,由$x^2+2x-3=2x+b$得$x^2=3+b$,当$3+b＞0$时,即$b＞-3$时,有一个交点;当$x≥0$,由$-x^2+4x-3=2x+b$得$x^2-2x+3+b=0$,判别式$b^2-4ac=4-4(3+b)=-8-4b=-4(2+b)$,当$b^2-4ac＞0$即$b＜-2$时,有两个交点;$∴$ 当$-3＜b＜-2$时,共三个交点.故答案为$-3＜b＜-2$.