8. (教材 P102 习题 24.2 第 11 题变式)如图,在矩形 ABCD 中,$AB=4$,$AD=5$,$AD$,$AB$,$BC$ 分别与$\odot O$相切于$E$,$F$,$G$三点,过点$D$作$\odot O$的切线交$BC$于点$M$,切点为$N$,则$DM$的长为（ ）
A. $\dfrac{13}{3}$
B. $\dfrac{9}{2}$
C. $\dfrac{4}{3}\sqrt{13}$
D. $2\sqrt{5}$

A

9. (2023·仙桃)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$BC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$AO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ AFD=$$\underline{\hspace{5em}}$.

$35^{\circ}$

10. (2024·自贡)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$\odot O$ 是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
（1）图①中三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=\_\_\_\_\_\_$，$BD=\_\_\_\_\_\_$；若$AC=3$，$BC=4$，则$\odot O$的半径为______.
（2）如图②，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.

$AD$ ; $BE$ ; 1
; 证明：如图，过点$O$作$OH\perp MN$于点$H，$连接$OD，$$OE，$$OF。$ 因为$\angle ANM = 90^{\circ}=\angle ACB，$$\angle A=\angle A，$$AM = AB，$ 所以$\triangle AMN\cong\triangle ABC$（$AAS$）。 所以$AN = AC。$ 因为$AD = AF，$ 所以$AN - AD=AC - AF，$即$DN = CF。$ 因为$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点为$D，$$E，$$F，$ 所以$\angle OEC=\angle OFC=\angle ACB = 90^{\circ}，$$OE = OF。$ 所以四边形$OECF$是正方形。 所以$CF = OE。$ 所以$DN = OE。$ 因为易知$\angle ANM = 90^{\circ}=\angle ODN=\angle OHN，$ 所以四边形$OHND$是矩形。 所以$OH = DN。$ 所以$OH = OE，$即$OH$是$\odot O$的半径。 又因为$OH\perp MN，$ 所以$MN$是$\odot O$的切线。 ;

11. 如图，AB 为$\odot O$的直径，PA，PC 分别与$\odot O$相切于点 A，C，$PQ⊥ PA$，PQ 交 OC 的延长线于点 Q.
（1）求证：$OQ=PQ$；
（2）连接 BC 并延长，交 PQ 于点 D，若$PA=AB$，且$QC=6$，求 BD 的长.

第11题

（1）证明：连接$OP。$ 因为$PA，$$PC$分别与$\odot O$相切于点$A，$$C，$ 所以$PA = PC，$$OC\perp PC，$$BA\perp PA。$ 又因为$OA = OC，$$OP = OP，$ 所以$Rt\triangle OPA\cong Rt\triangle OPC$（$HL$）。 所以$\angle AOP=\angle COP。$ 因为$PQ\perp PA，$ 所以$PQ// BA。$ 所以$\angle QPO=\angle AOP。$ 所以$\angle QOP=\angle QPO。$ 所以$OQ = PQ。$ （2）解：设$OA = r。$ 因为$OB = OC，$所以$\angle B=\angle OCB。$ 因为$OB// QD，$所以$\angle QDC=\angle B。$ 因为$\angle OCB=\angle QCD，$ 所以$\angle QCD=\angle QDC。$ 所以$QC = QD = 6。$ 因为$OQ = PQ，$所以$OQ - QC=PQ - QD，$即$OC = PD = r。$ 因为$PA = AB，$$PA = PC，$ 所以$PC = AB = 2r。$ 因为$PC$是$\odot O$的切线，所以$OC\perp PC。$ 所以$\angle OCP=\angle PCQ = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle PCQ$中，根据勾股定理$PQ^{2}=PC^{2}+QC^{2}，$ 即$(6 + r)^{2}=(2r)^{2}+6^{2}，$ 展开得$36+12r+r^{2}=4r^{2}+36，$ 移项化简得$3r^{2}-12r = 0，$即$r^{2}-4r = 0，$$r(r - 4)=0，$ 解得$r_{1}=4，$$r_{2}=0$（不合题意，舍去）。 所以$OC = 4，$$PC = 8。$ 在$Rt\triangle OCP$中，根据勾股定理$OP=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{16 + 64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}。$ 因为$OB = OC = PD，$$OB// PD，$ 所以四边形$OBDP$是平行四边形。 所以$BD = OP = 4\sqrt{5}。$ ;