1. (2023·攀枝花)如图，AB为$\odot O$的直径，D为$\odot O$上一点，$∠ ADC=∠ B$. 求证：直线CD与$\odot O$相切.

第1题

证明：连接$OD。$ 因为$OA = OD，$所以$\angle A=\angle ODA。$ 因为$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}，$则$\angle A+\angle B = 90^{\circ}。$ 又因为$\angle ADC=\angle B，$所以$\angle ODA+\angle ADC = 90^{\circ}，$即$\angle CDO = 90^{\circ}，$所以$CD\perp OD。$ 因为$OD$为$\odot O$的半径，所以直线$CD$与$\odot O$相切。 ;

2. (2024·威海改编)如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且$BC=CD$. E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.$∠ FEG$的平分线EH交射线AC于点H，$∠ H=45°$.求证：EF是$\odot O$的切线.

证明：连接$OC。$ 因为$OA = OC，$所以$\angle OAC=\angle OCA。$ 因为$BC = CD，$所以$\angle DAC=\angle BAC，$所以$\angle OCA=\angle DAC，$所以$OC// AF，$所以$\angle OCE=\angle F。$ 因为$EH$平分$\angle FEG，$所以$\angle FEH=\angle GEH。$ 因为$\angle GEH=\angle H+\angle BAC，$$\angle FEG=\angle F+\angle BAF，$所以$2\angle H + 2\angle BAC=\angle F+\angle BAF。$ 又因为$\angle BAF = 2\angle BAC，$所以$\angle F = 2\angle H=90^{\circ}，$所以$\angle OCE=\angle F = 90^{\circ}，$即$OC\perp EF。$ 因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$EF$是$\odot O$的切线。 ;

3. (2023·盐城)如图,在$△ ABC$中,O是AC上(异于点A,C)的一点,$\odot O$恰好经过点A,B,$AD⊥ CB$于点D,且AB平分$∠ CAD$.判断BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.

第3题

解: $BC$与$\odot O$相切。 理由：连接$OB。$ 因为$OA = OB，$所以$\angle OAB=\angle OBA。$ 因为$AB$平分$\angle CAD，$所以$\angle DAB=\angle CAB，$所以$\angle DAB=\angle OBA，$所以$AD// OB。$ 因为$AD\perp CB，$所以$OB\perp CB。$ 因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$BC$与$\odot O$相切。 ;