9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,若直线 $ y=-x+m $ 不经过第一象限,则关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + x + 1 = 0 $ 的实数根有 （ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个

D

10. 在关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 中，$ a $、$ c $ 异号，那么这个方程的根的情况为
（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不确定

A

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{1}{4}x^2 + bx + a^2 + c^2 = 0$ 有两个相等的实数根，则以 $ a、b、c $ 为三边长的三角形的形状一定是 ______ 三角形。

直角

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 - (k - 2)x - 2 = 0 $。
(1)试说明:无论 $ k $ 取何值,方程总有实数根.
(2)若方程有两个实数根,且都为正整数,求整数 $ k $ 的值.

解：​$(1)$​当​$k=0$​时，原方程为​$2x-2=0，$​解得​$x=1，$​∴当​$k=0$​时，原方程有实数根当​$k≠0$​时，方程是一元二次方程∵​$[-(k-2)]²-4×k×(-2)=k²-4k+4+8k=k²+ 4k+4=(k+2)²≥0$​∴方程总有两个实数根综上所述，无论​$ k$​取何值，方程总有实数根​$(2)$​∵​$kx²-(k-2)x-2=0，$​​$(kx+2)(x-1)=0$​解得​$x_{1}=-\frac {2}{k}，$​​$x_{2}=1$​又∵方程的两实数根都为正整数∴​$k=-1$​或​$k=-2$​∴整数​$k$​的值为​$-1$​或​$-2$​

13. 已知关于$ x $的一元二次方程$ mx^2 - (m+2)x + 2 = 0 $。
(1)当方程有两个相等的实数根时，求$ m $的值。
(2)当方程的根为两个不相等的整数时，求整数$ m $的值。

解：​$(1)$​对于方程​$mx^2-(m + 2)x + 2 = 0，$​其中​$a = m，$​​$b = -(m + 2)，$​​$c = 2$​​$ $​由​$b^2-4ac=[-(m + 2)]^2-8\ \mathrm {m}=\mathrm {m^2}+4\ \mathrm {m} + 4 - 8\ \mathrm {m}=\mathrm {m^2}-4\ \mathrm {m} + 4=(m - 2)^2=0，$​且​$m\neq 0$​​$ $​解得​$m = 2$​​$ (2)$​由​$(1)$​得​$b^2-4ac=(m - 2)^2$​可得​$x=\frac {m + 2\pm \sqrt {(m - 2)^2}}{2m}$​​$ $​则​$x_{1}=\frac {m + 2 + m - 2}{2\ \mathrm {m}}=1，$​​$x_{2}=\frac {m + 2-(m - 2)}{2\ \mathrm {m}}=\frac 2{m}$​∵方程的根为两个不相等的整数∴​$m=\pm 1$​或​$m=\pm 2$​​$ $​由​$(1)$​得​$m\neq 2$​∴整数​$m $​的值为​$\pm 1$​或​$-2$​