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1. 已知二次函数$y=(x-1)^2 -1(0≤ x≤ 3)$的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（
A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值-1，有最大值0
C.有最小值-1，有最大值3
D.有最小值-1，无最大值
C
）A.有最小值0，有最大值3
B.有最小值-1，有最大值0
C.有最小值-1，有最大值3
D.有最小值-1，无最大值
答案
C
解析
【分析】
解题时先从二次函数的顶点式入手，首先明确抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，判断顶点是否落在给定的自变量取值范围$0≤x≤3$内：因为抛物线开口向上，若顶点在区间内，顶点处的函数值就是最小值；再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较大小后得到区间内的最大值，最后对照选项判断即可。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质：二次函数$y=(x-1)^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
2. 求最小值：因为$1$在$0≤x≤3$的范围内，开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$-1$。
3. 求最大值：分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=(0-1)^2 -1=0$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2 -1=3$。
比较得$3＞0$，因此函数在给定范围内的最大值为$3$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-1$，有最大值$3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；顶点式的应用
【点评】
本题考查二次函数在固定闭区间内的最值求解，解题关键是不要忽略自变量的取值范围，要结合函数的开口方向、对称轴位置，综合比较顶点和区间端点的函数值得到最值，避免直接默认顶点为唯一最值点。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数的顶点式入手，首先明确抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，判断顶点是否落在给定的自变量取值范围$0≤x≤3$内：因为抛物线开口向上，若顶点在区间内，顶点处的函数值就是最小值；再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较大小后得到区间内的最大值，最后对照选项判断即可。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质：二次函数$y=(x-1)^2 -1$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
2. 求最小值：因为$1$在$0≤x≤3$的范围内，开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$-1$。
3. 求最大值：分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=(0-1)^2 -1=0$；
当$x=3$时，$y=(3-1)^2 -1=3$。
比较得$3＞0$，因此函数在给定范围内的最大值为$3$。
综上，该函数在所给范围内有最小值$-1$，有最大值$3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；顶点式的应用
【点评】
本题考查二次函数在固定闭区间内的最值求解，解题关键是不要忽略自变量的取值范围，要结合函数的开口方向、对称轴位置，综合比较顶点和区间端点的函数值得到最值，避免直接默认顶点为唯一最值点。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$(1,0),(-3,0)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解为（
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
D
）A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=-3$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是明确二次函数与对应的一元二次方程的关联：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数解。题目已经给出二次函数图象与$x$轴的两个交点坐标，我们只需提取两个点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知二次函数图象与$x$轴交于点$(1,0)$、$(-3,0)$，两个交点的横坐标分别为1和-3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂计算，只要掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程解的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二次函数与对应的一元二次方程的关联：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数解。题目已经给出二次函数图象与$x$轴的两个交点坐标，我们只需提取两个点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。
已知二次函数图象与$x$轴交于点$(1,0)$、$(-3,0)$，两个交点的横坐标分别为1和-3，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念应用题，不需要复杂计算，只要掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程解的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 当$a ≤ x ≤ a+1$时，函数$y=x^2 - 2x + 1$的最小值为1，则$a$的值为（
A.$-1$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$-1$或$2$
D
）A.$-1$
B.$2$
C.$0$或$2$
D.$-1$或$2$
答案
D
解析
【分析】
首先将给定二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点处的最小值；再求出函数值为1时对应的x的取值，接下来结合区间$a ≤ x ≤ a+1$与对称轴的位置关系分三类讨论：区间在对称轴左侧、区间在对称轴右侧、区间包含对称轴，排除不符合最小值为1的情况，最终求解得到a的取值。
【解析】
先化简函数：$y=x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，该函数是开口向上的二次函数，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$，即当$x=1$时，函数取最小值0。
题目要求区间$a ≤ x ≤ a+1$内函数最小值为1，说明该区间不包含$x=1$（否则最小值为0，不符合题意），分情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a+1 ＜ 1$，也就是$a＜0$时，函数在区间内随x增大而减小，最小值在$x=a+1$处取得：
代入得$(a+1 -1)^2 =1$，即$a^2=1$，解得$a=-1$或$a=1$，结合$a＜0$的前提，故$a=-1$符合要求。
2. 当区间在对称轴右侧，即$a ＞ 1$时，函数在区间内随x增大而增大，最小值在$x=a$处取得：
代入得$(a-1)^2=1$，解得$a=2$或$a=0$，结合$a＞1$的前提，故$a=2$符合要求。
3. 当区间包含对称轴，即$0≤ a≤1$时，函数最小值为顶点处的0，不符合题意，舍去。
综上，$a$的值为$-1$或$2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题关键是明确二次函数的开口和对称轴，结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先将给定二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点处的最小值；再求出函数值为1时对应的x的取值，接下来结合区间$a ≤ x ≤ a+1$与对称轴的位置关系分三类讨论：区间在对称轴左侧、区间在对称轴右侧、区间包含对称轴，排除不符合最小值为1的情况，最终求解得到a的取值。
【解析】
先化简函数：$y=x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，该函数是开口向上的二次函数，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$，即当$x=1$时，函数取最小值0。
题目要求区间$a ≤ x ≤ a+1$内函数最小值为1，说明该区间不包含$x=1$（否则最小值为0，不符合题意），分情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a+1 ＜ 1$，也就是$a＜0$时，函数在区间内随x增大而减小，最小值在$x=a+1$处取得：
代入得$(a+1 -1)^2 =1$，即$a^2=1$，解得$a=-1$或$a=1$，结合$a＜0$的前提，故$a=-1$符合要求。
2. 当区间在对称轴右侧，即$a ＞ 1$时，函数在区间内随x增大而增大，最小值在$x=a$处取得：
代入得$(a-1)^2=1$，解得$a=2$或$a=0$，结合$a＞1$的前提，故$a=2$符合要求。
3. 当区间包含对称轴，即$0≤ a≤1$时，函数最小值为顶点处的0，不符合题意，舍去。
综上，$a$的值为$-1$或$2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题关键是明确二次函数的开口和对称轴，结合区间与对称轴的位置关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. 过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A,B,C为该抛物线上的三点，如图，y(单位:m)表示运行的竖直高度，x(单位:m)表示水平距离。当过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（
A.4
B.5
C.7
D.9
C
）A.4
B.5
C.7
D.9
答案
C
解析
【分析】
该抛物线开口向上，最低点在抛物线的对称轴上，对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的竖直高度y越小。我们先根据图象判断三点的纵坐标大小关系，由此推导三点到对称轴的距离关系，列不等式求出对称轴（即最低点对应水平距离）的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
由题意可知该抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越小，竖直高度y越小。
根据图象可得三点纵坐标满足：$ y_A ＞ y_C ＞ y_B $，设最低点对应的水平距离即对称轴为$ x=h $，可得两点距离关系：
1. 因为$ y_A ＞ y_C $，所以A到对称轴的距离大于C到对称轴的距离，即$ |h-0|＞|h-12| $，解得$ h＞6 $；
2. 因为$ y_C ＞ y_B $，所以C到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，即$ |h-12|＞|h-6| $，解得$ h＜9 $。
综上可得$ 6＜h＜9 $，选项中只有7在该取值范围内。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数的对称轴
【点评】
本题不需要求解抛物线解析式，只需利用开口向上的二次函数的点与对称轴距离、纵坐标的大小关系即可解题，核心是通过纵坐标的大小反推对称轴的取值范围，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
该抛物线开口向上，最低点在抛物线的对称轴上，对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的竖直高度y越小。我们先根据图象判断三点的纵坐标大小关系，由此推导三点到对称轴的距离关系，列不等式求出对称轴（即最低点对应水平距离）的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
由题意可知该抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越小，竖直高度y越小。
根据图象可得三点纵坐标满足：$ y_A ＞ y_C ＞ y_B $，设最低点对应的水平距离即对称轴为$ x=h $，可得两点距离关系：
1. 因为$ y_A ＞ y_C $，所以A到对称轴的距离大于C到对称轴的距离，即$ |h-0|＞|h-12| $，解得$ h＞6 $；
2. 因为$ y_C ＞ y_B $，所以C到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，即$ |h-12|＞|h-6| $，解得$ h＜9 $。
综上可得$ 6＜h＜9 $，选项中只有7在该取值范围内。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数的对称轴
【点评】
本题不需要求解抛物线解析式，只需利用开口向上的二次函数的点与对称轴距离、纵坐标的大小关系即可解题，核心是通过纵坐标的大小反推对称轴的取值范围，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是
$-1＜x＜3$
。答案
$-1＜x＜3$
解析
【分析】
求解不等式$ax^2+bx+c＜0$，可结合二次函数图象的意义分析：该不等式等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值小于0，对应图象为抛物线位于x轴下方的部分，此时对应的自变量x的取值范围就是不等式的解集。首先观察图象确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口方向，即可判断x轴下方的图象对应的x取值区间。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴下方时x的取值范围。
由图象可得：二次函数与x轴的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，且抛物线开口向上，
因此抛物线在x轴下方时，x的取值在-1和3之间，即解集为$-1＜x＜3$。
【答案】
$-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题考查二次函数与一元二次不等式的结合应用，核心是理解函数值的正负对应图象在x轴的上下位置，结合交点坐标即可求解，是数形结合思想的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
求解不等式$ax^2+bx+c＜0$，可结合二次函数图象的意义分析：该不等式等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值小于0，对应图象为抛物线位于x轴下方的部分，此时对应的自变量x的取值范围就是不等式的解集。首先观察图象确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线开口方向，即可判断x轴下方的图象对应的x取值区间。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴下方时x的取值范围。
由图象可得：二次函数与x轴的交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，且抛物线开口向上，
因此抛物线在x轴下方时，x的取值在-1和3之间，即解集为$-1＜x＜3$。
【答案】
$-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题考查二次函数与一元二次不等式的结合应用，核心是理解函数值的正负对应图象在x轴的上下位置，结合交点坐标即可求解，是数形结合思想的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
6. 为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价。若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式为
$y=m(1-x)^2$
。答案
$y=m(1-x)^2$
解析
【分析】
解题时先理清连续降价的计算逻辑：每次降价的基数是前一次降价后的价格，而非原价。第一步先计算第一次降价后的价格，第二步以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，最终得到y与x的关系式，要注意避免出现直接用原价减去2倍降价金额的错误。
【解析】
已知药品原价为m元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，药品价格为原价乘以(1-降价百分率)，即：$ m(1-x) $ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行，因此降价后的价格为第一次降价后的价格再乘以(1-降价百分率)，即：$ m(1-x) · (1-x) = m(1-x)^2 $ 元；
综上即可得到y与x之间的函数关系式。
【答案】
$ y=m(1-x)^2 $
【知识点】
1. 平均变化率问题 2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题型，解题核心是明确每次变化的计算基数为前一次变化后的量，掌握连续两次变化的通用公式即可快速求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先理清连续降价的计算逻辑：每次降价的基数是前一次降价后的价格，而非原价。第一步先计算第一次降价后的价格，第二步以第一次降价后的价格为基数计算第二次降价后的价格，最终得到y与x的关系式，要注意避免出现直接用原价减去2倍降价金额的错误。
【解析】
已知药品原价为m元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，药品价格为原价乘以(1-降价百分率)，即：$ m(1-x) $ 元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行，因此降价后的价格为第一次降价后的价格再乘以(1-降价百分率)，即：$ m(1-x) · (1-x) = m(1-x)^2 $ 元；
综上即可得到y与x之间的函数关系式。
【答案】
$ y=m(1-x)^2 $
【知识点】
1. 平均变化率问题 2. 列二次函数关系式
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题型，解题核心是明确每次变化的计算基数为前一次变化后的量，掌握连续两次变化的通用公式即可快速求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
7. 抛物线$y=x^2+5x+4$在x轴上截得的线段长度是
3
。答案
3
解析
【分析】
要计算抛物线在x轴上截得的线段长度，首先明确抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的根，截得的线段长度为两个交点横坐标差的绝对值。解题思路为：第一步令y=0，解对应的一元二次方程得到两个根；第二步计算两个根的差的绝对值，即为所求线段长度。
【解析】
令抛物线解析式中y=0，可得一元二次方程：
$x^2+5x+4=0$
对左侧因式分解得：
$(x+1)(x+4)=0$
解得方程的两个根为 $x_1=-1$，$x_2=-4$
即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(-4,0)$
则截得的线段长度为：
$|x_1 - x_2|=|-1 - (-4)|=3$
【答案】
3
【知识点】
抛物线与x轴交点、一元二次方程求解、数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的关键是理解函数图像与坐标轴交点的求解逻辑，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
要计算抛物线在x轴上截得的线段长度，首先明确抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的根，截得的线段长度为两个交点横坐标差的绝对值。解题思路为：第一步令y=0，解对应的一元二次方程得到两个根；第二步计算两个根的差的绝对值，即为所求线段长度。
【解析】
令抛物线解析式中y=0，可得一元二次方程：
$x^2+5x+4=0$
对左侧因式分解得：
$(x+1)(x+4)=0$
解得方程的两个根为 $x_1=-1$，$x_2=-4$
即抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-1,0)$和$(-4,0)$
则截得的线段长度为：
$|x_1 - x_2|=|-1 - (-4)|=3$
【答案】
3
【知识点】
抛物线与x轴交点、一元二次方程求解、数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的关键是理解函数图像与坐标轴交点的求解逻辑，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
8. 已知$x=2t-8,y=10-t,S=xy$，则S有最
大
值，这个值是18
。答案
大 18
解析
【分析】
要判断S的最值情况，首先需要将x和y关于t的表达式代入S=xy中，整理得到S关于t的函数表达式，观察可知该函数是二次函数，再根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，最后通过配方法或顶点坐标公式求出最值即可。
【解析】
把$x=2t-8$，$y=10-t$代入$S=xy$，得：
$\begin{aligned}S&=(2t-8)(10-t)\\&=20t-2t^2-80+8t\\&=-2t^2+28t-80\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，S有最大值。
对函数配方得：
$\begin{aligned}S&=-2(t^2-14t)-80\\&=-2(t^2-14t+49-49)-80\\&=-2(t-7)^2+98-80\\&=-2(t-7)^2+18\end{aligned}$
∴当$t=7$时，S取得最大值，最大值为18。
【答案】
大；18
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 二次函数的图象性质
3. 整式的乘法运算
【点评】
本题是二次函数求最值的基础题型，解题核心是先通过代入运算将目标式转化为二次函数的标准形式，再结合二次函数的开口方向判断最值类型，进而计算得到最值，是二次函数应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断S的最值情况，首先需要将x和y关于t的表达式代入S=xy中，整理得到S关于t的函数表达式，观察可知该函数是二次函数，再根据二次项系数的正负判断函数有最大值还是最小值，最后通过配方法或顶点坐标公式求出最值即可。
【解析】
把$x=2t-8$，$y=10-t$代入$S=xy$，得：
$\begin{aligned}S&=(2t-8)(10-t)\\&=20t-2t^2-80+8t\\&=-2t^2+28t-80\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴该二次函数图象开口向下，S有最大值。
对函数配方得：
$\begin{aligned}S&=-2(t^2-14t)-80\\&=-2(t^2-14t+49-49)-80\\&=-2(t-7)^2+98-80\\&=-2(t-7)^2+18\end{aligned}$
∴当$t=7$时，S取得最大值，最大值为18。
【答案】
大；18
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 二次函数的图象性质
3. 整式的乘法运算
【点评】
本题是二次函数求最值的基础题型，解题核心是先通过代入运算将目标式转化为二次函数的标准形式，再结合二次函数的开口方向判断最值类型，进而计算得到最值，是二次函数应用部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，直线$y=x+m$和抛物线$y=x^2+bx+c$都经过点$A(1,0),B(3,2)$。
(1)求$m$的值和抛物线的函数表达式。
(2)求不等式$x^2+bx+c＞x+m$的解集。(直接写出答案)
(1)求$m$的值和抛物线的函数表达式。
(2)求不等式$x^2+bx+c＞x+m$的解集。(直接写出答案)
答案
解:(1)将点A(1,0),B(3,2)的坐标代入$y=x^2+bx+c$，
得$\begin{cases}1+b+c=0,\\9+3b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-3,\\c=2,\end{cases}$
则抛物线的函数表达式为$y=x^2-3x+2$。
将点A(1,0)的坐标代入$y=x+m$，可得$1+m=0$，解得$m=-1$。
(2)由函数图象可知不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$。
得$\begin{cases}1+b+c=0,\\9+3b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-3,\\c=2,\end{cases}$
则抛物线的函数表达式为$y=x^2-3x+2$。
将点A(1,0)的坐标代入$y=x+m$，可得$1+m=0$，解得$m=-1$。
(2)由函数图象可知不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$。
解析
【分析】
(1) 已知直线和抛物线均过定点，求参数及函数表达式可采用待定系数法：先将点A坐标代入直线方程，列一元一次方程即可求出m的值；再将A、B两点坐标代入抛物线表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组得到b、c的值，即可确定抛物线的函数表达式。
(2) 不等式$x^2+bx+c＞x+m$的几何意义是抛物线的函数值大于直线的函数值，对应图像中抛物线位于直线上方的部分，结合两个交点的横坐标为1和3，直接读取对应x的取值范围即可。
【解析】
(1) 求m的值：
将点$A(1,0)$代入$y=x+m$，得$1+m=0$，解得$m=-1$。
求抛物线的函数表达式：
将点$A(1,0)$、$B(3,2)$代入$y=x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=2\end{cases}$
消去c，解得$\begin{cases}b=-3\\c=2\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2-3x+2$。
(2) 观察函数图像，抛物线与直线的交点横坐标为$x=1$和$x=3$，当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于直线上方，满足$x^2+bx+c＞x+m$。
【答案】
(1) $m=-1$，抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x+2}$；
(2) $\boldsymbol{x＜1}$或$\boldsymbol{x＞3}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与不等式
3. 数形结合思想
【点评】
本题属于函数基础综合题，主要考查待定系数法求解函数解析式的方法，以及利用数形结合思想通过函数图像判断不等式解集的能力，解题的关键是理解函数值大小关系与图像上下位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 已知直线和抛物线均过定点，求参数及函数表达式可采用待定系数法：先将点A坐标代入直线方程，列一元一次方程即可求出m的值；再将A、B两点坐标代入抛物线表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组得到b、c的值，即可确定抛物线的函数表达式。
(2) 不等式$x^2+bx+c＞x+m$的几何意义是抛物线的函数值大于直线的函数值，对应图像中抛物线位于直线上方的部分，结合两个交点的横坐标为1和3，直接读取对应x的取值范围即可。
【解析】
(1) 求m的值：
将点$A(1,0)$代入$y=x+m$，得$1+m=0$，解得$m=-1$。
求抛物线的函数表达式：
将点$A(1,0)$、$B(3,2)$代入$y=x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=2\end{cases}$
消去c，解得$\begin{cases}b=-3\\c=2\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2-3x+2$。
(2) 观察函数图像，抛物线与直线的交点横坐标为$x=1$和$x=3$，当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于直线上方，满足$x^2+bx+c＞x+m$。
【答案】
(1) $m=-1$，抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x+2}$；
(2) $\boldsymbol{x＜1}$或$\boldsymbol{x＞3}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数与不等式
3. 数形结合思想
【点评】
本题属于函数基础综合题，主要考查待定系数法求解函数解析式的方法，以及利用数形结合思想通过函数图像判断不等式解集的能力，解题的关键是理解函数值大小关系与图像上下位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
