登录
10. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的顶点C的坐标为$(-1, -3)$,与x轴交于$A(-3,0),B(1,0)$,根据图象回答下列问题:
(1)写出方程$ax^2+bx+c=0$的根。
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集。
(3)若方程$ax^2+bx+c=k$有实数根,写出实数k的取值范围。
(1)写出方程$ax^2+bx+c=0$的根。
(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集。
(3)若方程$ax^2+bx+c=k$有实数根,写出实数k的取值范围。
答案
解:(1)因为方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，
所以方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=-3,x_2=1$。
(2)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x的范围，
所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$x＜-3$或$x＞1$。
(3)因为方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，
所以抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，
由函数图象知$k≥-3$。
所以方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=-3,x_2=1$。
(2)不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x的范围，
所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$x＜-3$或$x＞1$。
(3)因为方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，
所以抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，
由函数图象知$k≥-3$。
解析
【分析】
本题可结合数形结合思想分析解题：
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图像与x轴交点的横坐标，直接读取A、B两点的横坐标即可；
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数图像在x轴上方部分的x的取值范围，结合抛物线开口方向、与x轴交点坐标即可写出解集；
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，结合抛物线的最小值即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，已知二次函数与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，因此方程的根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围，由图像可知抛物线开口向上，x轴上方的图像对应x＜-3或x＞1，因此解集为$x＜-3$或$x＞1$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，说明抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，由图像可知二次函数的最小值为顶点纵坐标-3，因此k的取值范围为$k≥-3$。
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=1$
(2) $x＜-3$或$x＞1$
(3) $k≥-3$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数图像性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是理解二次函数图像与对应方程、不等式之间的关联，结合图像特征可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题可结合数形结合思想分析解题：
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图像与x轴交点的横坐标，直接读取A、B两点的横坐标即可；
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数图像在x轴上方部分的x的取值范围，结合抛物线开口方向、与x轴交点坐标即可写出解集；
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，结合抛物线的最小值即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，已知二次函数与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，因此方程的根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围，由图像可知抛物线开口向上，x轴上方的图像对应x＜-3或x＞1，因此解集为$x＜-3$或$x＞1$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，说明抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有公共点，由图像可知二次函数的最小值为顶点纵坐标-3，因此k的取值范围为$k≥-3$。
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=1$
(2) $x＜-3$或$x＞1$
(3) $k≥-3$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数图像性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是理解二次函数图像与对应方程、不等式之间的关联，结合图像特征可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11. 如图，这是一条隧道的截面图，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD。
(1)当AD=4 m时，求隧道截面上部半圆O的面积。
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8 m，半圆O的半径为r m。
①求隧道截面的面积S(m²)关于半径r(m)的函数关系式。(不要求写出r的取值范围)
②若2 m≤CD≤3 m，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值。(π取3.14，结果精确到0.1 m²)
(1)当AD=4 m时，求隧道截面上部半圆O的面积。
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8 m，半圆O的半径为r m。
①求隧道截面的面积S(m²)关于半径r(m)的函数关系式。(不要求写出r的取值范围)
②若2 m≤CD≤3 m，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值。(π取3.14，结果精确到0.1 m²)
答案
解:(1)当$AD=4\ \mathrm{m}$时，
$S_{\mathrm{半圆}}=\dfrac{1}{2}π×(\dfrac{AD}{2})^2=\dfrac{1}{2}π×2^2=2π(\mathrm{m}^2)$。
(2)①因为$AD=2r\ \mathrm{m}$，$AD+CD=8\ \mathrm{m}$，
所以$CD=8-AD=(8-2r)\mathrm{m}$，
所以$S=\dfrac{1}{2}π r^2+AD· CD=\dfrac{1}{2}π r^2+2r(8-2r)=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$。
②由①知$CD=(8-2r)\mathrm{m}$，
又因为$2\ \mathrm{m}≤ CD≤3\ \mathrm{m}$，所以$2≤8-2r≤3$，
所以$2.5≤ r≤3$。
由①知$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)r^2+16r$
$=-2.43r^2+16r=-2.43(r-\dfrac{800}{243})^2+\dfrac{6400}{243}$。
因为$-2.43＜0$，
所以函数图象为开口向下的抛物线。
因为函数图象的对称轴为直线$r\approx3.3$，$2.5≤ r≤3＜3.3$，
所以S随r的增大而增大，
故当$r=3$时，S有最大值，
$S_{\mathrm{最大值}}=(\dfrac{1}{2}π-4)×3^2+16×3$
$\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)×9+48$
$\approx26.1(\mathrm{m}^2)$。
答：隧道截面的面积S的最大值约为$26.1\ \mathrm{m}^2$。
$S_{\mathrm{半圆}}=\dfrac{1}{2}π×(\dfrac{AD}{2})^2=\dfrac{1}{2}π×2^2=2π(\mathrm{m}^2)$。
(2)①因为$AD=2r\ \mathrm{m}$，$AD+CD=8\ \mathrm{m}$，
所以$CD=8-AD=(8-2r)\mathrm{m}$，
所以$S=\dfrac{1}{2}π r^2+AD· CD=\dfrac{1}{2}π r^2+2r(8-2r)=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$。
②由①知$CD=(8-2r)\mathrm{m}$，
又因为$2\ \mathrm{m}≤ CD≤3\ \mathrm{m}$，所以$2≤8-2r≤3$，
所以$2.5≤ r≤3$。
由①知$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)r^2+16r$
$=-2.43r^2+16r=-2.43(r-\dfrac{800}{243})^2+\dfrac{6400}{243}$。
因为$-2.43＜0$，
所以函数图象为开口向下的抛物线。
因为函数图象的对称轴为直线$r\approx3.3$，$2.5≤ r≤3＜3.3$，
所以S随r的增大而增大，
故当$r=3$时，S有最大值，
$S_{\mathrm{最大值}}=(\dfrac{1}{2}π-4)×3^2+16×3$
$\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)×9+48$
$\approx26.1(\mathrm{m}^2)$。
答：隧道截面的面积S的最大值约为$26.1\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1)第一问求半圆面积，直接使用半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π R^2$，已知AD是直径为4m，先求出半圆的半径，再代入公式计算即可。
(2)①要得到截面面积S关于r的函数关系式，首先明确截面面积=半圆面积+矩形ABCD的面积。已知半圆半径为r，所以直径AD=2r，再根据矩形相邻两边AD+CD=8m，可表示出CD的长度，分别计算半圆和矩形的面积，合并化简即可得到函数式。
②首先根据CD的取值范围2m≤CD≤3m，代入CD=8-2r求出r的取值范围；再将二次函数解析式整理，根据二次项系数的正负判断开口方向，结合对称轴与r取值范围的位置关系，判断函数在区间内的单调性，进而找到S取最大值时对应的r值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1)当$AD=4\ \mathrm{m}$时，半圆的半径为$\frac{AD}{2}=2\ \mathrm{m}$，
$S_{\mathrm{半圆}}=\dfrac{1}{2}π×(\dfrac{AD}{2})^2=\dfrac{1}{2}π×2^2=2π(\mathrm{m}^2)$。
(2)①因为半圆O的半径为r m，所以直径$AD=2r\ \mathrm{m}$，
已知矩形ABCD相邻两边之和为8 m，即$AD+CD=8\ \mathrm{m}$，
所以$CD=8-AD=(8-2r)\mathrm{m}$，
隧道截面面积为半圆面积加矩形面积，因此：
$S=\dfrac{1}{2}π r^2+AD· CD=\dfrac{1}{2}π r^2+2r(8-2r)=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$。
②由①知$CD=(8-2r)\mathrm{m}$，
又因为$2\ \mathrm{m}≤ CD≤3\ \mathrm{m}$，所以$2≤8-2r≤3$，
解不等式得$2.5≤ r≤3$。
将$π=3.14$代入①的函数式：
$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)r^2+16r=-2.43r^2+16r$，
因为二次项系数$-2.43＜0$，所以函数图象为开口向下的抛物线，
对称轴为直线$r=\frac{16}{2×2.43}\approx3.3$，已知$2.5≤ r≤3＜3.3$，说明取值区间在对称轴左侧，
因此在$2.5≤ r≤3$范围内，S随r的增大而增大，
故当$r=3$时，S有最大值，
代入计算：
$S_{\mathrm{最大值}}=(\dfrac{1}{2}π-4)×3^2+16×3\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)×9+48\approx26.1(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1)半圆O的面积为$2π\ \mathrm{m}^2$；
(2)①$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$；
②隧道截面面积S的最大值约为$26.1\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
半圆面积计算，二次函数解析式，二次函数最值应用
【点评】
本题结合几何图形的面积计算与二次函数的实际应用，既考查了基础的几何面积公式运用，也考查了利用二次函数性质求解区间最值的能力，需要学生理清几何量之间的关系，再结合函数性质分析求解，是典型的代数几何综合应用题。
【难度系数】
0.6
(1)第一问求半圆面积，直接使用半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π R^2$，已知AD是直径为4m，先求出半圆的半径，再代入公式计算即可。
(2)①要得到截面面积S关于r的函数关系式，首先明确截面面积=半圆面积+矩形ABCD的面积。已知半圆半径为r，所以直径AD=2r，再根据矩形相邻两边AD+CD=8m，可表示出CD的长度，分别计算半圆和矩形的面积，合并化简即可得到函数式。
②首先根据CD的取值范围2m≤CD≤3m，代入CD=8-2r求出r的取值范围；再将二次函数解析式整理，根据二次项系数的正负判断开口方向，结合对称轴与r取值范围的位置关系，判断函数在区间内的单调性，进而找到S取最大值时对应的r值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1)当$AD=4\ \mathrm{m}$时，半圆的半径为$\frac{AD}{2}=2\ \mathrm{m}$，
$S_{\mathrm{半圆}}=\dfrac{1}{2}π×(\dfrac{AD}{2})^2=\dfrac{1}{2}π×2^2=2π(\mathrm{m}^2)$。
(2)①因为半圆O的半径为r m，所以直径$AD=2r\ \mathrm{m}$，
已知矩形ABCD相邻两边之和为8 m，即$AD+CD=8\ \mathrm{m}$，
所以$CD=8-AD=(8-2r)\mathrm{m}$，
隧道截面面积为半圆面积加矩形面积，因此：
$S=\dfrac{1}{2}π r^2+AD· CD=\dfrac{1}{2}π r^2+2r(8-2r)=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$。
②由①知$CD=(8-2r)\mathrm{m}$，
又因为$2\ \mathrm{m}≤ CD≤3\ \mathrm{m}$，所以$2≤8-2r≤3$，
解不等式得$2.5≤ r≤3$。
将$π=3.14$代入①的函数式：
$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)r^2+16r=-2.43r^2+16r$，
因为二次项系数$-2.43＜0$，所以函数图象为开口向下的抛物线，
对称轴为直线$r=\frac{16}{2×2.43}\approx3.3$，已知$2.5≤ r≤3＜3.3$，说明取值区间在对称轴左侧，
因此在$2.5≤ r≤3$范围内，S随r的增大而增大，
故当$r=3$时，S有最大值，
代入计算：
$S_{\mathrm{最大值}}=(\dfrac{1}{2}π-4)×3^2+16×3\approx(\dfrac{1}{2}×3.14-4)×9+48\approx26.1(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1)半圆O的面积为$2π\ \mathrm{m}^2$；
(2)①$S=(\dfrac{1}{2}π-4)r^2+16r$；
②隧道截面面积S的最大值约为$26.1\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
半圆面积计算，二次函数解析式，二次函数最值应用
【点评】
本题结合几何图形的面积计算与二次函数的实际应用，既考查了基础的几何面积公式运用，也考查了利用二次函数性质求解区间最值的能力，需要学生理清几何量之间的关系，再结合函数性质分析求解，是典型的代数几何综合应用题。
【难度系数】
0.6
