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例1 判断下列各组式子是不是同类项，说明理由.
(1)$2x^2y$与$xy^2$； (2)$-a^2bc$与$a^2b$；
(3)$10mn$与$\frac{2}{3}mn$； (4)$-1$与$\frac{1}{2}$.
【思路导析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项.
【请你解答】
(1)$2x^2y$与$xy^2$； (2)$-a^2bc$与$a^2b$；
(3)$10mn$与$\frac{2}{3}mn$； (4)$-1$与$\frac{1}{2}$.
【思路导析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项.
【请你解答】
答案
解：
(1)不是同类项。理由：两个式子所含字母相同，但相同字母x的指数分别为2和1，字母y的指数分别为1和2，相同字母的指数不对应相等，因此不是同类项。
(2)不是同类项。理由：$-a^2bc$含有字母a、b、c，$a^2b$含有字母a、b，两个式子所含的字母不相同，因此不是同类项。
(3)是同类项。理由：两个式子所含字母都是m和n，且相同字母m、n的指数都为1，所含字母相同，相同字母的指数也相同，因此是同类项。
(4)是同类项。理由：两个式子都是常数项，所有常数项都是同类项。
(1)不是同类项。理由：两个式子所含字母相同，但相同字母x的指数分别为2和1，字母y的指数分别为1和2，相同字母的指数不对应相等，因此不是同类项。
(2)不是同类项。理由：$-a^2bc$含有字母a、b、c，$a^2b$含有字母a、b，两个式子所含的字母不相同，因此不是同类项。
(3)是同类项。理由：两个式子所含字母都是m和n，且相同字母m、n的指数都为1，所含字母相同，相同字母的指数也相同，因此是同类项。
(4)是同类项。理由：两个式子都是常数项，所有常数项都是同类项。
解析
【分析】
判断同类项需要严格依据两个核心判定规则：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别对应相等，另外所有常数项都属于同类项，判断过程中不需要考虑系数大小、字母的排列顺序。解题时逐一对每组式子核对上述规则即可：先看两个式子所含字母是否完全一致，若不一致直接判定不是同类项；若字母一致，再核对相同字母的指数是否对应相等，都满足就是同类项，否则不是；如果都是常数项就直接判定为同类项。
【解析】
(1) 不是同类项。理由：两个式子所含字母都是x、y，但x的指数分别为2和1，y的指数分别为1和2，相同字母的指数不对应相等，因此不是同类项。
(2) 不是同类项。理由：$-a^2bc$含有字母a、b、c，$a^2b$仅含有字母a、b，两个式子所含字母不相同，因此不是同类项。
(3) 是同类项。理由：两个式子所含字母都是m和n，且m、n的指数都为1，满足所含字母相同、相同字母的指数也相同的要求，因此是同类项。
(4) 是同类项。理由：$-1$和$\frac{1}{2}$都是常数项，所有常数项都是同类项，因此是同类项。
【答案】
(1)不是同类项；(2)不是同类项；(3)是同类项；(4)是同类项
【知识点】
1.同类项的定义 2.常数项的性质
【点评】
本题是同类项判定的基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，解题时要注意避开系数、字母排列顺序的干扰，牢记常数项均为同类项的特殊规则。
【难度系数】
0.8
判断同类项需要严格依据两个核心判定规则：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别对应相等，另外所有常数项都属于同类项，判断过程中不需要考虑系数大小、字母的排列顺序。解题时逐一对每组式子核对上述规则即可：先看两个式子所含字母是否完全一致，若不一致直接判定不是同类项；若字母一致，再核对相同字母的指数是否对应相等，都满足就是同类项，否则不是；如果都是常数项就直接判定为同类项。
【解析】
(1) 不是同类项。理由：两个式子所含字母都是x、y，但x的指数分别为2和1，y的指数分别为1和2，相同字母的指数不对应相等，因此不是同类项。
(2) 不是同类项。理由：$-a^2bc$含有字母a、b、c，$a^2b$仅含有字母a、b，两个式子所含字母不相同，因此不是同类项。
(3) 是同类项。理由：两个式子所含字母都是m和n，且m、n的指数都为1，满足所含字母相同、相同字母的指数也相同的要求，因此是同类项。
(4) 是同类项。理由：$-1$和$\frac{1}{2}$都是常数项，所有常数项都是同类项，因此是同类项。
【答案】
(1)不是同类项；(2)不是同类项；(3)是同类项；(4)是同类项
【知识点】
1.同类项的定义 2.常数项的性质
【点评】
本题是同类项判定的基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，解题时要注意避开系数、字母排列顺序的干扰，牢记常数项均为同类项的特殊规则。
【难度系数】
0.8
例2 合并下列同类项：
(1)$3x^2$与$-2x^2$； (2)$-\frac{1}{2}ab^2$与$\frac{2}{3}ab^2$.
【思路导析】把同类项的系数相加作为结果的系数，字母及指数不变.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$3x^2$与$-2x^2$； (2)$-\frac{1}{2}ab^2$与$\frac{2}{3}ab^2$.
【思路导析】把同类项的系数相加作为结果的系数，字母及指数不变.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) $3x^2 + (-2x^2) = (3-2)x^2 = x^2$
(2) $-\frac{1}{2}ab^2 + \frac{2}{3}ab^2 = (-\frac{1}{2}+\frac{2}{3})ab^2 = \frac{1}{6}ab^2$
(1) $3x^2 + (-2x^2) = (3-2)x^2 = x^2$
(2) $-\frac{1}{2}ab^2 + \frac{2}{3}ab^2 = (-\frac{1}{2}+\frac{2}{3})ab^2 = \frac{1}{6}ab^2$
解析
【分析】
首先判断给出的两项是否为同类项：(1)中两个单项式都含字母x，且x的指数均为2；(2)中两个单项式都含字母a、b，a的指数均为1，b的指数均为2，两组都是同类项，可按照合并同类项法则计算：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变，计算系数和时注意符号规则，分数加减需先通分再计算。
【解析】
(1) 合并$3x^2$与$-2x^2$，按法则将系数相加，字母及指数不变：
$3x^2 + (-2x^2) = (3-2)x^2 = x^2$
(2) 合并$-\frac{1}{2}ab^2$与$\frac{2}{3}ab^2$，按法则将系数相加，字母及指数不变：
$-\frac{1}{2}ab^2 + \frac{2}{3}ab^2 = (-\frac{1}{2}+\frac{2}{3})ab^2 = \frac{1}{6}ab^2$
【答案】
(1) $x^2$；(2) $\frac{1}{6}ab^2$
【知识点】
合并同类项法则；有理数加减运算
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，重点考查对合并同类项法则的掌握，计算时要注意系数的符号，涉及分数运算时需先通分再计算，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.85
首先判断给出的两项是否为同类项：(1)中两个单项式都含字母x，且x的指数均为2；(2)中两个单项式都含字母a、b，a的指数均为1，b的指数均为2，两组都是同类项，可按照合并同类项法则计算：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变，计算系数和时注意符号规则，分数加减需先通分再计算。
【解析】
(1) 合并$3x^2$与$-2x^2$，按法则将系数相加，字母及指数不变：
$3x^2 + (-2x^2) = (3-2)x^2 = x^2$
(2) 合并$-\frac{1}{2}ab^2$与$\frac{2}{3}ab^2$，按法则将系数相加，字母及指数不变：
$-\frac{1}{2}ab^2 + \frac{2}{3}ab^2 = (-\frac{1}{2}+\frac{2}{3})ab^2 = \frac{1}{6}ab^2$
【答案】
(1) $x^2$；(2) $\frac{1}{6}ab^2$
【知识点】
合并同类项法则；有理数加减运算
【点评】
本题是合并同类项的基础题型，重点考查对合并同类项法则的掌握，计算时要注意系数的符号，涉及分数运算时需先通分再计算，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.85
例3 合并下列各式中的同类项：
(1)$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$；
(2)$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$。
【思路导析】先找出同类项，用相同的符号把同类项进行标识，然后再合并。
【规范解答】
(1) $-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$。
(2) $3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$。
(1)$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$；
(2)$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$。
【思路导析】先找出同类项，用相同的符号把同类项进行标识，然后再合并。
【规范解答】
(1) $-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$。
(2) $3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$。
答案
解：
(1)
$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$
(2)
$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$
(1)
$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$
(2)
$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$
解析
【分析】
合并同类项首先要掌握同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项也互为同类项。解题思路可分为三步：第一步先标记原式中的所有同类项，注意标记时要连同项前面的正负号一起；第二步利用加法交换律和结合律将同类项分组集中；第三步按照合并同类项法则计算，即同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，其中系数互为相反数的同类项相加结果为0，可直接消去。
【解析】
(1)
$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$
(2)
$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$
【答案】
(1) $-7x^2 -4y^2$；(2) $8x^2y -2xy^2 +2$
【知识点】
同类项的识别、合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查同类项的判断能力和合并同类项的运算能力。解题时需注意移动项要连带前面的正负号，合并系数时要正确处理符号运算，能有效提升整式运算的基本功。
【难度系数】
0.85
合并同类项首先要掌握同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项也互为同类项。解题思路可分为三步：第一步先标记原式中的所有同类项，注意标记时要连同项前面的正负号一起；第二步利用加法交换律和结合律将同类项分组集中；第三步按照合并同类项法则计算，即同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，其中系数互为相反数的同类项相加结果为0，可直接消去。
【解析】
(1)
$-2x^2 -8y^2 +4y^2 -5x^2 -5x +5x$
$=(-2x^2 -5x^2)+(-8y^2 +4y^2)+(-5x +5x)$
$=(-2-5)x^2 + (-8+4)y^2 + (-5+5)x$
$=-7x^2 -4y^2$
(2)
$3x^2y -4xy^2 -3 +5x^2y +2xy^2 +5$
$=(3x^2y +5x^2y)+(-4xy^2 +2xy^2)+(-3+5)$
$=(3+5)x^2y + (-4+2)xy^2 + (-3+5)$
$=8x^2y -2xy^2 +2$
【答案】
(1) $-7x^2 -4y^2$；(2) $8x^2y -2xy^2 +2$
【知识点】
同类项的识别、合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，重点考查同类项的判断能力和合并同类项的运算能力。解题时需注意移动项要连带前面的正负号，合并系数时要正确处理符号运算，能有效提升整式运算的基本功。
【难度系数】
0.85
1.合并同类项：$a^2b - 3ab^2 + 2ba^2 - b^2a.$
答案
解：
原式$=a^2b + 2a^2b - 3ab^2 - ab^2$
$=(1+2)a^2b + (-3-1)ab^2$
$=3a^2b - 4ab^2$
原式$=a^2b + 2a^2b - 3ab^2 - ab^2$
$=(1+2)a^2b + (-3-1)ab^2$
$=3a^2b - 4ab^2$
解析
【分析】
要完成合并同类项，首先要掌握两个核心要点：一是同类项的判定：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项互为同类项，同类项与字母的排列顺序无关；二是合并同类项的规则：只把同类项的系数相加，字母和字母的指数都不变。解题时先观察原式，找出所有同类项：$a^2b$和$2ba^2$是同类项，$-3ab^2$和$-b^2a$是同类项；再利用加法交换律把同类项放到一起，注意移动项时要带上项前面的符号；最后分别计算同类项的系数和，得到合并后的结果。
【解析】
解：原式$=a^2b + 2a^2b - 3ab^2 - ab^2$
$=(1+2)a^2b + (-3-1)ab^2$
$=3a^2b - 4ab^2$
【答案】
$3a^2b - 4ab^2$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题的关键是准确识别同类项，不要受字母排列顺序的干扰，合并同类项时要注意带符号计算系数，避免运算出错。
【难度系数】
0.9
要完成合并同类项，首先要掌握两个核心要点：一是同类项的判定：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项互为同类项，同类项与字母的排列顺序无关；二是合并同类项的规则：只把同类项的系数相加，字母和字母的指数都不变。解题时先观察原式，找出所有同类项：$a^2b$和$2ba^2$是同类项，$-3ab^2$和$-b^2a$是同类项；再利用加法交换律把同类项放到一起，注意移动项时要带上项前面的符号；最后分别计算同类项的系数和，得到合并后的结果。
【解析】
解：原式$=a^2b + 2a^2b - 3ab^2 - ab^2$
$=(1+2)a^2b + (-3-1)ab^2$
$=3a^2b - 4ab^2$
【答案】
$3a^2b - 4ab^2$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题的关键是准确识别同类项，不要受字母排列顺序的干扰，合并同类项时要注意带符号计算系数，避免运算出错。
【难度系数】
0.9
2.若单项式$a^{m-2}b^{n+7}$与单项式$-3a^4b^4$的和仍是一个单项式，则$m-n=$。
答案
解：
由两个单项式的和仍是一个单项式，可知这两个单项式是同类项。
根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可得：
$m-2=4$，解得$m=6$；
$n+7=4$，解得$n=-3$。
所以$m-n=6 - (-3)=9$。
由两个单项式的和仍是一个单项式，可知这两个单项式是同类项。
根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可得：
$m-2=4$，解得$m=6$；
$n+7=4$，解得$n=-3$。
所以$m-n=6 - (-3)=9$。
解析
【分析】
首先要明确：若两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式可以合并，即二者是同类项。再根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可分别列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后代入m-n计算即可得到结果。
【解析】
∵ 单项式$a^{m-2}b^{n+7}$与$-3a^4b^4$的和仍是一个单项式
∴ 这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可得：
$m-2=4$，解得$m=6$
$n+7=4$，解得$n=-3$
将$m=6$，$n=-3$代入$m-n$得：
$m-n=6 - (-3)=6+3=9$
【答案】
9
【知识点】
同类项的概念；整式的加法；代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题，解题的关键是理解“两个单项式的和仍为单项式”等价于两个单项式为同类项，熟练掌握同类项的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先要明确：若两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式可以合并，即二者是同类项。再根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可分别列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后代入m-n计算即可得到结果。
【解析】
∵ 单项式$a^{m-2}b^{n+7}$与$-3a^4b^4$的和仍是一个单项式
∴ 这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可得：
$m-2=4$，解得$m=6$
$n+7=4$，解得$n=-3$
将$m=6$，$n=-3$代入$m-n$得：
$m-n=6 - (-3)=6+3=9$
【答案】
9
【知识点】
同类项的概念；整式的加法；代数式求值
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题，解题的关键是理解“两个单项式的和仍为单项式”等价于两个单项式为同类项，熟练掌握同类项的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
