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7.如图，点A在直线$y=x$上，$AB⊥x$轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）第一象限的图象上，连接AD。若$OA^2 - AD^2 = 30$，则k的值为
$15$
。答案
7.15
解析
【分析】
解题时先利用点A在直线$y=x$上的特征，设A点坐标为$(a,a)$，再设正方形ACDE的边长为$t$，结合正方形性质表示出D点坐标；接着用含$a、t$的式子分别表示$OA^2$和$AD^2$，结合已知$OA^2-AD^2=30$求出$a^2-t^2$的值；最后根据反比例函数上点的坐标特征，$k$等于D点横纵坐标的乘积，用平方差公式即可求出$k$的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,a)$，正方形ACDE的边长为$t$。
∵ 点A在直线$y=x$上，$AB⊥x$轴，
∴ $OB=AB=a$，由勾股定理得：$OA^2=a^2+a^2=2a^2$。
∵ 四边形ACDE是正方形，边长为$t$，
∴ 点D的横坐标为$a+t$，纵坐标为$a-t$，即$D(a+t,a-t)$。
由A、D坐标计算$AD^2$：横坐标差为$t$，纵坐标差为$-t$，
∴ $AD^2=t^2+(-t)^2=2t^2$。
将$OA^2、AD^2$代入已知条件$OA^2-AD^2=30$得：
$2a^2-2t^2=30$，化简得$a^2-t^2=15$。
∵ 点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=x_D· y_D=(a+t)(a-t)=a^2-t^2=15$。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，平方差公式
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与几何图形的综合题，通过设参数表示坐标，结合代数运算求解，较好地考查了数形结合思想的应用，解题的关键是找到参数之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
解题时先利用点A在直线$y=x$上的特征，设A点坐标为$(a,a)$，再设正方形ACDE的边长为$t$，结合正方形性质表示出D点坐标；接着用含$a、t$的式子分别表示$OA^2$和$AD^2$，结合已知$OA^2-AD^2=30$求出$a^2-t^2$的值；最后根据反比例函数上点的坐标特征，$k$等于D点横纵坐标的乘积，用平方差公式即可求出$k$的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,a)$，正方形ACDE的边长为$t$。
∵ 点A在直线$y=x$上，$AB⊥x$轴，
∴ $OB=AB=a$，由勾股定理得：$OA^2=a^2+a^2=2a^2$。
∵ 四边形ACDE是正方形，边长为$t$，
∴ 点D的横坐标为$a+t$，纵坐标为$a-t$，即$D(a+t,a-t)$。
由A、D坐标计算$AD^2$：横坐标差为$t$，纵坐标差为$-t$，
∴ $AD^2=t^2+(-t)^2=2t^2$。
将$OA^2、AD^2$代入已知条件$OA^2-AD^2=30$得：
$2a^2-2t^2=30$，化简得$a^2-t^2=15$。
∵ 点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=x_D· y_D=(a+t)(a-t)=a^2-t^2=15$。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，平方差公式
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与几何图形的综合题，通过设参数表示坐标，结合代数运算求解，较好地考查了数形结合思想的应用，解题的关键是找到参数之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
8. 如图，函数$y=\frac{k}{x}$的图象与函数$y=-2x+8$的图象交于点$A(1,a),B(b,2)$.
(1)求函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式$\frac{k}{x}＜-2x+8$的解集；
(3)若$P$是$y$轴上的动点，当$△ ABP$的周长最小时，求点$P$的坐标.
(1)求函数$y=\frac{k}{x}$的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式$\frac{k}{x}＜-2x+8$的解集；
(3)若$P$是$y$轴上的动点，当$△ ABP$的周长最小时，求点$P$的坐标.
答案
8. 解:(1)$∵$直线$y=-2x+8$过点$A(1,a),B(b,2)$，
$∴a=-2+8,2=-2b+8$，
$∴a=6,b=3$，$∴A(1,6),B(3,2)$.
$∵$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$过点$A$，$∴k=1×6=6$，
$∴$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)不等式$\dfrac{k}{x}＜-2x+8$的解集为$1＜x＜3$或$x＜0$.
(3)如答图，作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，则$C(-1,6)$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，连接$PA$，则此时$△ABP$的周长最小.
设直线$BC$的函数表达式为$y=mx+n$，则$\begin{cases}3m+n=2,\\-m+n=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$$∴$直线$BC$的函数表达式为$y=-x+5$.
在$y=-x+5$中，当$x=0$时，$y=5$，故点$P$的坐标为$(0,5)$.
解析
【分析】
(1) 要确定反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式，需先求出$k$值。已知点$A(1,a)$在一次函数$y=-2x+8$上，先将$A$点横坐标代入一次函数求出$a$，得到$A$点完整坐标，再代入反比例函数即可求出$k$，也可通过$B$点坐标验证结果。
(2) 不等式$\frac{k}{x}＜-2x+8$的几何意义是相同$x$值下，反比例函数图象位于一次函数图象下方对应的$x$取值范围。观察图象分两部分分析：$x＜0$时反比例函数在第三象限，始终在位于第二象限的一次函数下方；$x＞0$时，两函数交点为$A、B$，两交点之间的区间满足反比例图象在下方，合并两部分范围即可。
(3) $△ ABP$的周长为$AB+PA+PB$，$AB$长度固定，因此只需让$PA+PB$最小即可。这是典型的轴对称最短路径问题：作$A$关于$y$轴的对称点$C$，根据轴对称性质$PA=PC$，则$PA+PB=PC+PB$，当$C、P、B$三点共线时$PC+PB$最小。求出直线$BC$的解析式，再求它与$y$轴的交点就是$P$点坐标。
【解析】
(1) $\because$直线$y=-2x+8$过点$A(1,a),B(b,2)$，
$\therefore a=-2×1+8=6$，$2=-2b+8$，解得$b=3$，
$\therefore A(1,6),B(3,2)$。
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$A(1,6)$，
$\therefore k=1×6=6$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 观察图象可得：$x＜0$时，反比例函数在第三象限，满足$\frac{6}{x}＜-2x+8$；$1＜x＜3$时，反比例函数图象在一次函数下方，满足不等式，因此解集为$1＜x＜3$或$x＜0$。
(3) 作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，则$C(-1,6)$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，此时$PA=PC$，$PA+PB=BC$最小，$△ ABP$周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，代入$B(3,2)、C(-1,6)$得：
$\begin{cases}3m+n=2\\-m+n=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线$BC$解析式为$y=-x+5$。
令$x=0$，得$y=5$，故$P$点坐标为$(0,5)$。
【答案】
8. 解:(1)$∵$直线$y=-2x+8$过点$A(1,a),B(b,2)$，
$∴a=-2+8,2=-2b+8$，
$∴a=6,b=3$，$∴A(1,6),B(3,2)$.
$∵$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$过点$A$，$∴k=1×6=6$，
$∴$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)不等式$\dfrac{k}{x}＜-2x+8$的解集为$1＜x＜3$或$x＜0$.
(3)如答图，作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，则$C(-1,6)$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，连接$PA$，则此时$△ABP$的周长最小.
设直线$BC$的函数表达式为$y=mx+n$，则$\begin{cases}3m+n=2,\\-m+n=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$$∴$直线$BC$的函数表达式为$y=-x+5$.
在$y=-x+5$中，当$x=0$时，$y=5$，故点$P$的坐标为$(0,5)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象与不等式，轴对称最短路径
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了数形结合思想的应用，既涉及基础的解析式求解、图象解不等式的内容，也结合了最短路径的常见考点，解题时要注意不要遗漏$x＜0$的解集范围。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式，需先求出$k$值。已知点$A(1,a)$在一次函数$y=-2x+8$上，先将$A$点横坐标代入一次函数求出$a$，得到$A$点完整坐标，再代入反比例函数即可求出$k$，也可通过$B$点坐标验证结果。
(2) 不等式$\frac{k}{x}＜-2x+8$的几何意义是相同$x$值下，反比例函数图象位于一次函数图象下方对应的$x$取值范围。观察图象分两部分分析：$x＜0$时反比例函数在第三象限，始终在位于第二象限的一次函数下方；$x＞0$时，两函数交点为$A、B$，两交点之间的区间满足反比例图象在下方，合并两部分范围即可。
(3) $△ ABP$的周长为$AB+PA+PB$，$AB$长度固定，因此只需让$PA+PB$最小即可。这是典型的轴对称最短路径问题：作$A$关于$y$轴的对称点$C$，根据轴对称性质$PA=PC$，则$PA+PB=PC+PB$，当$C、P、B$三点共线时$PC+PB$最小。求出直线$BC$的解析式，再求它与$y$轴的交点就是$P$点坐标。
【解析】
(1) $\because$直线$y=-2x+8$过点$A(1,a),B(b,2)$，
$\therefore a=-2×1+8=6$，$2=-2b+8$，解得$b=3$，
$\therefore A(1,6),B(3,2)$。
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$A(1,6)$，
$\therefore k=1×6=6$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 观察图象可得：$x＜0$时，反比例函数在第三象限，满足$\frac{6}{x}＜-2x+8$；$1＜x＜3$时，反比例函数图象在一次函数下方，满足不等式，因此解集为$1＜x＜3$或$x＜0$。
(3) 作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，则$C(-1,6)$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，此时$PA=PC$，$PA+PB=BC$最小，$△ ABP$周长最小。
设直线$BC$的解析式为$y=mx+n$，代入$B(3,2)、C(-1,6)$得：
$\begin{cases}3m+n=2\\-m+n=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线$BC$解析式为$y=-x+5$。
令$x=0$，得$y=5$，故$P$点坐标为$(0,5)$。
【答案】
8. 解:(1)$∵$直线$y=-2x+8$过点$A(1,a),B(b,2)$，
$∴a=-2+8,2=-2b+8$，
$∴a=6,b=3$，$∴A(1,6),B(3,2)$.
$∵$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$过点$A$，$∴k=1×6=6$，
$∴$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)不等式$\dfrac{k}{x}＜-2x+8$的解集为$1＜x＜3$或$x＜0$.
(3)如答图，作点$A$关于$y$轴的对称点$C$，则$C(-1,6)$，连接$BC$交$y$轴于点$P$，连接$PA$，则此时$△ABP$的周长最小.
设直线$BC$的函数表达式为$y=mx+n$，则$\begin{cases}3m+n=2,\\-m+n=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$$∴$直线$BC$的函数表达式为$y=-x+5$.
在$y=-x+5$中，当$x=0$时，$y=5$，故点$P$的坐标为$(0,5)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象与不等式，轴对称最短路径
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了数形结合思想的应用，既涉及基础的解析式求解、图象解不等式的内容，也结合了最短路径的常见考点，解题时要注意不要遗漏$x＜0$的解集范围。
【难度系数】
0.7
