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1. 如图29－2－1，在$\odot O$中，AB是直径，CD是弦，$AB⊥ CD$于点M，则下列四个结论：①$CM=DM$；②$AC=AD$；③$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$；④$∠ C=∠ D$. 其中成立的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.D
解析
【分析】
看到题干中“AB是直径，AB⊥CD”的条件，首先联想到垂径定理，我们可以先利用垂径定理得到弦的等量关系、弧的等量关系，再结合弧、弦、圆周角之间的对应相等关系，逐个判断4个结论是否成立即可。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
1. 可得$CM=DM$，故结论①成立；
2. 同时直径AB平分弦CD所对的弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故结论③成立；
3. 同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$可得$AC=AD$，故结论②成立；
4. 由$AC=AD$可知$△ ACD$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ C=∠ D$（也可根据同圆中相等的弧对应的圆周角相等，$∠ C$对应$\overset{\frown}{AD}$，$∠ D$对应$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，故$∠ C=∠ D$），结论④成立。
综上，4个结论都成立，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，核心考查垂径定理的理解与应用，只要熟练掌握垂径定理及同圆中弧、弦、角的等量对应关系，就能快速判断所有结论。
【难度系数】
0.9
看到题干中“AB是直径，AB⊥CD”的条件，首先联想到垂径定理，我们可以先利用垂径定理得到弦的等量关系、弧的等量关系，再结合弧、弦、圆周角之间的对应相等关系，逐个判断4个结论是否成立即可。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
1. 可得$CM=DM$，故结论①成立；
2. 同时直径AB平分弦CD所对的弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故结论③成立；
3. 同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$可得$AC=AD$，故结论②成立；
4. 由$AC=AD$可知$△ ACD$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ C=∠ D$（也可根据同圆中相等的弧对应的圆周角相等，$∠ C$对应$\overset{\frown}{AD}$，$∠ D$对应$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，故$∠ C=∠ D$），结论④成立。
综上，4个结论都成立，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，核心考查垂径定理的理解与应用，只要熟练掌握垂径定理及同圆中弧、弦、角的等量对应关系，就能快速判断所有结论。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\odot O$的半径为5 cm，A为$\odot O$内一点，$AO=3$ cm，那么过点A最短的弦的长为(
A.4 cm
B.$\sqrt{34}$ cm
C.8 cm
D.$5\sqrt{2}$ cm
C
)A.4 cm
B.$\sqrt{34}$ cm
C.8 cm
D.$5\sqrt{2}$ cm
答案
2.C 点拨:过 A 点最短的弦即为与 OA 垂直的弦.
解析
【分析】要解决过圆内一点的最短弦长问题，首先明确圆的弦长与圆心到弦的距离的关系：弦长=2√(R²-d²)（R为圆的半径，d为圆心到弦的距离）。本题中半径R固定为5cm，因此要使弦长最短，需让圆心到弦的距离d最大。根据垂线段最短的性质，当弦与OA垂直时，圆心O到弦的距离d等于OA的长度3cm，此时d取最大值，对应的弦就是过点A的最短弦，再结合垂径定理和勾股定理计算弦长即可。
【解析】设过点A且与OA垂直的弦为BC，OA⊥BC于点A，连接OB。
根据垂径定理可得：A为BC的中点，即BC=2AB。
在Rt△OAB中，OB为⊙O的半径，OB=5cm，OA=3cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
则$BC=2AB=2×4=8\mathrm{cm}$，即过点A最短的弦长为8cm。
【答案】C
【知识点】垂径定理；勾股定理；圆的弦长性质
【点评】本题是圆的弦长相关的基础题，解题的核心是掌握“过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直”这一性质，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】0.7
【解析】设过点A且与OA垂直的弦为BC，OA⊥BC于点A，连接OB。
根据垂径定理可得：A为BC的中点，即BC=2AB。
在Rt△OAB中，OB为⊙O的半径，OB=5cm，OA=3cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
则$BC=2AB=2×4=8\mathrm{cm}$，即过点A最短的弦长为8cm。
【答案】C
【知识点】垂径定理；勾股定理；圆的弦长性质
【点评】本题是圆的弦长相关的基础题，解题的核心是掌握“过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直”这一性质，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】0.7
3. 如图29－2－2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若AB＝10 cm，CD＝6 cm，则AC的长为(
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
图29－2－1
图29－2－2
图29－2－3
图29－2－4
图29－2－5
D
)A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
图29－2－1
图29－2－2
图29－2－3
图29－2－4
图29－2－5
答案
3.D
解析
【分析】
遇到圆中弦长相关的计算问题，优先考虑使用垂径定理求解，常用辅助线是过圆心作弦的垂线。本题中我们可以过O作AB的垂线，利用垂径定理分别得到AB、CD的一半长度，再通过线段的差计算出AC的长度。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AE = EB = \frac{1}{2}AB$，$CE = ED = \frac{1}{2}CD$。
已知$AB=10\mathrm{cm}$，$CD=6\mathrm{cm}$，代入得：
$AE = \frac{1}{2} × 10 = 5\mathrm{cm}$，$CE = \frac{1}{2} × 6 = 3\mathrm{cm}$。
所以$AC = AE - CE = 5 - 3 = 2\mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，作垂直于弦的垂线是圆中这类问题的经典辅助线，熟练掌握垂径定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
遇到圆中弦长相关的计算问题，优先考虑使用垂径定理求解，常用辅助线是过圆心作弦的垂线。本题中我们可以过O作AB的垂线，利用垂径定理分别得到AB、CD的一半长度，再通过线段的差计算出AC的长度。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AE = EB = \frac{1}{2}AB$，$CE = ED = \frac{1}{2}CD$。
已知$AB=10\mathrm{cm}$，$CD=6\mathrm{cm}$，代入得：
$AE = \frac{1}{2} × 10 = 5\mathrm{cm}$，$CE = \frac{1}{2} × 6 = 3\mathrm{cm}$。
所以$AC = AE - CE = 5 - 3 = 2\mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂径定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，作垂直于弦的垂线是圆中这类问题的经典辅助线，熟练掌握垂径定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.如图29－2－3，矩形ABCD与$\odot O$相交于M，N，F，E四点，若$AM=2$，$DE=1$，$EF=8$，则MN的长为(
A.2
B.4
C.6
D.8
C
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
4.C 点拨:连接 OE,OF,OM,ON,过 O 作$OH⊥AB$于 H,交 CD 于 G. $\therefore EG=\frac{1}{2}EF=4$,四边形 AHGD 为矩形,$AH=DG=5$,$\therefore MH=3$,$\therefore MN=2MH=6$.
解析
【分析】
本题是圆与矩形结合的求弦长问题，解题核心是运用垂径定理。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此要求弦MN的长，可过圆心作AB的垂线，既能平分MN，又因为矩形对边平行，这条垂线也垂直于CD，可同时平分弦EF。再结合矩形对边相等的性质，通过已知线段长度算出MN的半长，进而求出MN总长。
【解析】
解：连接OE、OF、OM、ON，过O作$OH⊥AB$于H，交CD于点G。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB//CD$，
又
∵ $OH⊥AB$，
∴ $OG⊥CD$。
根据垂径定理，得：$EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∵ $DE=1$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ $∠A=∠D=∠AHG=90°$，
∴ 四边形AHGD是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
已知$AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又
∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得$MH=NH$，
∴ $MN=2MH=2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与几何图形结合的常规题型，解题的关键是合理构造垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和矩形的边的等量关系进行计算，熟练掌握垂径定理是解决这类弦长问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是圆与矩形结合的求弦长问题，解题核心是运用垂径定理。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此要求弦MN的长，可过圆心作AB的垂线，既能平分MN，又因为矩形对边平行，这条垂线也垂直于CD，可同时平分弦EF。再结合矩形对边相等的性质，通过已知线段长度算出MN的半长，进而求出MN总长。
【解析】
解：连接OE、OF、OM、ON，过O作$OH⊥AB$于H，交CD于点G。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB//CD$，
又
∵ $OH⊥AB$，
∴ $OG⊥CD$。
根据垂径定理，得：$EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×8=4$，
∵ $DE=1$，
∴ $DG=DE+EG=1+4=5$。
∵ $∠A=∠D=∠AHG=90°$，
∴ 四边形AHGD是矩形，
∴ $AH=DG=5$。
已知$AM=2$，
∴ $MH=AH-AM=5-2=3$。
又
∵ $OH⊥MN$，由垂径定理得$MH=NH$，
∴ $MN=2MH=2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与几何图形结合的常规题型，解题的关键是合理构造垂直于弦的辅助线，结合垂径定理和矩形的边的等量关系进行计算，熟练掌握垂径定理是解决这类弦长问题的基础。
【难度系数】
0.7
5.如图29－2－4，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(
A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{5}$ cm
C
)A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{5}$ cm
答案
5.C 点拨:根据垂径定理,$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,所以 $AB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
遇到圆的折叠类问题，首先结合折叠的对称性分析线段关系：折叠后圆弧过圆心，说明圆心到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来可过圆心作AB的垂线，结合垂径定理可知垂足是AB的中点，再连接半径构造直角三角形，利用勾股定理即可求出半弦长，进而得到AB的总长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，圆心O到折痕AB的距离OC为半径的一半，
∵圆形纸片半径为2cm，
∴OA=2cm，OC=$\frac{1}{2}$×2=1cm。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$（cm）
∴$AB=2AC=2\sqrt{3}$ cm。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、折叠的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的关键是结合折叠性质找到圆心到折痕的距离，通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理计算弦长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的折叠类问题，首先结合折叠的对称性分析线段关系：折叠后圆弧过圆心，说明圆心到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来可过圆心作AB的垂线，结合垂径定理可知垂足是AB的中点，再连接半径构造直角三角形，利用勾股定理即可求出半弦长，进而得到AB的总长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，圆心O到折痕AB的距离OC为半径的一半，
∵圆形纸片半径为2cm，
∴OA=2cm，OC=$\frac{1}{2}$×2=1cm。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$（cm）
∴$AB=2AC=2\sqrt{3}$ cm。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、折叠的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的关键是结合折叠性质找到圆心到折痕的距离，通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理计算弦长，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.【数学文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图29－2－5，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径CD的长为
26
寸。答案
6.26
解析
【分析】
遇到圆中直径垂直弦的问题，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此可先求出弦AB的一半AE的长度。要求直径CD，可设圆的半径为r寸，那么半径OA=r，弦心距OE=OC-CE=r-1，Rt△OAE满足勾股定理，代入已知长度列方程求出半径，即可得到直径长度。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=10$寸
根据垂径定理，得$AE=\frac{1}{2}AB=5$寸
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸
∵$CE=1$寸，
∴$OE=OC-CE=(r-1)$寸
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$
即 $r^2=(r-1)^2+5^2$
展开得 $r^2=r^2-2r+1+25$
移项化简得 $2r=26$
解得 $r=13$
∴直径$CD=2r=26$寸
【答案】
26
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题关键是利用垂径定理得到半弦长，结合半径、弦心距构造直角三角形，通过列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆中直径垂直弦的问题，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，由此可先求出弦AB的一半AE的长度。要求直径CD，可设圆的半径为r寸，那么半径OA=r，弦心距OE=OC-CE=r-1，Rt△OAE满足勾股定理，代入已知长度列方程求出半径，即可得到直径长度。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=10$寸
根据垂径定理，得$AE=\frac{1}{2}AB=5$寸
设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸
∵$CE=1$寸，
∴$OE=OC-CE=(r-1)$寸
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$
即 $r^2=(r-1)^2+5^2$
展开得 $r^2=r^2-2r+1+25$
移项化简得 $2r=26$
解得 $r=13$
∴直径$CD=2r=26$寸
【答案】
26
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题关键是利用垂径定理得到半弦长，结合半径、弦心距构造直角三角形，通过列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
7. 如图29－2－6，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD交于点E，OF⊥CD，垂足为F，OF＝3 cm，∠EOF＝45°，FD＝4 cm，则DC＝
8
cm，OE＝$3\sqrt{2}$
cm，EB＝$5-3\sqrt{2}$
cm，AE＝$5+3\sqrt{2}$
cm。答案
7. $8\ \ \ 3\sqrt{2}\ \ \ (5-3\sqrt{2})\ \ \ (5+3\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可直接得出CD的长度是FD的2倍；②观察Rt△OFE，已知∠EOF=45°且∠OFE=90°，可知该三角形为等腰直角三角形，结合已知OF的长度，利用勾股定理即可求出OE的长度；③连接半径OD，在Rt△ODF中用勾股定理求出圆的半径，再结合半径与OE的长度差、和分别计算EB、AE的长度即可。
【解析】
1. 求DC的长度：
∵OF⊥CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴F为CD的中点，即DC=2FD，
已知FD=4cm，
∴DC=2×4=8cm。
2. 求OE的长度：
在Rt△OFE中，∠OFE=90°，∠EOF=45°，
∴∠OEF=90°-45°=45°，即△OFE为等腰直角三角形，
∴EF=OF=3cm，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 求EB和AE的长度：
连接OD，OD为⊙O的半径，
在Rt△ODF中，OF=3cm，FD=4cm，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OF^2+FD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$，
∴⊙O的半径为5cm，即OA=OB=5cm，
∴$EB=OB-OE=(5-3\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，
$AE=OA+OE=(5+3\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$8$；$3\sqrt{2}$；$(5-3\sqrt{2})$；$(5+3\sqrt{2})$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题核心是熟练运用垂径定理得到弦的等分关系，再结合勾股定理计算各线段长度，理清线段之间的和差关系是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路逐步推导：①首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可直接得出CD的长度是FD的2倍；②观察Rt△OFE，已知∠EOF=45°且∠OFE=90°，可知该三角形为等腰直角三角形，结合已知OF的长度，利用勾股定理即可求出OE的长度；③连接半径OD，在Rt△ODF中用勾股定理求出圆的半径，再结合半径与OE的长度差、和分别计算EB、AE的长度即可。
【解析】
1. 求DC的长度：
∵OF⊥CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴F为CD的中点，即DC=2FD，
已知FD=4cm，
∴DC=2×4=8cm。
2. 求OE的长度：
在Rt△OFE中，∠OFE=90°，∠EOF=45°，
∴∠OEF=90°-45°=45°，即△OFE为等腰直角三角形，
∴EF=OF=3cm，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 求EB和AE的长度：
连接OD，OD为⊙O的半径，
在Rt△ODF中，OF=3cm，FD=4cm，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OF^2+FD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$，
∴⊙O的半径为5cm，即OA=OB=5cm，
∴$EB=OB-OE=(5-3\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$，
$AE=OA+OE=(5+3\sqrt{2})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$8$；$3\sqrt{2}$；$(5-3\sqrt{2})$；$(5+3\sqrt{2})$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题核心是熟练运用垂径定理得到弦的等分关系，再结合勾股定理计算各线段长度，理清线段之间的和差关系是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7
