4.小明在用反证法证明“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤：①又因为∠A＞0°，所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④由AB=AC，得∠B=∠C，所以∠C≥90°。
请写出这四个步骤正确的顺序：.(填序号)

4.③④①②

【分析】
要确定反证法的步骤顺序，首先回忆反证法的基本逻辑：第一步先反设，即假设原结论不成立；第二步从假设出发，结合已知条件推导，引出和定理、公理等矛盾的结果；第三步根据矛盾判定假设错误，从而得到原结论成立。按照这个逻辑梳理四个步骤即可：首先找反设的步骤，再找用已知条件推导的步骤，接着找矛盾的步骤，最后是得结论的步骤。
【解析】
反证法的正确流程如下：
1. 反设：首先假设原结论“∠B＜90°”不成立，即③假设∠B≥90°；
2. 推导：结合已知条件AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠B=∠C，因此可得④∠C≥90°；
3. 推谬：由∠B≥90°、∠C≥90°，可知∠B+∠C≥180°，又因为∠A＞0°，所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，对应步骤①；
4. 结论：矛盾说明假设不成立，因此原结论成立，对应②所以∠B＜90°。
因此四个步骤的正确顺序为③④①②。
【答案】
③④①②
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查反证法的操作步骤，解题的关键是熟记反证法的三步逻辑，同时结合等腰三角形、三角形内角和的基础知识点进行推导即可，属于基础类的题型。
【难度系数】
0.8

5.用反证法证明下面的问题：
如图29－1－13，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分.

图29－1－13

5.证明:连接DE,假设BD和CE互相平分,则四边形EBCD是平行四边形，
$\therefore BE// CD$,即$AB// AC$.
$\because$在$△ ABC$中,AB与AC相交于点A,
$\therefore AB$不可能平行于AC,与已知矛盾,
$\therefore$假设不成立,原命题正确,
即BD和CE不可能互相平分.

【分析】
本题采用反证法证明，反证法的核心步骤为：第一步反设，即假设命题的结论不成立；第二步推谬，从假设出发结合几何定理推导，得出和已知条件、公理定理矛盾的结论；第三步否定假设，证明原命题成立。解题时先假设BD和CE互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得四边形EBCD是平行四边形，进而推出AB//AC，这与△ABC中AB、AC交于点A的事实矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，
$\therefore BE// CD$，即$AB// AC$。
$\because$在$△ ABC$中，AB与AC相交于点A，
$\therefore AB$不可能平行于AC，与已知矛盾，
$\therefore$假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【答案】
证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，
$\therefore BE// CD$，即$AB// AC$。
$\because$在$△ ABC$中，AB与AC相交于点A，
$\therefore AB$不可能平行于AC，与已知矛盾，
$\therefore$假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质；三角形的定义
【点评】
本题重点考查反证法在几何证明中的应用，解题关键是准确作出反设，结合已学几何性质合理推导矛盾，熟练掌握反证法的解题步骤和常见几何图形的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

1. 如图29－1－14，$\overset{\frown}{AB}$是一条公路的转弯处的一段圆弧.
(1)用直尺和圆规作出$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若$\overset{\frown}{AB}$的中点C到线段AB的距离为10，AB＝60，求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径.

1.解:(1)如答图29－1－1,点O即为所求.
(2)如答图29－1－1,
连接OA,OC,OC交AB于点D.
$\because$点O是$△ ABC$的外心,
$\therefore OC$垂直平分AB,
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=30$.
设$\odot O$的半径为r,
则$OA=r$,$OD=OC-CD=r-10$.
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,$\because OA^2=OD^2+AD^2$,
$\therefore r^2=(r-10)^2+30^2$,解得$r=50$.
即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径是50.

【分析】
(1) 要确定$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，根据圆心到圆上任意点距离相等的性质，圆心在任意两条弦的垂直平分线上，因此只需作出$\overset{\frown}{AB}$上两条弦的垂直平分线，两条线的交点就是圆心$O$。
(2) 求圆弧半径可结合垂径定理构造直角三角形求解：弧中点与圆心的连线垂直平分弦$AB$，连接$OA$、$OC$后，$OC$与$AB$的交点$D$是$AB$中点，可得到$AD$的长度；设半径为$r$，将直角三角形三边用含$r$的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 作图如答图所示，点$O$即为所求圆心。
(2) 连接$OA$，$OC$，$OC$交$AB$于点$D$。
∵ $C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$O$是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，
∴ $OC$垂直平分$AB$，
∴ $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，由题知$CD=10$，因此$OD=OC-CD=r-10$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，根据勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入得：$r^2=(r-10)^2+30^2$，
展开计算：$r^2=r^2-20r+100+900$，
化简得$20r=1000$，解得$r=50$。
【答案】
(1) 如答图29－1－1,点O即为所求.
(2) $\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径是50。
【知识点】
1. 确定圆弧圆心的方法
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题结合公路转弯的实际场景，考查尺规作图能力和圆相关定理的应用，解题核心是利用垂径定理将已知条件转化到直角三角形中，通过方程思想求解半径，是圆的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7

2.“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案. 图29－1－15①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈. 图29－1－15②为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.

(1)若将图29－1－15②中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图29－1－15②中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹，不写作法)

2.解:(1)七
(2)如答图29－1－2.

【分析】
(1) 解题思路：连弧纹镜的核心特征是所有连弧为等弧，即连弧的端点会将外圆周分成n等份，n就是连弧的总数量。观察残件图案，先数出已有的完整等弧数量，再统计缺口处缺失的等弧数量，二者相加就能得到总连弧数。
(2) 作图思路：要补全图案，首先需要确定残件外圆的圆心：根据垂径定理，圆内任意两条不平行弦的垂直平分线交点就是圆心，找到圆心后先补全整个外圆；再利用同圆中等弧对应等弦的性质，用圆规量取现有相邻等分点的弦长，在外圆上依次截取得到所有等分点，最后按照已有弧的绘制规则画出残缺的弧即可。
【解析】
(1) 观察图②的残件，可识别出已有完整等弧共5个，左右两个缺口处各缺失1个等弧，总连弧数为5+2=7，因此该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图步骤：①取残件外圆弧上两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外圆的圆心O；②以O为圆心，O到外圆弧上任意一点的距离为半径作圆，补全外圆周；③用圆规量取现有相邻两个弧端点的弦长，在外圆的残缺部分依次截取相等弦长，得到全部7个等分点；④参照已有弧的画法，以各等分点为圆心，对应长度为半径绘制出残缺的弧，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 七
(2) 如答图29－1－2.
【知识点】
垂径定理应用；等弧与等弦的关系；尺规作图
【点评】
本题以古代连弧纹镜为背景，将圆的性质与实际应用结合，既考查了圆的基本性质和尺规作图的基础技能，又渗透了数学的传统文化内涵，需要学生具备一定的观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.6