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1. 某公司今年5月产值达到2 500万元。设该公司6,7两个月产值的月平均增长率为$x$,7月产值为$y$万元,可列出的函数式为(
A.$y=2\,500(1+x)^2$
B.$y=2\,500(1-x)^2$
C.$y=2\,500(1-2x)^2$
D.$y=2\,500(1+2x)^2$
A
)。A.$y=2\,500(1+x)^2$
B.$y=2\,500(1-x)^2$
C.$y=2\,500(1-2x)^2$
D.$y=2\,500(1+2x)^2$
答案
A
解析
【分析】
这是平均增长率类的函数解析式列写问题，解题思路如下：首先明确基数是5月的产值2500万元，月平均增长率为x，第一步先计算6月的产值：6月产值是在5月产值的基础上增长x，即等于5月产值乘(1+x)；第二步计算7月的产值：7月产值是在6月产值的基础上再增长x，因此等于6月产值乘(1+x)，代入整理即可得到y关于x的函数式。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月平均增长率为x：
1. 计算6月产值：6月产值 = 5月产值×(1+增长率) = $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算7月产值：7月产值 = 6月产值×(1+增长率) = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$，即$y=2500(1+x)^2$。
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，核心要明确每期增长都是在上一期的产值基础上计算，不要错误将两个月的总增长率当成2x，掌握逐期推算的逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的函数解析式列写问题，解题思路如下：首先明确基数是5月的产值2500万元，月平均增长率为x，第一步先计算6月的产值：6月产值是在5月产值的基础上增长x，即等于5月产值乘(1+x)；第二步计算7月的产值：7月产值是在6月产值的基础上再增长x，因此等于6月产值乘(1+x)，代入整理即可得到y关于x的函数式。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月平均增长率为x：
1. 计算6月产值：6月产值 = 5月产值×(1+增长率) = $2500(1+x)$ 万元；
2. 计算7月产值：7月产值 = 6月产值×(1+增长率) = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$，即$y=2500(1+x)^2$。
因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础常考题，核心要明确每期增长都是在上一期的产值基础上计算，不要错误将两个月的总增长率当成2x，掌握逐期推算的逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 两个正数的和为12。设其中一个正数为$ x $，则两个正数的积$ S = $
$-x^2+12x$
（用含$ x $的代数式表示）。$ S $的最大值是36
。答案
$-x^2+12x,36$
解析
【分析】
首先，已知两个正数的和为12，其中一个数为x，可推出另一个正数的表达式为12-x，根据两数之积的计算关系就能列出S关于x的代数式；得到的代数式是开口向下的二次函数，在顶点处可取得最大值，用配方法或者二次函数顶点坐标公式即可求出最大值。
【解析】
1. 推导积的代数式
已知两个正数的和为12，其中一个正数为x，则另一个正数为$12-x$（$0＜x＜12$），因此两数的积为：
$S = x(12-x) = -x^2 + 12x$
2. 求S的最大值
对S进行配方变形：
$S = -x^2 + 12x = -(x^2 - 12x) = -(x^2 -12x + 36 - 36) = -(x-6)^2 + 36$
因为$(x-6)^2 ≥ 0$，所以$-(x-6)^2 ≤ 0$，当且仅当$x=6$时，$-(x-6)^2=0$，此时S取得最大值36。
【答案】
$-x^2+12x$；$36$
【知识点】
列代数式；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是先根据题意建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先，已知两个正数的和为12，其中一个数为x，可推出另一个正数的表达式为12-x，根据两数之积的计算关系就能列出S关于x的代数式；得到的代数式是开口向下的二次函数，在顶点处可取得最大值，用配方法或者二次函数顶点坐标公式即可求出最大值。
【解析】
1. 推导积的代数式
已知两个正数的和为12，其中一个正数为x，则另一个正数为$12-x$（$0＜x＜12$），因此两数的积为：
$S = x(12-x) = -x^2 + 12x$
2. 求S的最大值
对S进行配方变形：
$S = -x^2 + 12x = -(x^2 - 12x) = -(x^2 -12x + 36 - 36) = -(x-6)^2 + 36$
因为$(x-6)^2 ≥ 0$，所以$-(x-6)^2 ≤ 0$，当且仅当$x=6$时，$-(x-6)^2=0$，此时S取得最大值36。
【答案】
$-x^2+12x$；$36$
【知识点】
列代数式；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是先根据题意建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 求二次函数$y=-2x^2+8x-5$的最大值(或最小值)和对应自变量的值。
答案
当$x=2$时,$y_{最大}=3$。
解析
【分析】
首先明确二次函数的最值规律：二次项系数a＞0时抛物线开口向上，函数有最小值；a＜0时抛物线开口向下，函数有最大值。解题时先通过a的正负判断最值类型，再用配方法将函数化为顶点式，或用顶点坐标公式求出顶点横坐标，代入解析式即可算出对应最值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+8x-5\\&=-2(x^2-4x)-5\\&=-2(x^2-4x+4-4)-5\\&=-2[(x-2)^2-4]-5\\&=-2(x-2)^2+3\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数存在最大值。
当$x=2$时，y取最大值，最大值为3。
方法二（顶点坐标公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应函数值即为最值。
本题中$a=-2,b=8,c=-5$，
∴顶点横坐标$x=-\frac{8}{2×(-2)}=2$，
代入解析式得：$y=-2×2^2+8×2-5=3$，
∵$a＜0$，
∴该值为函数最大值。
【答案】
当$x=2$时,$y_{最大}=3$。
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，重点考查二次项系数与开口方向、最值类型的关系，以及顶点坐标的计算方法，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数的最值规律：二次项系数a＞0时抛物线开口向上，函数有最小值；a＜0时抛物线开口向下，函数有最大值。解题时先通过a的正负判断最值类型，再用配方法将函数化为顶点式，或用顶点坐标公式求出顶点横坐标，代入解析式即可算出对应最值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+8x-5\\&=-2(x^2-4x)-5\\&=-2(x^2-4x+4-4)-5\\&=-2[(x-2)^2-4]-5\\&=-2(x-2)^2+3\end{aligned}$
∵二次项系数$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，函数存在最大值。
当$x=2$时，y取最大值，最大值为3。
方法二（顶点坐标公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，对应函数值即为最值。
本题中$a=-2,b=8,c=-5$，
∴顶点横坐标$x=-\frac{8}{2×(-2)}=2$，
代入解析式得：$y=-2×2^2+8×2-5=3$，
∵$a＜0$，
∴该值为函数最大值。
【答案】
当$x=2$时,$y_{最大}=3$。
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，重点考查二次项系数与开口方向、最值类型的关系，以及顶点坐标的计算方法，熟练掌握配方法或顶点公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 画出二次函数$y=2x^2+8x+13(-3≤ x≤0)$的大致图象，并根据图象说出该函数的最大值和最小值。
答案
图略。最大值是13,最小值是5。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：①先将二次函数的一般式配方为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，这是分析二次函数增减性和最值的核心依据；②判断对称轴是否落在给定区间$-3≤x≤0$内；③结合开口方向分析最值：开口向上时，对称轴处取得区间内最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值；④画图时只需描出区间内的顶点、两个端点三个关键点，用平滑曲线连接即可，注意不要绘制区间外的图象。
【解析】
1. 将二次函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2+8x+13\\&=2(x^2+4x)+13\\&=2(x^2+4x+4-4)+13\\&=2(x+2)^2+5\end{aligned}$
可得二次项系数$a=2＞0$，函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,5)$。
2. 对称轴位置判断：$x=-2$在区间$-3≤x≤0$内。
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y=2×(-3+2)^2+5=7$；
当$x=0$时，$y=2×(0+2)^2+5=13$。
4. 最值分析：因函数开口向上，区间内对称轴处函数值最小，得最小值为5；比较两个端点的函数值，13＞7，得最大值为13。
5. 画图方法：建立平面直角坐标系，描出$(-2,5)$、$(-3,7)$、$(0,13)$三个点，用平滑曲线连接三点，仅保留$x$在$-3$到$0$之间的部分即可。
【答案】
图略。最大值是13,最小值是5。
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象性质，定区间最值求解
【点评】
本题重点考查二次函数在闭区间内的最值计算，解题关键是先明确对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数值，切忌忽略区间限制直接将顶点最值当作区间最值。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路思考：①先将二次函数的一般式配方为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，这是分析二次函数增减性和最值的核心依据；②判断对称轴是否落在给定区间$-3≤x≤0$内；③结合开口方向分析最值：开口向上时，对称轴处取得区间内最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值；④画图时只需描出区间内的顶点、两个端点三个关键点，用平滑曲线连接即可，注意不要绘制区间外的图象。
【解析】
1. 将二次函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2+8x+13\\&=2(x^2+4x)+13\\&=2(x^2+4x+4-4)+13\\&=2(x+2)^2+5\end{aligned}$
可得二次项系数$a=2＞0$，函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,5)$。
2. 对称轴位置判断：$x=-2$在区间$-3≤x≤0$内。
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=-3$时，$y=2×(-3+2)^2+5=7$；
当$x=0$时，$y=2×(0+2)^2+5=13$。
4. 最值分析：因函数开口向上，区间内对称轴处函数值最小，得最小值为5；比较两个端点的函数值，13＞7，得最大值为13。
5. 画图方法：建立平面直角坐标系，描出$(-2,5)$、$(-3,7)$、$(0,13)$三个点，用平滑曲线连接三点，仅保留$x$在$-3$到$0$之间的部分即可。
【答案】
图略。最大值是13,最小值是5。
【知识点】
二次函数配方，二次函数图象性质，定区间最值求解
【点评】
本题重点考查二次函数在闭区间内的最值计算，解题关键是先明确对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数值，切忌忽略区间限制直接将顶点最值当作区间最值。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$□ ABCD$ 的周长为80，AB边上的高线 $DE=\frac{1}{2}AD$。设 $AB=x$，$□ ABCD$ 的面积为 $y$，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式及自变量 $x$ 的取值范围。
答案
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x,0＜x＜40$。
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用平行四边形周长公式，求出邻边AD的长度表达式：平行四边形对边相等，周长为2(AB+AD)=80，因此AB+AD=40，已知AB=x，即可得到AD=40-x；②根据题中给出的高DE和AD的关系，求出AB边上的高DE的长度；③根据平行四边形面积=底×高，代入底AB和高DE的表达式，就能推导得到y关于x的函数表达式；④最后根据几何图形边长为正的实际要求，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 平行四边形$ABCD$的周长为80，
∴ $2(AB+AD)=80$，即$AB+AD=40$，
又
∵ $AB=x$，
∴ $AD=40-x$，
∵ $AB$边上的高线$DE=\frac{1}{2}AD$，
∴ $DE=\frac{1}{2}(40-x)=20-\frac{1}{2}x$，
根据平行四边形面积公式：面积=底×高，可得：
$y=AB· DE=x(20-\frac{1}{2}x)=-\frac{1}{2}x^2+20x$，
再求自变量$x$的取值范围：
∵ 平行四边形的边长为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 40-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜40$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x,0＜x＜40$
【知识点】
平行四边形的周长与面积计算；二次函数表达式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查二次函数的实际应用，解题核心是通过周长关系、高与边长的关系表示出平行四边形的高，再结合面积公式推导函数式，需要注意自变量取值范围要符合几何图形的实际意义。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先利用平行四边形周长公式，求出邻边AD的长度表达式：平行四边形对边相等，周长为2(AB+AD)=80，因此AB+AD=40，已知AB=x，即可得到AD=40-x；②根据题中给出的高DE和AD的关系，求出AB边上的高DE的长度；③根据平行四边形面积=底×高，代入底AB和高DE的表达式，就能推导得到y关于x的函数表达式；④最后根据几何图形边长为正的实际要求，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 平行四边形$ABCD$的周长为80，
∴ $2(AB+AD)=80$，即$AB+AD=40$，
又
∵ $AB=x$，
∴ $AD=40-x$，
∵ $AB$边上的高线$DE=\frac{1}{2}AD$，
∴ $DE=\frac{1}{2}(40-x)=20-\frac{1}{2}x$，
根据平行四边形面积公式：面积=底×高，可得：
$y=AB· DE=x(20-\frac{1}{2}x)=-\frac{1}{2}x^2+20x$，
再求自变量$x$的取值范围：
∵ 平行四边形的边长为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 40-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜40$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+20x,0＜x＜40$
【知识点】
平行四边形的周长与面积计算；二次函数表达式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合平行四边形的性质考查二次函数的实际应用，解题核心是通过周长关系、高与边长的关系表示出平行四边形的高，再结合面积公式推导函数式，需要注意自变量取值范围要符合几何图形的实际意义。
【难度系数】
0.7
