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6. 在水分、养料等条件充足的情况下,某植物的生长速度$y$(厘米/天)和光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系。在中高光照强度范围($x≥ 1\ 000$)内,$y$与$x$近似成二次函数关系,其部分图象如图所示。根据图象,下列结论中正确的是(
A.当光照强度大于1 000勒克斯时,该植物的生长速度随光照强度的增大而减小
B.当光照强度为2 000勒克斯时,该植物的生长速度最大
C.当光照强度大于1 000勒克斯时,该植物的生长速度大于0.6厘米/天
D.当该植物的生长速度等于0.4厘米/天时,光照强度为600勒克斯
B
)。A.当光照强度大于1 000勒克斯时,该植物的生长速度随光照强度的增大而减小
B.当光照强度为2 000勒克斯时,该植物的生长速度最大
C.当光照强度大于1 000勒克斯时,该植物的生长速度大于0.6厘米/天
D.当该植物的生长速度等于0.4厘米/天时,光照强度为600勒克斯
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察图象，可得当x=1000和x=3000时，y值均为0.6，根据二次函数的对称性，可求出该二次函数的对称轴；再结合二次函数开口向下的特点，分析其增减性、最值等性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
由图象可知，x≥1000时，y与x的函数关系是开口向下的二次函数，且当x=1000和x=3000时，y=0.6。
根据二次函数的对称性，可得该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$。
逐一分析选项：
A. 当光照强度在1000~2000勒克斯时，生长速度随光照强度增大而增大，当光照强度大于2000勒克斯时，生长速度随光照强度增大而减小，故A错误；
B. 该二次函数开口向下，顶点在对称轴x=2000处，此时y取最大值，即光照强度为2000勒克斯时，植物生长速度最大，故B正确；
C. 当光照强度大于3000勒克斯时，生长速度小于0.6厘米/天，故C错误；
D. 首先x＜1000的函数关系未明确给出，其次x＞2000时也存在一个光照强度使得生长速度为0.4厘米/天，因此生长速度为0.4厘米/天时，光照强度不只有600勒克斯，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查二次函数的图象与性质，解题的核心是利用图象上的对称点求出函数对称轴，再结合开口方向分析函数的增减性和最值，需要注意结合图象的取值范围判断选项描述是否全面、正确。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察图象，可得当x=1000和x=3000时，y值均为0.6，根据二次函数的对称性，可求出该二次函数的对称轴；再结合二次函数开口向下的特点，分析其增减性、最值等性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
由图象可知，x≥1000时，y与x的函数关系是开口向下的二次函数，且当x=1000和x=3000时，y=0.6。
根据二次函数的对称性，可得该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$。
逐一分析选项：
A. 当光照强度在1000~2000勒克斯时，生长速度随光照强度增大而增大，当光照强度大于2000勒克斯时，生长速度随光照强度增大而减小，故A错误；
B. 该二次函数开口向下，顶点在对称轴x=2000处，此时y取最大值，即光照强度为2000勒克斯时，植物生长速度最大，故B正确；
C. 当光照强度大于3000勒克斯时，生长速度小于0.6厘米/天，故C错误；
D. 首先x＜1000的函数关系未明确给出，其次x＞2000时也存在一个光照强度使得生长速度为0.4厘米/天，因此生长速度为0.4厘米/天时，光照强度不只有600勒克斯，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合植物生长的实际场景考查二次函数的图象与性质，解题的核心是利用图象上的对称点求出函数对称轴，再结合开口方向分析函数的增减性和最值，需要注意结合图象的取值范围判断选项描述是否全面、正确。
【难度系数】
0.7
7. 教科书中例2:有一个窗户形状如图①所示,上部是一个半圆,下部是一个矩形。如果制作窗框的材料总长为6 m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这道例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m时,透光面积最大,最大值约为1.05 m²。
如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②),材料总长仍为6 m。利用图②,解答下列问题:
(1) 若AB为1 m,求此时窗户的透光面积。
(2) 与教科书中例2比较,改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值比原先的最大值增加了多少?请通过计算说明(保留一位小数)。
如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②),材料总长仍为6 m。利用图②,解答下列问题:
(1) 若AB为1 m,求此时窗户的透光面积。
(2) 与教科书中例2比较,改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值比原先的最大值增加了多少?请通过计算说明(保留一位小数)。
答案
(1) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^2$
(2) 设$AB=x(\mathrm{m})$,则$AD=(3-\dfrac{7}{4}x)(\mathrm{m})$,$AF=(3-\dfrac{9}{4}x)(\mathrm{m})$。由$AD＞0$,$AB＞0$,$AF＞0$,得$0＜x＜\dfrac{4}{3}$。
所以窗户的透光面积$S=x(3-\dfrac{7}{4}x)=-\dfrac{7}{4}(x-\dfrac{6}{7})^2+\dfrac{9}{7}$。
当$x=\dfrac{6}{7}$时,$x$在$0＜x＜\dfrac{4}{3}$范围内,$S_{最大}=\dfrac{9}{7}$,$\dfrac{9}{7}-1.05\approx0.2(\mathrm{m}^2)$,即改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值比原先的最大值增加了$0.2\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$AB=x(\mathrm{m})$,则$AD=(3-\dfrac{7}{4}x)(\mathrm{m})$,$AF=(3-\dfrac{9}{4}x)(\mathrm{m})$。由$AD＞0$,$AB＞0$,$AF＞0$,得$0＜x＜\dfrac{4}{3}$。
所以窗户的透光面积$S=x(3-\dfrac{7}{4}x)=-\dfrac{7}{4}(x-\dfrac{6}{7})^2+\dfrac{9}{7}$。
当$x=\dfrac{6}{7}$时,$x$在$0＜x＜\dfrac{4}{3}$范围内,$S_{最大}=\dfrac{9}{7}$,$\dfrac{9}{7}-1.05\approx0.2(\mathrm{m}^2)$,即改变窗户形状后,窗户的透光面积的最大值比原先的最大值增加了$0.2\ \mathrm{m}^2$。
解析
【解析】
(1) 已知制作窗框的材料总长为6 m，AB=1 m，由图②的窗框结构可知，上部两个正方形的边长为$\frac{1}{2}$AB=0.5 m，据此计算AD的长度：
窗框总长度可列等式：$2AB + 2AD + AB + \frac{1}{2}AB = 6$，代入AB=1 m，得$2×1 + 2AD +1 + 0.5=6$，解得$AD=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}$。
窗户透光面积$S=AB× AD=1×\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，根据窗框材料总长6 m，推导AD的长度：
总窗框长度：$2AB + 2AD + AB + \frac{1}{2}AB = 6$，整理得$2AD + \frac{7}{2}x=6$，即$AD=(3-\frac{7}{4}x)\ \mathrm{m}$。
由边长为正的条件：$x＞0$，$AD＞0$，上部正方形边长$\frac{x}{2}＞0$，得$0＜x＜\frac{4}{3}$。
透光面积$S=x· AD=x(3-\frac{7}{4}x)=-\frac{7}{4}x^2+3x$，配方得：
$S=-\frac{7}{4}(x-\frac{6}{7})^2+\frac{9}{7}$。
因为$-\frac{7}{4}＜0$，且$x=\frac{6}{7}$在$0＜x＜\frac{4}{3}$范围内，所以当$x=\frac{6}{7}$时，$S$取得最大值$\frac{9}{7}\ \mathrm{m}^2$。
与原例题的最大透光面积1.05 m²作差：$\frac{9}{7}-1.05\approx0.2\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^2$；(2) 约增加$0.2\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数最值；列代数式；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际窗框设计场景，考查二次函数在几何最值问题中的应用，解题关键是先根据窗框总材料长度建立边长的数量关系，确定自变量取值范围后再利用二次函数性质求最值，容易出错的地方是窗框的线段计数错误，以及忽略自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
(1) 已知制作窗框的材料总长为6 m，AB=1 m，由图②的窗框结构可知，上部两个正方形的边长为$\frac{1}{2}$AB=0.5 m，据此计算AD的长度：
窗框总长度可列等式：$2AB + 2AD + AB + \frac{1}{2}AB = 6$，代入AB=1 m，得$2×1 + 2AD +1 + 0.5=6$，解得$AD=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}$。
窗户透光面积$S=AB× AD=1×\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，根据窗框材料总长6 m，推导AD的长度：
总窗框长度：$2AB + 2AD + AB + \frac{1}{2}AB = 6$，整理得$2AD + \frac{7}{2}x=6$，即$AD=(3-\frac{7}{4}x)\ \mathrm{m}$。
由边长为正的条件：$x＞0$，$AD＞0$，上部正方形边长$\frac{x}{2}＞0$，得$0＜x＜\frac{4}{3}$。
透光面积$S=x· AD=x(3-\frac{7}{4}x)=-\frac{7}{4}x^2+3x$，配方得：
$S=-\frac{7}{4}(x-\frac{6}{7})^2+\frac{9}{7}$。
因为$-\frac{7}{4}＜0$，且$x=\frac{6}{7}$在$0＜x＜\frac{4}{3}$范围内，所以当$x=\frac{6}{7}$时，$S$取得最大值$\frac{9}{7}\ \mathrm{m}^2$。
与原例题的最大透光面积1.05 m²作差：$\frac{9}{7}-1.05\approx0.2\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\dfrac{5}{4}\ \mathrm{m}^2$；(2) 约增加$0.2\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数最值；列代数式；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际窗框设计场景，考查二次函数在几何最值问题中的应用，解题关键是先根据窗框总材料长度建立边长的数量关系，确定自变量取值范围后再利用二次函数性质求最值，容易出错的地方是窗框的线段计数错误，以及忽略自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
