登录
8. 如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm。点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动。P,Q同时出发,分别到B,C后停止移动。设△PQD的面积为S,点移动的时间为x (x＞0)。
(1) 求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围。
(2) 经过多少时间,△PQD的面积最小?最小面积是多少?
(1) 求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围。
(2) 经过多少时间,△PQD的面积最小?最小面积是多少?
答案
(1) $S=x^2-6x+36,0＜x≤6$。
(2) 当$x=3\ \mathrm{s}$时,$S_{最小}=27\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当$x=3\ \mathrm{s}$时,$S_{最小}=27\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题可通过“割补法”求解△PQD的面积：首先用矩形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形（△APD、△BPQ、△CDQ）的面积，即可得到S关于x的表达式；再根据两点的运动速度和总路程确定自变量x的取值范围。第二问可将得到的二次函数解析式配方，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围，求出面积的最小值及对应的时间。
【解析】
(1) 由题意得：移动时间为x s时，$AP=x\ \mathrm{cm}$，$PB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，$QC=(12-2x)\ \mathrm{cm}$。
矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=AB× BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$
三个空白三角形的面积分别为：
$S_{△ APD}=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× x×12=6x$
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-x)×2x=6x-x^2$
$S_{△ CDQ}=\frac{1}{2}× CD× QC=\frac{1}{2}×6×(12-2x)=36-6x$
因此△PQD的面积：
$S=S_{矩形ABCD}-S_{△ APD}-S_{△ BPQ}-S_{△ CDQ}$
代入得：
$S=72 - 6x - (6x-x^2) - (36-6x)$
化简得：$S=x^2-6x+36$
点P运动到B的时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q运动到C的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤6$。
(2) 将二次函数解析式配方：
$S=x^2-6x+36=(x-3)^2+27$
$\because$二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，且$x=3$在$0＜x≤6$的范围内
$\therefore$当$x=3$时，S取得最小值，最小值为$27\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=x^2-6x+36\quad(0＜x≤6)$
(2) 经过$\boxed{3\ \mathrm{s}}$时，△PQD的面积最小，最小面积是$\boxed{27\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二次函数的应用；割补法求面积；二次函数的最值
【点评】
本题是动点与二次函数结合的典型应用题，解题的核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
本题可通过“割补法”求解△PQD的面积：首先用矩形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形（△APD、△BPQ、△CDQ）的面积，即可得到S关于x的表达式；再根据两点的运动速度和总路程确定自变量x的取值范围。第二问可将得到的二次函数解析式配方，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围，求出面积的最小值及对应的时间。
【解析】
(1) 由题意得：移动时间为x s时，$AP=x\ \mathrm{cm}$，$PB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，$QC=(12-2x)\ \mathrm{cm}$。
矩形ABCD的面积为：$S_{矩形ABCD}=AB× BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$
三个空白三角形的面积分别为：
$S_{△ APD}=\frac{1}{2}× AP× AD=\frac{1}{2}× x×12=6x$
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-x)×2x=6x-x^2$
$S_{△ CDQ}=\frac{1}{2}× CD× QC=\frac{1}{2}×6×(12-2x)=36-6x$
因此△PQD的面积：
$S=S_{矩形ABCD}-S_{△ APD}-S_{△ BPQ}-S_{△ CDQ}$
代入得：
$S=72 - 6x - (6x-x^2) - (36-6x)$
化简得：$S=x^2-6x+36$
点P运动到B的时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q运动到C的时间为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，因此自变量x的取值范围是$0＜x≤6$。
(2) 将二次函数解析式配方：
$S=x^2-6x+36=(x-3)^2+27$
$\because$二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，且$x=3$在$0＜x≤6$的范围内
$\therefore$当$x=3$时，S取得最小值，最小值为$27\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=x^2-6x+36\quad(0＜x≤6)$
(2) 经过$\boxed{3\ \mathrm{s}}$时，△PQD的面积最小，最小面积是$\boxed{27\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二次函数的应用；割补法求面积；二次函数的最值
【点评】
本题是动点与二次函数结合的典型应用题，解题的核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
9. (多选题)如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$A(3,0),B(-1,0)$，与y轴交于点$C(0,m)$，其中$-4＜m＜-3$。下列结论中正确的是(
A.$a - c ＞ 0$
B.随着点C在限定范围内往下运动，抛物线的开口从小变大
C.$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$
D.$\dfrac{a + b + c}{b - a}＞0$
ACD
)。A.$a - c ＞ 0$
B.随着点C在限定范围内往下运动，抛物线的开口从小变大
C.$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$
D.$\dfrac{a + b + c}{b - a}＞0$
答案
ACD。提示:由图知抛物线开口向上,所以$a＞0$。因为抛物线与$y$轴交于点$C$,$-4＜m＜-3$,故$-4＜c＜-3$,因此$a-c＞0$,A正确。
二次函数的图象与$x$轴交于点$A(3,0)$,$B(-1,0)$,可设二次函数$y=a(x-3)(x+1)$。当$x=0$时,$y=m$,所以$m=-3a$,故$a=-\dfrac{m}{3}$。当点$C$在限定范围内往下运动时,抛物线开口从大变小,B不正确。
化$y=a(x-3)(x+1)$为$y=ax^2-2ax-3a$,得$b=-2a$。而$a=-\dfrac{m}{3}$,所以$b=\dfrac{2m}{3}$。而$-4＜m＜-3$,所以$-\dfrac{8}{3}＜\dfrac{2m}{3}＜-2$,即$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$,C正确。
当$x=1$时,$y=a+b+c$。由图象可知$a+b+c＜0$。而$b=-2a$,$b-a=-3a＜0$,所以$\dfrac{a+b+c}{b-a}＞0$,D正确。
另解:由$y=ax^2+bx+c=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a$,得$b=-2a$,$c=-3a=m$,则$a-c=a-(-3a)=4a＞0$,A正确。$b=\dfrac{2}{3}m$,由$-4＜m＜-3$得$-8＜\dfrac{2}{3}m＜-2$,即$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$,C正确。$\dfrac{a+b+c}{b-a}=\dfrac{-4a}{-3a}=\dfrac{4}{3}＞0$,D正确。
二次函数的图象与$x$轴交于点$A(3,0)$,$B(-1,0)$,可设二次函数$y=a(x-3)(x+1)$。当$x=0$时,$y=m$,所以$m=-3a$,故$a=-\dfrac{m}{3}$。当点$C$在限定范围内往下运动时,抛物线开口从大变小,B不正确。
化$y=a(x-3)(x+1)$为$y=ax^2-2ax-3a$,得$b=-2a$。而$a=-\dfrac{m}{3}$,所以$b=\dfrac{2m}{3}$。而$-4＜m＜-3$,所以$-\dfrac{8}{3}＜\dfrac{2m}{3}＜-2$,即$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$,C正确。
当$x=1$时,$y=a+b+c$。由图象可知$a+b+c＜0$。而$b=-2a$,$b-a=-3a＜0$,所以$\dfrac{a+b+c}{b-a}＞0$,D正确。
另解:由$y=ax^2+bx+c=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a$,得$b=-2a$,$c=-3a=m$,则$a-c=a-(-3a)=4a＞0$,A正确。$b=\dfrac{2}{3}m$,由$-4＜m＜-3$得$-8＜\dfrac{2}{3}m＜-2$,即$-\dfrac{8}{3}＜b＜-2$,C正确。$\dfrac{a+b+c}{b-a}=\dfrac{-4a}{-3a}=\dfrac{4}{3}＞0$,D正确。
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题思路如下：首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合抛物线与x轴的两个交点坐标，设交点式得到函数表达式，进而推导b、c与a的关系，再结合y轴交点C的取值范围，逐个分析四个选项的正确性即可。
【解析】
1. 由图象可知抛物线开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$。
已知抛物线与x轴交于$A(3,0)$、$B(-1,0)$，可设二次函数的交点式为$y=a(x-3)(x+1)$，展开得$y=ax^2-2ax-3a$，因此$b=-2a$，$c=-3a$。
又抛物线与y轴交于$C(0,m)$，$-4＜m＜-3$，即$-4＜c＜-3＜0$。
2. 分析选项A：
$a＞0$，$c＜0$，因此$a-c=a+|c|＞0$，A正确。
3. 分析选项B：
由$c=-3a=m$，得$a=-\frac{m}{3}$。当点C向下运动时，$m$减小，$a$增大；二次函数中$|a|$越大，抛物线开口越小，因此抛物线开口是从大变小，B错误。
4. 分析选项C：
$b=-2a=\frac{2m}{3}$，已知$-4＜m＜-3$，不等式三边同乘正数$\frac{2}{3}$得：$-\frac{8}{3}＜\frac{2m}{3}＜-2$，即$-\frac{8}{3}＜b＜-2$，C正确。
5. 分析选项D：
分子$a+b+c$代入$b=-2a,c=-3a$得：$a+b+c=a-2a-3a=-4a＜0$；
分母$b-a=-2a-a=-3a＜0$；
两个负数相除结果为正，因此$\frac{a+b+c}{b-a}＞0$，D正确。
【答案】
ACD
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数交点式；不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质、系数与图象的对应关系，结合不等式运算判断结论，需要熟练掌握二次函数不同表达式的转化方法，明确$a$对开口大小的影响，是二次函数章节的典型综合小题。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题思路如下：首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合抛物线与x轴的两个交点坐标，设交点式得到函数表达式，进而推导b、c与a的关系，再结合y轴交点C的取值范围，逐个分析四个选项的正确性即可。
【解析】
1. 由图象可知抛物线开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$。
已知抛物线与x轴交于$A(3,0)$、$B(-1,0)$，可设二次函数的交点式为$y=a(x-3)(x+1)$，展开得$y=ax^2-2ax-3a$，因此$b=-2a$，$c=-3a$。
又抛物线与y轴交于$C(0,m)$，$-4＜m＜-3$，即$-4＜c＜-3＜0$。
2. 分析选项A：
$a＞0$，$c＜0$，因此$a-c=a+|c|＞0$，A正确。
3. 分析选项B：
由$c=-3a=m$，得$a=-\frac{m}{3}$。当点C向下运动时，$m$减小，$a$增大；二次函数中$|a|$越大，抛物线开口越小，因此抛物线开口是从大变小，B错误。
4. 分析选项C：
$b=-2a=\frac{2m}{3}$，已知$-4＜m＜-3$，不等式三边同乘正数$\frac{2}{3}$得：$-\frac{8}{3}＜\frac{2m}{3}＜-2$，即$-\frac{8}{3}＜b＜-2$，C正确。
5. 分析选项D：
分子$a+b+c$代入$b=-2a,c=-3a$得：$a+b+c=a-2a-3a=-4a＜0$；
分母$b-a=-2a-a=-3a＜0$；
两个负数相除结果为正，因此$\frac{a+b+c}{b-a}＞0$，D正确。
【答案】
ACD
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数交点式；不等式的性质
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质、系数与图象的对应关系，结合不等式运算判断结论，需要熟练掌握二次函数不同表达式的转化方法，明确$a$对开口大小的影响，是二次函数章节的典型综合小题。
【难度系数】
0.6
