登录
9.如图,在$△ ABC$中,两条中线$BE$,$CD$相交于点$O$,则$S_{△ DOE}:S_{△ COB}$等于(
A.$1:4$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:2$
A
)。A.$1:4$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:2$
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：BE、CD是△ABC的中线，可推出D、E分别是AB、AC的中点，由此联想三角形中位线定理，得到DE与BC的位置关系和数量关系；再根据平行线的性质得到对应角相等，证明两个三角形相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出面积比值。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△DOE∽△COB，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△DOE}:S_{△COB}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}=1:4$。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.相似三角形的判定 3.相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是通过中线推导得到中位线，进而得到三角形相似的判定条件，再结合相似三角形面积与相似比的关系计算结果，属于对基础知识点的综合考查类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：BE、CD是△ABC的中线，可推出D、E分别是AB、AC的中点，由此联想三角形中位线定理，得到DE与BC的位置关系和数量关系；再根据平行线的性质得到对应角相等，证明两个三角形相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出面积比值。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的中线，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△DOE∽△COB，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△DOE}:S_{△COB}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}=1:4$。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.相似三角形的判定 3.相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是通过中线推导得到中位线，进而得到三角形相似的判定条件，再结合相似三角形面积与相似比的关系计算结果，属于对基础知识点的综合考查类题目。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,D,E两点分别在BC,AD上,且AD为$∠ BAC$的平分线。若$∠ ABE=∠ C$, $AE: ED=2:1$,则$△ BDE$与$△ ABC$的面积比为(
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{2}{13}$
D.$\frac{2}{15}$
D
)。A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{2}{13}$
D.$\frac{2}{15}$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时先从已知角的关系入手：首先利用角平分线性质得到等角，结合已知的等角判定相似三角形；再根据“同高三角形的面积比等于对应底的比”、“相似三角形面积比等于相似比的平方”两个核心性质，用参数表示出各三角形的面积，最后计算比值。具体思路如下：1. 由角平分线得∠BAE=∠CAD，结合∠ABE=∠C，证△ABE∽△ACD；2. 设S△BDE=x，由AE:ED=2:1得S△ABE=2x；3. 由相似比AE:AD=2:3，求出S△ACD的表达式；4. 计算△ABC的总面积，最终求△BDE与△ABC的面积比。
【解析】
解：
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAD
又
∵∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
∵AE:ED=2:1，设ED=k，则AE=2k，AD=AE+ED=3k
∴△ABE与△ACD的相似比为$AE:AD=2:3$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=(2:3)^2=4:9$
设$S_{△ BDE}=x$，
∵△ABE和△BDE同高（公共高为点B到线段AD的垂线段长度），面积比等于底的比$AE:ED=2:1$
∴$S_{△ ABE}=2S_{△ BDE}=2x$
代入面积比关系得：$2x:S_{△ ACD}=4:9$，解得$S_{△ ACD}=\frac{9x}{2}$
又
∵$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=2x+x=3x$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3x+\frac{9x}{2}=\frac{15x}{2}$
∴$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=x:\frac{15x}{2}=\frac{2}{15}$
【答案】D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积与底的正比关系，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查相似三角形和三角形面积的比例性质，解题的关键是先证明三角形相似，再用统一参数表示各部分面积，注意区分相似三角形面积比和边长比的关系，不要混淆二者的比例关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知角的关系入手：首先利用角平分线性质得到等角，结合已知的等角判定相似三角形；再根据“同高三角形的面积比等于对应底的比”、“相似三角形面积比等于相似比的平方”两个核心性质，用参数表示出各三角形的面积，最后计算比值。具体思路如下：1. 由角平分线得∠BAE=∠CAD，结合∠ABE=∠C，证△ABE∽△ACD；2. 设S△BDE=x，由AE:ED=2:1得S△ABE=2x；3. 由相似比AE:AD=2:3，求出S△ACD的表达式；4. 计算△ABC的总面积，最终求△BDE与△ABC的面积比。
【解析】
解：
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAD
又
∵∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
∵AE:ED=2:1，设ED=k，则AE=2k，AD=AE+ED=3k
∴△ABE与△ACD的相似比为$AE:AD=2:3$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=(2:3)^2=4:9$
设$S_{△ BDE}=x$，
∵△ABE和△BDE同高（公共高为点B到线段AD的垂线段长度），面积比等于底的比$AE:ED=2:1$
∴$S_{△ ABE}=2S_{△ BDE}=2x$
代入面积比关系得：$2x:S_{△ ACD}=4:9$，解得$S_{△ ACD}=\frac{9x}{2}$
又
∵$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=2x+x=3x$
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3x+\frac{9x}{2}=\frac{15x}{2}$
∴$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=x:\frac{15x}{2}=\frac{2}{15}$
【答案】D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积与底的正比关系，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查相似三角形和三角形面积的比例性质，解题的关键是先证明三角形相似，再用统一参数表示各部分面积，注意区分相似三角形面积比和边长比的关系，不要混淆二者的比例关系。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,且$DE// BC$。如果$AE:EC=1:4$,那么$S_{△ ADE}:S_{△ EBC}$等于(
A.$1:24$
B.$1:20$
C.$1:18$
D.$1:16$
B
)。A.$1:24$
B.$1:20$
C.$1:18$
D.$1:16$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件DE//BC入手，首先判定△ADE与△ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到△ADE与△ABC的面积比；再观察△EBC和△ABE是同高三角形，其面积比等于底AE与EC的比，由此可推出△EBC占△ABC总面积的份数，最后将两个三角形的面积用相同份数表示后求比值即可。
【解析】
解：
∵ $DE//BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∵ $AE:EC = 1:4$，
∴ 相似比 $AE:AC = 1:(1+4) = 1:5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = 1^2:5^2 = 1:25$。
又
∵ $△ ABE$和$△ EBC$同高（高均为点B到AC的垂线段长度），
∴ 它们的面积比等于底的比，即$S_{△ ABE}:S_{△ EBC} = AE:EC = 1:4$，
则$S_{△ EBC} = \frac{4}{1+4}S_{△ ABC} = \frac{4}{5}S_{△ ABC}$。
设$S_{△ ADE} = x$，则$S_{△ ABC} = 25x$，
∴ $S_{△ EBC} = \frac{4}{5} × 25x = 20x$，
∴ $S_{△ ADE}:S_{△ EBC} = x:20x = 1:20$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；同高三角形面积比
【点评】
本题是相似三角形性质和三角形面积关系的综合应用题，解题时要注意区分两种面积比的应用场景：相似三角形的面积比是相似比的平方，而同高三角形的面积比等于对应底的比，二者不要混淆。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件DE//BC入手，首先判定△ADE与△ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到△ADE与△ABC的面积比；再观察△EBC和△ABE是同高三角形，其面积比等于底AE与EC的比，由此可推出△EBC占△ABC总面积的份数，最后将两个三角形的面积用相同份数表示后求比值即可。
【解析】
解：
∵ $DE//BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∵ $AE:EC = 1:4$，
∴ 相似比 $AE:AC = 1:(1+4) = 1:5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = 1^2:5^2 = 1:25$。
又
∵ $△ ABE$和$△ EBC$同高（高均为点B到AC的垂线段长度），
∴ 它们的面积比等于底的比，即$S_{△ ABE}:S_{△ EBC} = AE:EC = 1:4$，
则$S_{△ EBC} = \frac{4}{1+4}S_{△ ABC} = \frac{4}{5}S_{△ ABC}$。
设$S_{△ ADE} = x$，则$S_{△ ABC} = 25x$，
∴ $S_{△ EBC} = \frac{4}{5} × 25x = 20x$，
∴ $S_{△ ADE}:S_{△ EBC} = x:20x = 1:20$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；同高三角形面积比
【点评】
本题是相似三角形性质和三角形面积关系的综合应用题，解题时要注意区分两种面积比的应用场景：相似三角形的面积比是相似比的平方，而同高三角形的面积比等于对应底的比，二者不要混淆。
【难度系数】
0.6
12. 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$S_{△ ABC}:S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$，$BC=2$，则$DE$的长为
4
。答案
12.4
解析
【分析】
本题要求相似三角形对应边DE的长，首先需要找到两个相似三角形的相似比。已知△ABC和四边形BDEC的面积比，我们先将该比例转化为△ABC与△ADE的面积比：因为△ADE的面积等于△ABC面积加四边形BDEC的面积，所以可得两个相似三角形的面积比为1:4；再根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可算出两个三角形的相似比为1:2；最后结合相似三角形对应边之比等于相似比，代入已知BC的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵ $ S_{△ ABC}:S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3 $
∴ $ S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=1:(1+3)=1:4 $
又
∵ $ △ ABC ∽ △ ADE $
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$ (\frac{BC}{DE})^2=\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{1}{4} $
∵ 边长为正数，故$ \frac{BC}{DE}=\frac{1}{2} $
将$ BC=2 $代入得：$ \frac{2}{DE}=\frac{1}{2} $
解得$ DE=4 $
【答案】
4
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是正确转换面积比得到两个相似三角形的面积比，再结合相似比与边长的关系求解，是相似三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
本题要求相似三角形对应边DE的长，首先需要找到两个相似三角形的相似比。已知△ABC和四边形BDEC的面积比，我们先将该比例转化为△ABC与△ADE的面积比：因为△ADE的面积等于△ABC面积加四边形BDEC的面积，所以可得两个相似三角形的面积比为1:4；再根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可算出两个三角形的相似比为1:2；最后结合相似三角形对应边之比等于相似比，代入已知BC的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵ $ S_{△ ABC}:S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3 $
∴ $ S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=1:(1+3)=1:4 $
又
∵ $ △ ABC ∽ △ ADE $
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$ (\frac{BC}{DE})^2=\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{1}{4} $
∵ 边长为正数，故$ \frac{BC}{DE}=\frac{1}{2} $
将$ BC=2 $代入得：$ \frac{2}{DE}=\frac{1}{2} $
解得$ DE=4 $
【答案】
4
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是正确转换面积比得到两个相似三角形的面积比，再结合相似比与边长的关系求解，是相似三角形章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
13. 在$□ ABCD$中，M是边AD上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=$
1:9或4:9
。答案
13.1:9或4:9
解析
【分析】
本题是平行四边形中求三角形面积比的问题，解题思路如下：1. 结合平行四边形对边平行且相等的性质，可判定△MOD和△COB相似；2. 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此只需要求出两个三角形的相似比即可；3. 注意M是AD的三等分点，存在MD占AD的1/3、2/3两种情况，需要分类讨论计算相似比，进而得到面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∴∠ODM=∠OBC，∠OMD=∠OCB
∴△MOD∽△COB
∵M是AD的三等分点，分两种情况讨论：
① 当$MD=\frac{1}{3}AD$时，
∵AD=BC，
∴$\frac{MD}{BC}=\frac{1}{3}$
∴$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{MD}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=1:9$
② 当$MD=\frac{2}{3}AD$时，
∵AD=BC，
∴$\frac{MD}{BC}=\frac{2}{3}$
∴$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{MD}{BC})^2=(\frac{2}{3})^2=4:9$
综上，$S_{△ MOD}:S_{△ COB}$为1:9或4:9。
【答案】
1:9或4:9
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略三等分点存在两种位置，容易漏解，核心是熟练运用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解，同时考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题是平行四边形中求三角形面积比的问题，解题思路如下：1. 结合平行四边形对边平行且相等的性质，可判定△MOD和△COB相似；2. 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此只需要求出两个三角形的相似比即可；3. 注意M是AD的三等分点，存在MD占AD的1/3、2/3两种情况，需要分类讨论计算相似比，进而得到面积比。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∴∠ODM=∠OBC，∠OMD=∠OCB
∴△MOD∽△COB
∵M是AD的三等分点，分两种情况讨论：
① 当$MD=\frac{1}{3}AD$时，
∵AD=BC，
∴$\frac{MD}{BC}=\frac{1}{3}$
∴$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{MD}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=1:9$
② 当$MD=\frac{2}{3}AD$时，
∵AD=BC，
∴$\frac{MD}{BC}=\frac{2}{3}$
∴$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{MD}{BC})^2=(\frac{2}{3})^2=4:9$
综上，$S_{△ MOD}:S_{△ COB}$为1:9或4:9。
【答案】
1:9或4:9
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略三等分点存在两种位置，容易漏解，核心是熟练运用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解，同时考察了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
14.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的序号分别记为1,2,3的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1,4,9，则△ABC的面积是
（第14题）
36
。（第14题）答案
14.36
解析
【分析】
解题时首先根据平行线判定三个阴影小三角形都与△ABC相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，由三个小三角形的面积1、4、9推出它们的相似比为1:2:3；接着结合平行线间形成的平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长等于三个小三角形对应边长之和，进而得到△ABC与最小阴影三角形的相似比为6:1；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算出△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵过点M的直线分别平行于△ABC的各边，
∴三个阴影小三角形均与△ABC相似，且三个小三角形互相相似。
已知三个小三角形的面积分别为1、4、9，因此三者的面积比为1:4:9。
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得三个小三角形的相似比（对应边长之比）为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$。
设面积为1的小三角形的边长为$a$，则面积为4的小三角形边长为$2a$，面积为9的小三角形边长为$3a$。
由于图中截得的四边形均为平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长为$a+2a+3a=6a$。
因此△ABC与面积为1的小三角形的相似比为$6a:a=6:1$，二者的面积比为$6^2:1^2=36:1$。
∵最小的阴影小三角形面积为1，
∴△ABC的面积为$1×36=36$。
【答案】
36
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题的突破口是结合平行四边形的性质推出大三角形与小三角形的相似比，能很好地考查学生对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据平行线判定三个阴影小三角形都与△ABC相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，由三个小三角形的面积1、4、9推出它们的相似比为1:2:3；接着结合平行线间形成的平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长等于三个小三角形对应边长之和，进而得到△ABC与最小阴影三角形的相似比为6:1；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算出△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵过点M的直线分别平行于△ABC的各边，
∴三个阴影小三角形均与△ABC相似，且三个小三角形互相相似。
已知三个小三角形的面积分别为1、4、9，因此三者的面积比为1:4:9。
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得三个小三角形的相似比（对应边长之比）为$\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$。
设面积为1的小三角形的边长为$a$，则面积为4的小三角形边长为$2a$，面积为9的小三角形边长为$3a$。
由于图中截得的四边形均为平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得△ABC的边长为$a+2a+3a=6a$。
因此△ABC与面积为1的小三角形的相似比为$6a:a=6:1$，二者的面积比为$6^2:1^2=36:1$。
∵最小的阴影小三角形面积为1，
∴△ABC的面积为$1×36=36$。
【答案】
36
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题的突破口是结合平行四边形的性质推出大三角形与小三角形的相似比，能很好地考查学生对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15.如图，在$□ ABCD$中，$AE:EB=2:3$，DE交AC于点F。
(1)求证：$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比；
(3)如果$△ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，求$△ AEF$的面积。
(1)求证：$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比；
(3)如果$△ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，求$△ AEF$的面积。
答案
15.(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC// AB$。
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$。
$\therefore △ AEF∽ △ CDF$。
(2)解:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC=AB$。
$\because AE:EB=2:3$，
$\therefore$ 设$AE=2k,BE=3k$。
$\therefore DC=AB=5k$。
由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore △ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
$\therefore DC// AB$。
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$。
$\therefore △ AEF∽ △ CDF$。
(2)解:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC=AB$。
$\because AE:EB=2:3$，
$\therefore$ 设$AE=2k,BE=3k$。
$\therefore DC=AB=5k$。
由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore △ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 要证明△AEF∽△CDF，可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 求两个相似三角形的周长比，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，只需先求出对应边AE与CD的比值即可。结合平行四边形对边相等和AE:EB=2:3的条件，可推出AE与CD的比为2:5，即可得到周长比。
(3) 求△AEF的面积，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算两个三角形的面积比，再结合已知△CDF的面积，就能求出△AEF的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽ △ CDF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，
$\therefore$ 设$AE=2k,BE=3k$（$k\ne0$），则$AB=AE+BE=5k$，
$\therefore DC=AB=5k$，
由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$，即$2:5$。
(3) 解：由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 已证$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2) $△ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$2:5$；
(3) $△ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础综合题，解题核心是先利用平行四边形的性质得到边和角的关系证明三角形相似，再结合相似三角形周长比、面积比与相似比的关系计算，熟练掌握相关性质定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明△AEF∽△CDF，可结合平行四边形对边平行的性质，得到两组内错角相等，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 求两个相似三角形的周长比，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，只需先求出对应边AE与CD的比值即可。结合平行四边形对边相等和AE:EB=2:3的条件，可推出AE与CD的比为2:5，即可得到周长比。
(3) 求△AEF的面积，根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算两个三角形的面积比，再结合已知△CDF的面积，就能求出△AEF的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽ △ CDF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，
$\therefore$ 设$AE=2k,BE=3k$（$k\ne0$），则$AB=AE+BE=5k$，
$\therefore DC=AB=5k$，
由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$，即$2:5$。
(3) 解：由(1)知$△ AEF∽ △ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 已证$△ AEF ∽ △ CDF$；
(2) $△ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$2:5$；
(3) $△ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关的基础综合题，解题核心是先利用平行四边形的性质得到边和角的关系证明三角形相似，再结合相似三角形周长比、面积比与相似比的关系计算，熟练掌握相关性质定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
16.阅读下面的材料,并回答下面的问题:
我们把相似图形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体。
如图,甲、乙是两个大小不同的正方体,正方体都是相似体,这两个正方体的所有对应线段之比都等于相似比$\frac{a}{b}$。
设$S_甲,S_乙$分别表示这两个正方体的表面积,则$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{6a^2}{6b^2}=(\frac{a}{b})^2$。
又设$V_甲,V_乙$分别表示这两个正方体的体积,则$\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{a^3}{b^3}=(\frac{a}{b})^3$。
(1)下列几何体,一定属于相似体的是 (
A.两个球 B.两个锥体
C.两个圆柱体 D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质:
①相似体的对应线段(或弧长)的比等于
②相似体表面积的比等于
③相似体体积的比等于
(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1 m,体重为18 kg,到了上九年级时,身高为1.65 m,问他的体重是多少?(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
我们把相似图形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体。
如图,甲、乙是两个大小不同的正方体,正方体都是相似体,这两个正方体的所有对应线段之比都等于相似比$\frac{a}{b}$。
设$S_甲,S_乙$分别表示这两个正方体的表面积,则$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{6a^2}{6b^2}=(\frac{a}{b})^2$。
又设$V_甲,V_乙$分别表示这两个正方体的体积,则$\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{a^3}{b^3}=(\frac{a}{b})^3$。
(1)下列几何体,一定属于相似体的是 (
A
)。A.两个球 B.两个锥体
C.两个圆柱体 D.两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质:
①相似体的对应线段(或弧长)的比等于
相似比
;②相似体表面积的比等于
相似比的平方
;③相似体体积的比等于
相似比的立方
。(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1 m,体重为18 kg,到了上九年级时,身高为1.65 m,问他的体重是多少?(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
答案
16.解:(1)A
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)易得体重之比等于体积比，
$\therefore$ 由题意知他的体积比为$(\frac{1.1}{1.65})^3$。
若设上九年级时他的体重为$x\ \mathrm{kg}$，
则有$(\frac{1.1}{1.65})^3=\frac{18}{x}$，
解得$x=\frac{243}{4}=60.75$。
$\therefore$ 上九年级时他的体重为60.75 kg。
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)易得体重之比等于体积比，
$\therefore$ 由题意知他的体积比为$(\frac{1.1}{1.65})^3$。
若设上九年级时他的体重为$x\ \mathrm{kg}$，
则有$(\frac{1.1}{1.65})^3=\frac{18}{x}$，
解得$x=\frac{243}{4}=60.75$。
$\therefore$ 上九年级时他的体重为60.75 kg。
解析
【分析】
本题是将平面相似的概念拓展到空间相似体的新定义类题目，解题思路如下：
(1) 第一问紧扣相似体“形状完全相同”的定义判断，只有球体无论大小，形状始终一致，其余几何体的形状会随棱长、底面半径、高等比例变化而改变，即可选出正确选项；
(2) 第二问结合题目给出的正方体相似的示例，直接归纳对应线段、表面积、体积和相似比的关系即可；
(3) 第三问首先明确密度不变时体重和体积成正比，再结合相似体体积比等于相似比的立方的性质，以身高比为相似比列比例方程求解即可。
【解析】
(1) 根据相似体的定义：形状完全相同的几何体为相似体。
A. 两个球体，无论半径大小，形状完全相同，属于相似体；
B. 两个锥体，若底面半径和高的比值不同，形状不同，不属于相似体；
C. 两个圆柱体，若底面半径和高的比值不同，形状不同，不属于相似体；
D. 两个长方体，若长宽高的比值不同，形状不同，不属于相似体。
因此选A。
(2) 根据题目中正方体相似的示例归纳：
① 相似体对应线段（或弧长）的比等于相似比；
② 相似体表面积的比等于相似比的平方；
③ 相似体体积的比等于相似比的立方。
(3) 人体密度不变时，体重与体积成正比，因此体重之比等于相似体的体积之比。
设上九年级时他的体重为$x\ \mathrm{kg}$，身高比即相似比为$\frac{1.1}{1.65}$，则体积比（即体重比）为$(\frac{1.1}{1.65})^3$，可列方程：
$(\frac{1.1}{1.65})^3=\frac{18}{x}$
化简得$(\frac{2}{3})^3=\frac{18}{x}$，即$\frac{8}{27}=\frac{18}{x}$
解得$x=18×\frac{27}{8}=\frac{486}{8}=60.75$
【答案】
(1)A
(2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方
(3)60.75 kg
【知识点】
相似体的性质、比例运算、方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，将平面相似的性质迁移到空间几何体中，既考查对新概念的理解归纳能力，也考查结合生活实际运用性质解决问题的能力，贴合知识迁移的考查要求。
【难度系数】
0.7
本题是将平面相似的概念拓展到空间相似体的新定义类题目，解题思路如下：
(1) 第一问紧扣相似体“形状完全相同”的定义判断，只有球体无论大小，形状始终一致，其余几何体的形状会随棱长、底面半径、高等比例变化而改变，即可选出正确选项；
(2) 第二问结合题目给出的正方体相似的示例，直接归纳对应线段、表面积、体积和相似比的关系即可；
(3) 第三问首先明确密度不变时体重和体积成正比，再结合相似体体积比等于相似比的立方的性质，以身高比为相似比列比例方程求解即可。
【解析】
(1) 根据相似体的定义：形状完全相同的几何体为相似体。
A. 两个球体，无论半径大小，形状完全相同，属于相似体；
B. 两个锥体，若底面半径和高的比值不同，形状不同，不属于相似体；
C. 两个圆柱体，若底面半径和高的比值不同，形状不同，不属于相似体；
D. 两个长方体，若长宽高的比值不同，形状不同，不属于相似体。
因此选A。
(2) 根据题目中正方体相似的示例归纳：
① 相似体对应线段（或弧长）的比等于相似比；
② 相似体表面积的比等于相似比的平方；
③ 相似体体积的比等于相似比的立方。
(3) 人体密度不变时，体重与体积成正比，因此体重之比等于相似体的体积之比。
设上九年级时他的体重为$x\ \mathrm{kg}$，身高比即相似比为$\frac{1.1}{1.65}$，则体积比（即体重比）为$(\frac{1.1}{1.65})^3$，可列方程：
$(\frac{1.1}{1.65})^3=\frac{18}{x}$
化简得$(\frac{2}{3})^3=\frac{18}{x}$，即$\frac{8}{27}=\frac{18}{x}$
解得$x=18×\frac{27}{8}=\frac{486}{8}=60.75$
【答案】
(1)A
(2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方
(3)60.75 kg
【知识点】
相似体的性质、比例运算、方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，将平面相似的性质迁移到空间几何体中，既考查对新概念的理解归纳能力，也考查结合生活实际运用性质解决问题的能力，贴合知识迁移的考查要求。
【难度系数】
0.7
