17.问题1:如图①,在$△ ABC$中,$AB=4,D$是$AB$上一点(不与点$A,B$重合),$DE// BC$交$AC$于点$E$,连接$CD$。设$△ ABC$的面积为$S$,$△ DEC$的面积(阴影部分)为$S'$。
(1)当$AD=3$时,$\frac{S'}{S}=$。
(2)设$AD=m$,请你用含字母$m$的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
问题2:如图②,在四边形$ABCD$中,$AB=4$,$AD// BC$,$AD=\frac{1}{2}BC$,$E$是$AB$上一点(不与点$A,B$重合),$EF// BC$,交$CD$于点$F$,连接$CE$。设$AE=n$,四边形$ABCD$的面积为$S$,$△ EFC$的面积(阴影部分)为$S'$。请你利用问题1的解法或结论,用含字母$n$的代数式表示$\frac{S'}{S}$。

17.问题1:(1)$\frac{3}{16}$
(2)解:$\because AB=4,AD=m$，
$\therefore BD=4-m$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}$，
$\frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{4-m}{m}$。
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}$。
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}· \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4-m}{m}· \frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16}$，
即$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$。
问题2:解:如图,连接$AC$交$EF$于点$M$。

$\because AD// BC$,且$AD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$,即$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{3}S$,$S_{△ ABC}=\frac{2}{3}S$。
由问题1的结论可知$\frac{S_{△ EMC}}{S_{△ ABC}}=\frac{-n^2+4n}{16}$。
$\therefore S_{△ EMC}=\frac{-n^2+4n}{16}· \frac{2}{3}S=\frac{-n^2+4n}{24}· S$。
$\because MF// AD$，
$\therefore △ CFM∽ △ CDA$。
$\therefore \frac{S_{△ CFM}}{S_{△ CDA}}=\frac{S_{△ CFM}}{\frac{1}{3}S}=3× \frac{S_{△ CFM}}{S}=(\frac{4-n}{4})^2$。
$\therefore S_{△ CFM}=\frac{(4-n)^2}{48}· S$。
$\therefore S_{△ EFC}=S_{△ EMC}+S_{△ CFM}=\frac{-n^2+4n}{24}· S+\frac{(4-n)^2}{48}· S=\frac{16-n^2}{48}· S$，
即$S'=\frac{16-n^2}{48}· S$。
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。

【分析】
问题1：（1）由$DE// BC$可推出$△ ADE ∽ △ ABC$，先得到$△ ADE$与$△ ABC$的面积比，再利用$△ DEC$和$△ ADE$同高，面积比等于底的比$CE:AE$，两个比值相乘即可得到$\frac{S'}{S}$。（2）类比（1）的思路，先用含$m$的式子表示相似比和$\frac{CE}{AE}$，再通过两次面积比的乘积推导$\frac{S'}{S}$的表达式。
问题2：通过连接$AC$将梯形分割为两个三角形，把四边形问题转化为问题1的三角形相似模型，分别求出阴影被$AC$分成的两个小三角形的面积，求和后与总面积作比即可。
【解析】
问题1
(1) 当$AD=3$时，$BD=4-3=1$。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$。
由平行线分线段成比例得$\frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，
$\because △ DEC$和$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{EA}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}} × \frac{S_{△ ADE}}{S}=\frac{1}{3} × \frac{9}{16}=\frac{3}{16}$。
(2) $\because AB=4,AD=m$，$\therefore BD=4-m$。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}$，且$\frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{4-m}{m}$。
$\because △ DEC$与$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}} × \frac{S_{△ ADE}}{S}=\frac{4-m}{m} × \frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16}$。
问题2
如图，连接$AC$交$EF$于点$M$。

$\because AD// BC$，且$AD=\frac{1}{2}BC$，$△ ADC$与$△ ABC$同高，面积比等于底的比$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
又$\because S=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{3}S$，$S_{△ ABC}=\frac{2}{3}S$。
由问题1的结论，在$△ ABC$中$AE=n$，可得$\frac{S_{△ EMC}}{S_{△ ABC}}=\frac{-n^2+4n}{16}$，
$\therefore S_{△ EMC}=\frac{-n^2+4n}{16} × \frac{2}{3}S=\frac{-n^2+4n}{24} · S$。
$\because MF// AD$，$\therefore △ CFM ∽ △ CDA$，相似比为$\frac{4-n}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ CFM}}{S_{△ CDA}}=(\frac{4-n}{4})^2$，代入$S_{△ CDA}=\frac{1}{3}S$得：
$S_{△ CFM}=(\frac{4-n}{4})^2 × \frac{1}{3}S=\frac{(4-n)^2}{48} · S$。
$\therefore S'=S_{△ EFC}=S_{△ EMC}+S_{△ CFM}=\frac{-n^2+4n}{24}· S+\frac{(4-n)^2}{48}· S=\frac{16-n^2}{48}· S$，
即$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
【答案】
问题1:(1)$\frac{3}{16}$
(2)$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$
问题2:$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$

【知识点】
相似三角形性质，三角形面积比，图形割补法
【点评】
本题分层设计，由浅入深，既考查了相似三角形面积比、同高三角形面积比的基础应用，又引导学生将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题解决，能有效锻炼知识迁移与转化的能力。
【难度系数】
0.6