已知一个等腰三角形的周长是15，其中一条边长是7，则这个等腰三角形的腰长是

3. 4或7

【分析】
首先，等腰三角形两条腰长度相等，已知周长和其中一条边长，这条边既可能是腰，也可能是底边，因此需要分两种情况讨论。其次，求出两种情况对应的三边长后，必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况，最终确定腰长的可能取值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若长度为7的边是腰长：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = 15 - 2×7 = 1
此时三边长为7、7、1，验证三边关系：1+7＞7，满足三角形三边关系，可构成三角形，腰长为7。
2. 若长度为7的边是底边长：
腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (15 - 7)÷2 = 4
此时三边长为4、4、7，验证三边关系：4+4＞7，满足三角形三边关系，可构成三角形，腰长为4。
【答案】
4或7
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题核心是要运用分类讨论思想，不能默认已知边是腰或底边，同时要注意通过三角形三边关系验证边长组合的合法性，避免遗漏或错解。
【难度系数】
0.7

4. 已知一个三角形的两边长分别为2 cm和3 cm，它的第三边长是偶数，则这个三角形的周长是cm.

4. 7或9

【分析】
解题时首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边长为未知数，根据三边关系列出不等式求出第三边的取值范围，再结合“第三边长是偶数”的限制条件，筛选出范围内所有符合要求的第三边长度，最后分别计算对应情况的周长即可，注意不要漏解。
【解析】
设该三角形的第三边长为$ x $ cm，根据三角形三边关系可得：
$ 3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2 $
即$ 1 ＜ x ＜ 5 $
已知第三边长是偶数，因此在$ 1 ＜ x ＜5 $的范围内，$ x $的取值为2或4：
①当$ x=2 $时，三角形周长为$ 2+2+3=7 $（cm）；
②当$ x=4 $时，三角形周长为$ 2+3+4=9 $（cm）。
【答案】
7或9
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题关键是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件筛选出符合要求的边长，解题时要注意检查所有符合范围的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8

5*.如果a,b,c为一个三角形的三边长,那么点P(a+b−c,a−b−c)在第象限.

5. 四

【分析】
要判断点P所在的象限，需先确定点P横、纵坐标的正负性。题目中点P的坐标由三角形三边长a、b、c构成，因此需要结合三角形三边关系来判断两个坐标代数式的正负：首先回忆三角形三边关系为“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，分别对横坐标、纵坐标的式子变形后判断正负，再根据各象限内点的坐标符号特征，即可确定点P所在象限。
【解析】
∵a、b、c为三角形的三边长，根据三角形三边关系：
1. 任意两边之和大于第三边，可得 $a + b ＞ c$，移项得 $a + b - c ＞ 0$，即点P的横坐标为正数；
2. 同理可得 $b + c ＞ a$，对纵坐标变形得 $a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，即点P的纵坐标为负数。
∵平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为“横坐标为正，纵坐标为负”，
∴点P(a+b−c,a−b−c)在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
三角形三边关系；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是三角形性质与平面直角坐标系基础知识点的综合应用题，解题核心是熟练运用三角形三边关系判断代数式的正负，再结合象限坐标符号特点即可得出结论，考查基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
(1)$6\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm}$；
(2)$5\ \mathrm{cm},8\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm}$；
(3)三条线段的长度之比为$4:5:6$；
(4)$a+1,a+2,a+3(a＞0)$。

1. 根据三角形的三边关系:(1)6+8＞10,可以构成三角形;(2)5+2＜8,不能构成三角形;(3)4+5＞6,可以构成三角形;(4)a+1+a+2＞a+3,可以构成三角形. 故(1)(3)(4)可以构成三角形，(2)不能构成三角形.

【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需要找出三条线段中较短的两条，计算它们的和，再与最长的线段比较即可：如果较短两边之和大于最长边，就能构成三角形，反之则不能。接下来我们用这个方法逐一判断4组线段即可。
【解析】
判定依据：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断规则为：较短两边之和＞最长边时，可构成三角形。
(1) 三条线段长为6cm，8cm，10cm，较短两边为6cm、8cm，和为6+8=14cm，14＞10，满足三边关系，可以构成三角形；
(2) 三条线段长为5cm，8cm，2cm，较短两边为2cm、5cm，和为2+5=7cm，7＜8，不满足三边关系，不能构成三角形；
(3) 设三条线段长度分别为4k、5k、6k（k＞0），较短两边为4k、5k，和为4k+5k=9k，9k＞6k，满足三边关系，可以构成三角形；
(4) 已知a＞0，三条线段长为a+1、a+2、a+3，较短两边为a+1、a+2，和为(a+1)+(a+2)=2a+3，比较2a+3与a+3的大小：2a+3-(a+3)=a＞0，即2a+3＞a+3，满足三边关系，可以构成三角形。
【答案】
(1)(3)(4)可以构成三角形，(2)不能构成三角形。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 代数式大小比较
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判定方法可以大幅提升解题效率，判断含参数的线段时要注意结合参数的取值范围分析。
【难度系数】
0.9

2. 已知$△ ABC$中，$AB=7$，$BC=2$.
(1)求边长$AC$的取值范围；
(2)若边长$AC$为奇数，判断$△ ABC$的形状，并说明理由.

2. (1)在△ABC中,根据三角形三边关系得:AB-BC＜AC＜AB+BC,
∴7-2＜AC＜7+2,即5＜AC＜9.(2)△ABC为等腰三角形,理由如下:
∵AC是奇数,由(1)可知,AC=7.
∵AB=7,
∴AB=AC,△ABC为等腰三角形.

【分析】
(1) 求解三角形第三边的取值范围，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。将已知的AB、BC长度代入该关系，即可列出关于AC的不等式，解不等式就能得到AC的取值范围。
(2) 判断三角形形状时，先结合第(1)问得到的AC取值范围，筛选出符合“AC为奇数”条件的AC的具体值，再对比三角形三条边的长度，若存在两边相等，则可判定为等腰三角形。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形三边关系可得：
$AB-BC ＜ AC ＜ AB+BC$
将$AB=7$，$BC=2$代入上式：
$7-2 ＜ AC ＜ 7+2$
计算得$5 ＜ AC ＜ 9$。
(2) $△ ABC$为等腰三角形，理由如下：
已知AC为奇数，结合(1)中$5 ＜ AC ＜ 9$的范围，可得$AC=7$。
又因为$AB=7$，所以$AB=AC$，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $5＜AC＜9$；
(2) $△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形三边关系的应用和等腰三角形的判定，解题时需注意结合前一问的结论求解后续问题，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 某木材市场上的木棍规格与价格如下表：

小明现有两根长度分别为3米和5米的木棍，他想花费最少的钱购买一根规格为整数米长的木棍做一个三角形的支架，则他应该选择的规格是哪种？

3. 设他选择的木棍长度为x米,则5-3＜x＜5+3,即2＜x＜8,由题价格表可知,木棍越长价格越高,3米规格的木棍花费最少. 答:小明应该选择3米规格的木棍.

【分析】
解题分两步思考：第一步，要构成三角形支架，需满足三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合已知的两根木棍长度，先确定第三根木棍的长度范围；第二步，观察价格表可知木棍越长价格越高，因此在符合条件的整数长度里选择最短的规格，就能实现花费最少的要求，同时要注意可选规格为表格给出的整数规格。
【解析】
解：设购买的第三根木棍长度为$x$米。
根据三角形三边关系可得：
$5-3 ＜ x ＜ 5+3$
即$2 ＜ x ＜ 8$
因为$x$为整数，且表格中现有最大规格为6米，所以$x$的可选值为3、4、5、6。
结合价格表规律：木棍长度越长，价格越高，因此要花费最少需选择最小的符合条件的$x$，即3米。
【答案】
小明应该选择3米规格的木棍。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 最优方案选择
【点评】
这道题结合生活消费场景命题，既考查了三角形三边关系的实际应用，又需要学生结合价格规律筛选最优方案，能有效锻炼学生将数学知识运用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8