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4. 已知$△ ABC$的三边分别为$a,b,c$.
(1)化简:$|a+b-c|+|b-a-c|$;
(2)当$a=6,b=8,c$取最大整数时,求$△ ABC$的周长.
(1)化简:$|a+b-c|+|b-a-c|$;
(2)当$a=6,b=8,c$取最大整数时,求$△ ABC$的周长.
答案
4. (1)
∵△ABC的三边分别为a,b,c,
∴a+b-c＞0,b-a-c＜0,
∴|a+b-c|+|b-a-c|=a+b-c-b+a+c=2a. (2)①
∵a=6,b=8,
∴8-6＜c＜8+6,即2＜c＜14.
∵c取最大整数,
∴c=13,
∴△ABC的周长为a+b+c=6+8+13=27.
∵△ABC的三边分别为a,b,c,
∴a+b-c＞0,b-a-c＜0,
∴|a+b-c|+|b-a-c|=a+b-c-b+a+c=2a. (2)①
∵a=6,b=8,
∴8-6＜c＜8+6,即2＜c＜14.
∵c取最大整数,
∴c=13,
∴△ABC的周长为a+b+c=6+8+13=27.
解析
【分析】
(1)化简带绝对值的式子首先要判断绝对值内代数式的正负，我们可以借助三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，分别判断两个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2)求三角形周长需要先确定第三边c的取值，依然利用三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，求出c的取值范围后找到范围内的最大整数，最后将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1)
∵△ABC的三边分别为a,b,c，根据三角形两边之和大于第三边的性质
∴a+b＞c，a+c＞b
∴a+b-c＞0，b-a-c=b-(a+c)＜0
∴|a+b-c|+|b-a-c|
=(a+b-c)+[-(b-a-c)]
=a+b-c-b+a+c
=2a
(2)已知a=6，b=8，根据三角形三边关系可得：
b-a ＜ c ＜ b+a，即8-6 ＜ c ＜ 8+6
∴2 ＜ c ＜ 14
∵c取最大整数
∴c=13
∴△ABC的周长为a+b+c=6+8+13=27
【答案】
(1)2a；(2)27
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形边的性质的基础应用题，将三边性质与绝对值化简、整数解求解相结合，核心考点是三角形三边关系的应用，解题时注意去绝对值时符号的变换，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
(1)化简带绝对值的式子首先要判断绝对值内代数式的正负，我们可以借助三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，分别判断两个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2)求三角形周长需要先确定第三边c的取值，依然利用三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，求出c的取值范围后找到范围内的最大整数，最后将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1)
∵△ABC的三边分别为a,b,c，根据三角形两边之和大于第三边的性质
∴a+b＞c，a+c＞b
∴a+b-c＞0，b-a-c=b-(a+c)＜0
∴|a+b-c|+|b-a-c|
=(a+b-c)+[-(b-a-c)]
=a+b-c-b+a+c
=2a
(2)已知a=6，b=8，根据三角形三边关系可得：
b-a ＜ c ＜ b+a，即8-6 ＜ c ＜ 8+6
∴2 ＜ c ＜ 14
∵c取最大整数
∴c=13
∴△ABC的周长为a+b+c=6+8+13=27
【答案】
(1)2a；(2)27
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形边的性质的基础应用题，将三边性质与绝对值化简、整数解求解相结合，核心考点是三角形三边关系的应用，解题时注意去绝对值时符号的变换，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
如图3，$P_1$，$P_2$是$△ ABC$内两点，试比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$△ ABC$的周长的大小，并说明理由.（提示：延长$BP_1$、$CP_2$交于$D$点，此题为教材P21第3题的深入思考，感兴趣的同学可继续思考三角形内有三个点、四个点的类似情况，甚至推广到三角形内$n$个点的类似结论）
答案
提示:延长$BP_1$、$CP_2$交于$D$点,用三角形三边不等关系说明.
解析
【分析】
要比较四边形$BP_1P_2C$和$△ ABC$的周长大小，先分别写出两个周长的表达式：四边形周长为$BP_1+P_1P_2+P_2C+BC$，$△ ABC$周长为$AB+AC+BC$，二者都包含公共边$BC$，因此只需证明$AB+AC＞BP_1+P_1P_2+P_2C$即可。根据题目提示延长$BP_1$、$CP_2$交于点$D$，再利用三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别在不同三角形中列出线段不等关系，将不等式相加整理即可得到结论。
【解析】
四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
1. 延长$BP_1$、$CP_2$交于点$D$，延长$BD$交$AC$于点$E$。
2. 根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）：
在$△ ABE$中：$AB + AE ＞ BE = BD + DE$ ①
在$△ CDE$中：$DE + EC ＞ CD$ ②
将①②相加，两边同时消去$DE$，得：
$AB + AE + EC ＞ BD + CD$，即$AB + AC ＞ BD + CD$ ③
3. 在$△ DP_1P_2$中，根据三边关系：$P_1D + P_2D ＞ P_1P_2$ ④
而$BD + CD = BP_1 + P_1D + P_2D + P_2C$，结合④可得：
$BD + CD ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C$ ⑤
4. 结合③和⑤，根据不等式的传递性得：$AB + AC ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C$
两边同时加$BC$，得：$AB + AC + BC ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C + BC$
即$△ ABC$的周长大于四边形$BP_1P_2C$的周长。
【答案】
四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长。
【知识点】
三角形三边关系；周长的定义；不等式的性质
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系比较线段和的大小，解题关键是通过作辅助线将分散的线段转化到不同三角形中建立不等关系，再通过不等式的传递性得到最终结论，该方法可推广到三角形内有多个点的同类周长比较问题。
【难度系数】
0.7
要比较四边形$BP_1P_2C$和$△ ABC$的周长大小，先分别写出两个周长的表达式：四边形周长为$BP_1+P_1P_2+P_2C+BC$，$△ ABC$周长为$AB+AC+BC$，二者都包含公共边$BC$，因此只需证明$AB+AC＞BP_1+P_1P_2+P_2C$即可。根据题目提示延长$BP_1$、$CP_2$交于点$D$，再利用三角形“两边之和大于第三边”的性质，分别在不同三角形中列出线段不等关系，将不等式相加整理即可得到结论。
【解析】
四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
1. 延长$BP_1$、$CP_2$交于点$D$，延长$BD$交$AC$于点$E$。
2. 根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）：
在$△ ABE$中：$AB + AE ＞ BE = BD + DE$ ①
在$△ CDE$中：$DE + EC ＞ CD$ ②
将①②相加，两边同时消去$DE$，得：
$AB + AE + EC ＞ BD + CD$，即$AB + AC ＞ BD + CD$ ③
3. 在$△ DP_1P_2$中，根据三边关系：$P_1D + P_2D ＞ P_1P_2$ ④
而$BD + CD = BP_1 + P_1D + P_2D + P_2C$，结合④可得：
$BD + CD ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C$ ⑤
4. 结合③和⑤，根据不等式的传递性得：$AB + AC ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C$
两边同时加$BC$，得：$AB + AC + BC ＞ BP_1 + P_1P_2 + P_2C + BC$
即$△ ABC$的周长大于四边形$BP_1P_2C$的周长。
【答案】
四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长。
【知识点】
三角形三边关系；周长的定义；不等式的性质
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系比较线段和的大小，解题关键是通过作辅助线将分散的线段转化到不同三角形中建立不等关系，再通过不等式的传递性得到最终结论，该方法可推广到三角形内有多个点的同类周长比较问题。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 点D是非等腰$△ ABC$的边BC上一点，连接AD，已知AD将$△ ABC$分成的两部分面积相等，则AD是$△ ABC$(
A.边BC上的高
B.边BC上的中线
C.$∠ BAC$的平分线
D.无法确定
1. 点D是非等腰$△ ABC$的边BC上一点，连接AD，已知AD将$△ ABC$分成的两部分面积相等，则AD是$△ ABC$(
B
)A.边BC上的高
B.边BC上的中线
C.$∠ BAC$的平分线
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
要判断AD是三角形的哪条线段，可从“AD将△ABC分成面积相等的两部分”入手。首先回忆三角形面积公式为底×高÷2，△ABD和△ACD有公共的高（即点A到BC边的垂线段长度），当两个三角形高相等时，面积相等意味着底边长相等，由此可推出D点的位置，再对应三角形各类线段的定义即可得出结论。
【解析】
设点A到边BC的距离为h，那么：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × BD × h$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × CD × h$
由题意得$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，因此：
$\frac{1}{2} × BD × h = \frac{1}{2} × CD × h$
两边同时约去$\frac{1}{2}h$，可得$BD=CD$，即D是BC的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC边BC上的中线。
A选项：只有等腰三角形底边上的高才同时平分面积，题目明确为非等腰三角形，不符合；C选项：角平分线只有在AB=AC时才同时是中线平分面积，非等腰时不满足，排除。
【答案】B
【知识点】三角形面积公式，三角形中线的定义
【点评】本题属于基础概念应用题，解题核心是掌握“等高的两个三角形，面积比等于底边长的比”这一规律，同时要准确区分三角形的高、中线、角平分线的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
要判断AD是三角形的哪条线段，可从“AD将△ABC分成面积相等的两部分”入手。首先回忆三角形面积公式为底×高÷2，△ABD和△ACD有公共的高（即点A到BC边的垂线段长度），当两个三角形高相等时，面积相等意味着底边长相等，由此可推出D点的位置，再对应三角形各类线段的定义即可得出结论。
【解析】
设点A到边BC的距离为h，那么：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × BD × h$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × CD × h$
由题意得$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，因此：
$\frac{1}{2} × BD × h = \frac{1}{2} × CD × h$
两边同时约去$\frac{1}{2}h$，可得$BD=CD$，即D是BC的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可知AD是△ABC边BC上的中线。
A选项：只有等腰三角形底边上的高才同时平分面积，题目明确为非等腰三角形，不符合；C选项：角平分线只有在AB=AC时才同时是中线平分面积，非等腰时不满足，排除。
【答案】B
【知识点】三角形面积公式，三角形中线的定义
【点评】本题属于基础概念应用题，解题核心是掌握“等高的两个三角形，面积比等于底边长的比”这一规律，同时要准确区分三角形的高、中线、角平分线的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图
,在$△ ABC$中,已知$∠ ACB=60°$,$CM$平分$∠ ACB$,则$∠ BCM$的度数是(
A.$15°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
,在$△ ABC$中,已知$∠ ACB=60°$,$CM$平分$∠ ACB$,则$∠ BCM$的度数是(B
)A.$15°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角，且两个小角的度数均等于原角度数的一半。本题已知CM是∠ACB的角平分线，要求∠BCM的度数，只需用∠ACB的度数除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵CM平分∠ACB，根据角平分线的定义，
∴$∠ BCM=\frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=60°$，
∴$∠ BCM=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；角的度数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角平分线定义的理解与应用，计算量小，只要熟练掌握相关概念即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角，且两个小角的度数均等于原角度数的一半。本题已知CM是∠ACB的角平分线，要求∠BCM的度数，只需用∠ACB的度数除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵CM平分∠ACB，根据角平分线的定义，
∴$∠ BCM=\frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵$∠ ACB=60°$，
∴$∠ BCM=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；角的度数计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对角平分线定义的理解与应用，计算量小，只要熟练掌握相关概念即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是(
D
) 答案
3.D
解析
【分析】
解这道题首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。要判断线段BE是不是△ABC的高，需要满足两个条件：一是线段的一端是顶点B，二是BE和AC边所在的直线互相垂直。我们带着这两个判断标准逐一排查四个选项，排除不符合要求的即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
A选项：BE的垂足为点B，且BE⊥BC，不满足垂直于AC的要求，不是△ABC的高；
B选项：BE的垂足为点B，且BE⊥AB，不满足垂直于AC的要求，不是△ABC的高；
C选项：BE与AC为斜交，不满足垂直的要求，不是△ABC的高；
D选项：BE是从顶点B出发，向AC边作的垂线段，垂足E在AC边上，完全符合三角形高的定义，是△ABC的高。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形高的定义的准确理解，需要注意三角形的高可以作在三角形内部、外部或者边上，只要满足过顶点、垂直于对边所在直线两个要求即可，牢记定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。要判断线段BE是不是△ABC的高，需要满足两个条件：一是线段的一端是顶点B，二是BE和AC边所在的直线互相垂直。我们带着这两个判断标准逐一排查四个选项，排除不符合要求的即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
A选项：BE的垂足为点B，且BE⊥BC，不满足垂直于AC的要求，不是△ABC的高；
B选项：BE的垂足为点B，且BE⊥AB，不满足垂直于AC的要求，不是△ABC的高；
C选项：BE与AC为斜交，不满足垂直的要求，不是△ABC的高；
D选项：BE是从顶点B出发，向AC边作的垂线段，垂足E在AC边上，完全符合三角形高的定义，是△ABC的高。
【答案】
D
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形高的定义的准确理解，需要注意三角形的高可以作在三角形内部、外部或者边上，只要满足过顶点、垂直于对边所在直线两个要求即可，牢记定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
