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4*. 如图9,方格中的点A、B、C、D、E称为格点(格线的交点),以这5个格点中的3点为顶点画三角形,一共可以画多少个?其中,哪些是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形?哪些是等腰三角形?
答案
4. 如图,一共可以画9个三角形,其中:△ABE,△BCE,△CDE是直角三角形;△ACD,△BCD,△ABD是钝角三角形;△ADE,△AEC,△BDE是锐角三角形;△AEC,△CDE是等腰三角形.
解析
【分析】
解题时第一步先计算可画出的三角形总数：先枚举从5个点中任选3个点的所有组合，再减去三点共线的情况，即可得到三角形总个数；第二步对得到的三角形进行分类：可以设每个小方格边长为1，通过计算各边长度的平方，结合勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再根据最大角的大小区分钝角、锐角三角形，最后找出有两条边长度相等的三角形即为等腰三角形。
【解析】
1. 计算三角形总个数：
从5个格点中任选3个点，枚举所有组合可知共有10种选法，其中A、B、C三点在同一条直线上，无法构成三角形，因此一共可以画$10-1=9$个三角形。
2. 分类判断三角形：
设每个小方格的边长为1，计算各边长度的平方，结合勾股定理逆定理和角的大小判断：
(1) 直角三角形：有一个角为90°的三角形，满足两边平方和等于第三边平方：
△ABE中EB垂直AB，∠ABE=90°；△BCE中EB垂直BC，∠CBE=90°；△CDE中$CD^2+DE^2=CE^2$，∠CDE=90°，因此这三个是直角三角形。
(2) 钝角三角形：有一个角大于90°的三角形，满足对应两边平方和小于第三边平方：
△ACD、△BCD、△ABD中均存在一个大于90°的角，属于钝角三角形。
(3) 锐角三角形：三个角都小于90°的三角形，满足任意两边平方和大于第三边平方：
△ADE、△AEC、△BDE的三个角都为锐角，属于锐角三角形。
(4) 等腰三角形：有两条边长度相等的三角形：
△AEC中AE=CE，△CDE中CD=DE，因此这两个是等腰三角形。
【答案】
一共可以画9个三角形，其中:△ABE,△BCE,△CDE是直角三角形;△ACD,△BCD,△ABD是钝角三角形;△ADE,△AEC,△BDE是锐角三角形;△AEC,△CDE是等腰三角形。
【知识点】
三角形的计数，三角形分类，勾股定理逆定理
【点评】
本题需要先排除三点共线的情况准确计数三角形，再结合格点特征判断三角形的类型，既考查了三角形的基础概念，也锻炼了分类讨论的思维能力，解题时注意不要漏数或错判三角形类型。
【难度系数】
0.7
解题时第一步先计算可画出的三角形总数：先枚举从5个点中任选3个点的所有组合，再减去三点共线的情况，即可得到三角形总个数；第二步对得到的三角形进行分类：可以设每个小方格边长为1，通过计算各边长度的平方，结合勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再根据最大角的大小区分钝角、锐角三角形，最后找出有两条边长度相等的三角形即为等腰三角形。
【解析】
1. 计算三角形总个数：
从5个格点中任选3个点，枚举所有组合可知共有10种选法，其中A、B、C三点在同一条直线上，无法构成三角形，因此一共可以画$10-1=9$个三角形。
2. 分类判断三角形：
设每个小方格的边长为1，计算各边长度的平方，结合勾股定理逆定理和角的大小判断：
(1) 直角三角形：有一个角为90°的三角形，满足两边平方和等于第三边平方：
△ABE中EB垂直AB，∠ABE=90°；△BCE中EB垂直BC，∠CBE=90°；△CDE中$CD^2+DE^2=CE^2$，∠CDE=90°，因此这三个是直角三角形。
(2) 钝角三角形：有一个角大于90°的三角形，满足对应两边平方和小于第三边平方：
△ACD、△BCD、△ABD中均存在一个大于90°的角，属于钝角三角形。
(3) 锐角三角形：三个角都小于90°的三角形，满足任意两边平方和大于第三边平方：
△ADE、△AEC、△BDE的三个角都为锐角，属于锐角三角形。
(4) 等腰三角形：有两条边长度相等的三角形：
△AEC中AE=CE，△CDE中CD=DE，因此这两个是等腰三角形。
【答案】
一共可以画9个三角形，其中:△ABE,△BCE,△CDE是直角三角形;△ACD,△BCD,△ABD是钝角三角形;△ADE,△AEC,△BDE是锐角三角形;△AEC,△CDE是等腰三角形。
【知识点】
三角形的计数，三角形分类，勾股定理逆定理
【点评】
本题需要先排除三点共线的情况准确计数三角形，再结合格点特征判断三角形的类型，既考查了三角形的基础概念，也锻炼了分类讨论的思维能力，解题时注意不要漏数或错判三角形类型。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 以下列各组线段长为边能构成三角形的是(
A.3 cm,2 cm,5 cm
B.7 cm,3 cm,3 cm
C.4 cm,5 cm,6 cm
D.8 cm,10 cm,20 cm
1. 以下列各组线段长为边能构成三角形的是(
C
)A.3 cm,2 cm,5 cm
B.7 cm,3 cm,3 cm
C.4 cm,5 cm,6 cm
D.8 cm,10 cm,20 cm
答案
1. C
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以采用更简便的判断方法：找出三条线段中最长的那条，只需要验证另外两条较短的线段长度之和是否大于最长线段的长度即可，因为如果两条短边的和都大于最长边，那么最长边加任意一条短边必然大于另一条短边，天然满足三边关系。接下来我们逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系的简便判断规则：较短两边之和大于最长边时，三条线段可构成三角形。
A选项：三条边为2cm、3cm、5cm，最长边是5cm，较短两边之和为2+3=5cm，和等于最长边，不满足要求，不能构成三角形；
B选项：三条边为3cm、3cm、7cm，最长边是7cm，较短两边之和为3+3=6cm，和小于最长边，不满足要求，不能构成三角形；
C选项：三条边为4cm、5cm、6cm，最长边是6cm，较短两边之和为4+5=9cm，和大于最长边，满足三边关系，可以构成三角形；
D选项：三条边为8cm、10cm、20cm，最长边是20cm，较短两边之和为8+10=18cm，和小于最长边，不满足要求，不能构成三角形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形三边关系的理解与应用，掌握“较短两边之和与最长边比较”的简便判断方法，能够快速得出结论，避免不必要的重复计算。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以采用更简便的判断方法：找出三条线段中最长的那条，只需要验证另外两条较短的线段长度之和是否大于最长线段的长度即可，因为如果两条短边的和都大于最长边，那么最长边加任意一条短边必然大于另一条短边，天然满足三边关系。接下来我们逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系的简便判断规则：较短两边之和大于最长边时，三条线段可构成三角形。
A选项：三条边为2cm、3cm、5cm，最长边是5cm，较短两边之和为2+3=5cm，和等于最长边，不满足要求，不能构成三角形；
B选项：三条边为3cm、3cm、7cm，最长边是7cm，较短两边之和为3+3=6cm，和小于最长边，不满足要求，不能构成三角形；
C选项：三条边为4cm、5cm、6cm，最长边是6cm，较短两边之和为4+5=9cm，和大于最长边，满足三边关系，可以构成三角形；
D选项：三条边为8cm、10cm、20cm，最长边是20cm，较短两边之和为8+10=18cm，和小于最长边，不满足要求，不能构成三角形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对三角形三边关系的理解与应用，掌握“较短两边之和与最长边比较”的简便判断方法，能够快速得出结论，避免不必要的重复计算。
【难度系数】
0.9
2. 已知三角形的两边长分别为4 cm和9 cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(
A.13 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
B
)A.13 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪条线段能作为三角形的第三边，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两条边长，求出第三边的取值范围，再将选项中的长度逐一和取值范围对比，落在范围内的就是正确答案。
【解析】
设第三边的长度为$ x \ \mathrm{cm} $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即 $ 9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4 $
计算得：$ 5 ＜ x ＜ 13 $
逐一分析选项：
A. $ 13\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＜13 $，不符合要求；
B. $ 6\ \mathrm{cm} $，满足$ 5＜6＜13 $，符合要求；
C. $ 5\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＞5 $，不符合要求；
D. $ 4\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＞5 $，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记三角形三边关系并准确求出第三边的取值范围，需要注意第三边的取值范围不包含两边之和与两边之差这两个端点，避免误选等于端点值的选项。
【难度系数】
0.8
要判断哪条线段能作为三角形的第三边，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两条边长，求出第三边的取值范围，再将选项中的长度逐一和取值范围对比，落在范围内的就是正确答案。
【解析】
设第三边的长度为$ x \ \mathrm{cm} $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即 $ 9 - 4 ＜ x ＜ 9 + 4 $
计算得：$ 5 ＜ x ＜ 13 $
逐一分析选项：
A. $ 13\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＜13 $，不符合要求；
B. $ 6\ \mathrm{cm} $，满足$ 5＜6＜13 $，符合要求；
C. $ 5\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＞5 $，不符合要求；
D. $ 4\ \mathrm{cm} $，不满足$ x＞5 $，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记三角形三边关系并准确求出第三边的取值范围，需要注意第三边的取值范围不包含两边之和与两边之差这两个端点，避免误选等于端点值的选项。
【难度系数】
0.8
3. 已知等腰三角形的两条边长分别为4 cm和9 cm,则它的周长为(
A.17 cm
B.22 cm
C.19 cm
D.17 cm或22 cm
B
)A.17 cm
B.22 cm
C.19 cm
D.17 cm或22 cm
答案
3. B
解析
【分析】
首先，等腰三角形的边分为腰和底边，题干未明确4cm和9cm哪个是腰哪个是底，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰，9cm为底；②9cm为腰，4cm为底。接下来要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若腰长为4cm，底边长为9cm：
此时两腰长度之和为$4+4=8\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9cm，底边长为4cm：
此时$9+9=18\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，$9+4=13\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为$9+9+4=22\mathrm{cm}$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的特征；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】本题易错点是忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长错选D，解题时要牢记只有满足三边关系的三条线段才能构成三角形，分类讨论后一定要验证合理性。
【难度系数】0.6
首先，等腰三角形的边分为腰和底边，题干未明确4cm和9cm哪个是腰哪个是底，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰，9cm为底；②9cm为腰，4cm为底。接下来要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若腰长为4cm，底边长为9cm：
此时两腰长度之和为$4+4=8\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9cm，底边长为4cm：
此时$9+9=18\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，$9+4=13\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为$9+9+4=22\mathrm{cm}$。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的特征；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】本题易错点是忽略验证三角形三边关系，直接计算两种情况的周长错选D，解题时要牢记只有满足三边关系的三条线段才能构成三角形，分类讨论后一定要验证合理性。
【难度系数】0.6
4. 三条线段的长度比如下,不能组成三角形的是(
A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$3:4:5$
D.$4:5:6$
A
)A.$1:2:3$
B.$2:3:4$
C.$3:4:5$
D.$4:5:6$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。题目给出的是三条线段的长度比，我们可以设每一份的长度为正数k，将各边用含k的式子表示后，只需要验证较小两条边的和是否大于最大边即可（如果较小两边之和都大于最大边，其余两边之和必然大于第三边，可减少计算量），如果不满足该条件，就不能组成三角形。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边的长度之和大于第三边。
设三条线段长度的每一份为k（k＞0），逐一分析选项：
A. 三条线段长度分别为k、2k、3k，因为$k+2k=3k$，两边之和等于第三边，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长度分别为2k、3k、4k，较小两边之和为$2k+3k=5k＞4k$，满足三边关系，可以组成三角形；
C. 三条线段长度分别为3k、4k、5k，较小两边之和为$3k+4k=7k＞5k$，满足三边关系，可以组成三角形；
D. 三条线段长度分别为4k、5k、6k，较小两边之和为$4k+5k=9k＞6k$，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时可利用“验证较小两边之和大于最大边”的技巧简化计算，避免逐一验证所有组合，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。题目给出的是三条线段的长度比，我们可以设每一份的长度为正数k，将各边用含k的式子表示后，只需要验证较小两条边的和是否大于最大边即可（如果较小两边之和都大于最大边，其余两边之和必然大于第三边，可减少计算量），如果不满足该条件，就不能组成三角形。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边的长度之和大于第三边。
设三条线段长度的每一份为k（k＞0），逐一分析选项：
A. 三条线段长度分别为k、2k、3k，因为$k+2k=3k$，两边之和等于第三边，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长度分别为2k、3k、4k，较小两边之和为$2k+3k=5k＞4k$，满足三边关系，可以组成三角形；
C. 三条线段长度分别为3k、4k、5k，较小两边之和为$3k+4k=7k＞5k$，满足三边关系，可以组成三角形；
D. 三条线段长度分别为4k、5k、6k，较小两边之和为$4k+5k=9k＞6k$，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时可利用“验证较小两边之和大于最大边”的技巧简化计算，避免逐一验证所有组合，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
5*. 已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为(
A.2
B.3
C.5
D.7
B
)A.2
B.3
C.5
D.7
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以利用这个关系先求出x的取值范围，再结合x是正整数的条件，统计符合要求的x的个数，就能得到符合条件的三角形的个数。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
第三边x需要满足 $13 - 2 ＜ x ＜ 13 + 2$
计算得 $11 ＜ x ＜ 15$
因为x为正整数，所以x可取的值为12、13、14，共3个，即这样的三角形有3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；不等式的整数解
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是正确利用三边关系列出不等式求出第三边的取值范围，再结合限制条件筛选符合要求的解，掌握三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以利用这个关系先求出x的取值范围，再结合x是正整数的条件，统计符合要求的x的个数，就能得到符合条件的三角形的个数。
【解析】
根据三角形三边关系可得：
第三边x需要满足 $13 - 2 ＜ x ＜ 13 + 2$
计算得 $11 ＜ x ＜ 15$
因为x为正整数，所以x可取的值为12、13、14，共3个，即这样的三角形有3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；不等式的整数解
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是正确利用三边关系列出不等式求出第三边的取值范围，再结合限制条件筛选符合要求的解，掌握三边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是
三角形具有稳定性
.答案
1. 三角形具有稳定性
解析
【分析】
首先明确长方形属于四边形，四边形具有不稳定性，容易发生形变；当添加木条EF后，EF与原长方形的相邻两条边共同构成了三角形结构，回忆三角形独有的结构特性，即可推导得出固定门框不变形的依据。
【解析】
长方形门框ABCD本身是四边形，四边形具有不稳定性，在外力作用下容易变形。加上木条EF后，EF与原门框的两条相邻边共同组成了三角形结构，而三角形具有稳定性，能够保持结构的固定形态，因此可以防止门框变形。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形特性在生活中的实际应用类考题，要求学生能够结合生活场景，运用几何图形的基础特性分析解决实际问题，属于基础概念的生活化考查。
【难度系数】
0.9
首先明确长方形属于四边形，四边形具有不稳定性，容易发生形变；当添加木条EF后，EF与原长方形的相邻两条边共同构成了三角形结构，回忆三角形独有的结构特性，即可推导得出固定门框不变形的依据。
【解析】
长方形门框ABCD本身是四边形，四边形具有不稳定性，在外力作用下容易变形。加上木条EF后，EF与原门框的两条相邻边共同组成了三角形结构，而三角形具有稳定性，能够保持结构的固定形态，因此可以防止门框变形。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形特性在生活中的实际应用类考题，要求学生能够结合生活场景，运用几何图形的基础特性分析解决实际问题，属于基础概念的生活化考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图
,在$△ ABC$中,有$AB+AC$
,在$△ ABC$中,有$AB+AC$＞
$BC$(填“＞”“＜”或“=”),理由是三角形两边的和大于第三边
,这个结论是由基本事实两点之间线段最短
得到的.答案
2. ＞,三角形两边的和大于第三边,两点之间线段最短
解析
【分析】
拿到题目首先明确考查的是三角形边的大小关系，我们可以将AB+AC看作连接点B和点C的折线长度，BC是连接B、C两点的线段长度。首先回忆学过的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短，因此折线长度必然大于线段长度，即可得出AB+AC与BC的大小关系，这个大小关系对应的就是三角形三边的相关性质，其推导依据就是上述的基本事实。
【解析】
在△ABC中，AB、AC的长度和是从点B出发经过点A到点C的折线总长度，BC是直接连接点B和点C的线段长度。根据基本事实“两点之间，线段最短”，可得折线长度大于线段长度，即$AB+AC＞BC$，这个结论就是三角形的三边性质：三角形两边的和大于第三边。
【答案】
＞,三角形两边的和大于第三边,两点之间线段最短
【知识点】
三角形三边关系；两点之间线段最短
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对三角形三边关系及其推导依据的理解和记忆，熟练掌握相关基本事实和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确考查的是三角形边的大小关系，我们可以将AB+AC看作连接点B和点C的折线长度，BC是连接B、C两点的线段长度。首先回忆学过的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短，因此折线长度必然大于线段长度，即可得出AB+AC与BC的大小关系，这个大小关系对应的就是三角形三边的相关性质，其推导依据就是上述的基本事实。
【解析】
在△ABC中，AB、AC的长度和是从点B出发经过点A到点C的折线总长度，BC是直接连接点B和点C的线段长度。根据基本事实“两点之间，线段最短”，可得折线长度大于线段长度，即$AB+AC＞BC$，这个结论就是三角形的三边性质：三角形两边的和大于第三边。
【答案】
＞,三角形两边的和大于第三边,两点之间线段最短
【知识点】
三角形三边关系；两点之间线段最短
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对三角形三边关系及其推导依据的理解和记忆，熟练掌握相关基本事实和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
