一、选择题
1. 如图1，下列说法错误的是()

A.$∠ EFD$是$△ BFC$的一个外角
B.$∠ DFC$是$△ BFC$的一个外角
C.$∠ EFD+∠ FBC+∠ FCB=180°$
D.$∠ CDF=∠ A+∠ ABD$

1. A

【分析】
解题时我们先回忆三角形外角的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质这几个核心知识点，再结合图形逐个分析选项：首先根据外角的三个特征（顶点在三角形顶点上、一条边是三角形的边、另一条边是三角形边的反向延长线）判断A、B选项的正误；再结合对顶角相等和三角形内角和定理判断C选项；最后利用三角形外角的性质判断D选项，最终找出错误的选项。
【解析】
我们结合定义和性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：三角形的外角需要满足一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的反向延长线。∠EFD是∠BFC的对顶角，它的两条边都不是△BFC的边，不符合三角形外角的定义，不是△BFC的外角，该选项说法错误。
2. 分析选项B：∠DFC的顶点F是△BFC的顶点，一边FC是△BFC的边，另一边FD是△BFC的边BF的反向延长线，符合外角的定义，是△BFC的外角，该选项说法正确。
3. 分析选项C：∠EFD与∠BFC是对顶角，因此∠EFD=∠BFC；根据三角形内角和定理，△BFC中∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°，等量代换可得∠EFD+∠FBC+∠FCB=180°，该选项说法正确。
4. 分析选项D：∠CDF是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此∠CDF=∠A+∠ABD，该选项说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对三角形外角定义和相关性质的掌握，解题时要注意抓住外角的特征进行判断，结合对顶角、内角和等性质即可快速得出结论，做题时要注意题目要求选择的是错误的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7

2. 如图2，∠1，∠2，∠3的大小关系为()

A.∠2＞∠1＞∠3
B.∠1＞∠3＞∠2
C.∠3＞∠2＞∠1
D.∠1＞∠2＞∠3

2. D

【分析】
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可利用三角形外角的性质推导：首先回忆三角形外角的核心性质：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。第一步先判断∠1与∠2的大小：观察图形可知∠1是某三角形的外角，∠2是该三角形和∠1不相邻的内角，可得∠1＞∠2；第二步判断∠2与∠3的大小：∠2是另一三角形的外角，∠3是该三角形和∠2不相邻的内角，可得∠2＞∠3；最后结合两个不等关系即可得出三个角的大小排序。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
由图可得：∠1是含∠2为内角的三角形的外角，且∠2与∠1不相邻，因此∠1＞∠2；
同理，∠2是含∠3为内角的三角形的外角，且∠3与∠2不相邻，因此∠2＞∠3；
联立可得∠1＞∠2＞∠3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题关键是准确识别外角及其对应的不相邻内角，熟练掌握性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 在任意一个三角形的每个顶点处取一个外角,这三个外角中至少有()

A.一个钝角
B.两个钝角
C.一个锐角
D.两个锐角

3. B

【分析】
要解决这道题，我们可以结合三角形内角的性质和内外角的互补关系推导：首先回忆三角形内角和为180°，由此先确定三角形内角中锐角的最少个数，再根据外角与相邻内角和为180°的关系，就能推出外角中钝角的最少个数，最后逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180°，因此三角形中最多只能有1个内角是直角或钝角，剩余至少2个内角是锐角。
2. 三角形的每个外角与相邻的内角互为邻补角，即二者和为180°：若内角为锐角，则对应的外角=180°-锐角＞90°，属于钝角。
3. 结合上述两点：三角形至少有2个内角是锐角，因此对应的外角至少有2个钝角。
4. 排除错误选项：
A选项“一个钝角”不符合推导结果，错误；
C选项“一个锐角”：当三角形为锐角三角形时，三个内角都是锐角，对应的三个外角都是钝角，不存在锐角外角，错误；
D选项“两个锐角”：三角形最多只有1个内角是钝角，对应最多1个外角是锐角，不可能有2个锐角外角，错误。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角性质；三角形外角定义
【点评】
本题是三角形内外角性质的基础应用题，解题的核心是先通过内角和定理确定内角中锐角的最少数量，再结合内外角互补的关系推导外角的特征，能够有效考察对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

4. 将一副锐角$30°,45°$的直角三角板,按如图3所示叠放在一起,则图中$∠α$的度数是()




A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$90°$

4. C

【分析】
首先明确两种直角三角板的固定角度：含30°角的直角三角板的锐角分别为30°、60°，含45°角的等腰直角三角板的两个锐角均为45°。解题时先观察∠α的位置，结合三角形外角的性质，找到与∠α不相邻的两个内角，即可计算出∠α的度数。
【解析】
根据三角板的角度特征可知，叠放后∠α是某三角形的外角，与它不相邻的两个内角分别为30°和45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠α = 30° + 45° = 75°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质、三角板角度特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角板固定角度的识记和三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 如图4，若$∠α=125°,∠1=50°$,则$∠β=$.

1. 105°

【分析】
解题思路如下：首先观察图形，∠α与三角形的一个内角构成平角，可先根据平角的定义求出这个内角的度数；再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠β等于∠1与刚才求出的内角的和，代入数值计算即可得到∠β的度数。
【解析】
解：
∵ ∠α与三角形的一个内角互为邻补角，且∠α=125°
∴ 该内角的度数为：$180° - ∠α = 180° - 125° = 55°$
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠β = ∠1 + 55°$
将$∠1=50°$代入上式：
$∠β = 50° + 55° = 105°$
【答案】
$105°$
【知识点】
平角的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查三角形外角性质的应用，解题的关键是先求出与∠α相邻的三角形内角度数，再结合外角性质计算，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

2. 如图5，$AB// CD$，$∠ D=40°$，$∠ B=45°$，则$∠ 1=$。

2. 85°

【分析】
解题思路可分为两步：首先，题目给出AB//CD，根据平行线的性质可以得到与∠D相等的内错角，该角是包含∠1的三角形的一个不相邻内角；其次，观察∠1的位置可知它是三角形的外角，结合三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠B和转化得到的角相加即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ AB//CD（已知），
∴ 与∠D互为内错角的角度数等于∠D=40°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠1是对应三角形的外角，
∴ 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得
∠1=∠B + 40°，
代入∠B=45°，计算得∠1=45°+40°=85°。
【答案】
85°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查平行线与三角形外角的相关性质，解题核心是通过平行线的性质完成角的转化，再结合外角性质计算结果，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图6，CF为∠ECB的平分线，∠A=40°，∠BCF=70°，则∠CBF=.

3. 80°

【分析】
解题时先从已知的角平分线条件入手，利用角平分线的性质求出∠ECB的度数；再结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可算出∠ABC的度数；最后根据邻补角之和为180°，就能推导出∠CBF的大小。
【解析】
解：
∵ CF为∠ECB的平分线，∠BCF=70°，
∴ ∠ECB=2∠BCF=2×70°=140°，
∵ ∠ECB是△ABC的外角，
∴ 根据三角形外角的性质可得：∠ECB=∠A+∠ABC，
又
∵ ∠A=40°，
∴ ∠ABC=∠ECB-∠A=140°-40°=100°，
∵ ∠ABC与∠CBF互为邻补角，
∴ ∠CBF=180°-∠ABC=180°-100°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是考查多个基础几何性质的综合应用，解题的关键是理清各角之间的位置关系，结合已知条件逐步推导即可，只要熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

4.如图7，$l_1// l_2$，一个含$45°$角的直角三角板按如图所示放置，$∠1=85°$，则$∠2=$

4. 40°

【分析】
遇到平行线与三角板结合的求角度问题，可按以下思路思考：
1. 先从平行线的性质入手，利用两直线平行同位角相等，将已知的∠1转化到与待求∠2、三角板特殊角相关的位置；
2. 观察转化后的角与三角板45°角、∠2的位置关系，发现转化后的角是三角形的外角，结合三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可列出等式计算∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $l_1// l_2$，
∴ ∠1的同位角与∠1相等，即该角为$85°$（两直线平行，同位角相等）。
∵ 该同位角是包含三角板45°角和∠2的三角形的外角，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ $85°=45°+∠2$，
解得$∠2=85°-45°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是平行线性质与三角形外角性质的基础综合应用题，解题的关键是准确找到角的位置关系，将已知角和未知角通过外角性质建立关联，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5*. 如图8,在△ABC中,∠B=47°,外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=.

图6 图7 图8

5. 66.5°

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 利用三角形外角的性质，将外角∠DAC、∠ACF转化为△ABC的内角表达式，找到两个外角的和与已知角∠B的关联；2. 结合角平分线的定义，求出△AEC中两个内角∠EAC与∠ECA的和；3. 最后依据三角形内角和为180°，计算得到∠AEC的度数。
【解析】
1. 根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），可得：
$∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB$，$∠ ACF = ∠ B + ∠ BAC$
因此两个外角的和为：
$∠ DAC + ∠ ACF = ∠ B + ∠ ACB + ∠ B + ∠ BAC = 2∠ B + (∠ ACB + ∠ BAC)$
2. 在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得$∠ ACB + ∠ BAC = 180° - ∠ B$，代入上式可得：
$∠ DAC + ∠ ACF = 2∠ B + 180° - ∠ B = 180° + ∠ B$
将$∠ B=47°$代入，得$∠ DAC + ∠ ACF = 180° + 47° = 227°$
3. 已知AE平分$∠ DAC$，CE平分$∠ ACF$，根据角平分线的定义：
$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ DAC$，$∠ ECA = \frac{1}{2}∠ ACF$
因此：
$∠ EAC + ∠ ECA = \frac{1}{2}(∠ DAC + ∠ ACF) = \frac{1}{2} × 227° = 113.5°$
4. 在$△ AEC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ AEC = 180° - (∠ EAC + ∠ ECA) = 180° - 113.5° = 66.5°$
【答案】
$66.5°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，综合考查了三角形内外角性质与角平分线定义的应用，解题核心是通过外角性质建立已知角和待求角之间的联系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 如图9是一个五角星图案，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和.

1. 180°

【分析】
要计算五个分散的角的和，我们可以利用三角形外角的性质，将∠C、∠E转化为一个三角形的外角，∠B、∠D转化为同一个三角形的另一个外角，这样五个角就可以集中到同一个三角形中，再结合三角形内角和为180°即可求出结果。
【解析】
设AC与BE交于点F，AD与BE交于点G。
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
可得：∠AFG是△CEF的外角，因此$∠ AFG = ∠ C + ∠ E$；
$∠ AGF$是△BDG的外角，因此$∠ AGF = ∠ B + ∠ D$。
2. 在△AFG中，由三角形内角和定理可知：
$∠ A + ∠ AFG + ∠ AGF = 180°$。
3. 将$∠ AFG = ∠ C + ∠ E$、$∠ AGF = ∠ B + ∠ D$代入上式，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题运用转化思想，将分散的角通过外角性质归拢到同一个三角形中求解，解题的核心是熟练运用三角形外角和内角和的相关性质。
【难度系数】
0.7