2. 如图10，AD是△ABC的角平分线，DE//AB交AC于点E，∠C=∠CDE. 求证:AD⊥BC.

2. 提示:证∠B=∠C,又由AD是△ABC的角平分线,得到∠BAD=∠CAD,再依据三角形内角和,可得∠ADB=∠ADC,因∠ADB+∠ADC=180°,故∠ADB=∠ADC=90°,所以AD⊥BC.

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，利用平行线的性质，由DE//AB得到∠CDE与∠B相等；第二步，结合已知∠C=∠CDE，通过等量代换推出∠B=∠C，得到△ABC的两个底角相等；第三步，根据AD是角平分线的条件得到∠BAD=∠CAD；第四步，结合三角形内角和定理，推出∠ADB和∠ADC相等，再根据这两个角组成平角，可算出二者均为90°，即可证明AD⊥BC。
【解析】
证明：
∵DE//AB（已知）
∴∠CDE=∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵∠C=∠CDE（已知）
∴∠B=∠C（等量代换）
∵AD是△ABC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD$，$∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD$
∵$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$
∴$∠ ADB=∠ ADC$（等量代换）
又
∵$∠ ADB+∠ ADC=180°$（平角的定义）
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$
∴AD⊥BC（垂直的定义）
【答案】
AD⊥BC，得证。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查多个基础几何知识点的综合应用，解题关键是通过中间量∠CDE推导出∠B=∠C，后续推导逻辑连贯，容易梳理。
【难度系数】
0.7

3. 如图11，CE是△ABC的一个外角的平分线，且EF//BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数.

3. 提示:由∠E=55°,CE是∠ACD的平分线,EF//BC,得∠ACD=2∠E=2×55°=110°,
∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°.

【分析】
解题时首先结合已知条件EF//BC，利用平行线的内错角相等性质，可得到∠E与∠ECD的等量关系；再结合CE是外角平分线的条件，可求出△ABC的外角∠ACD的度数；最后利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，代入已知的∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵EF//BC，
∴∠ECD=∠E=55°（两直线平行，内错角相等），
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°，
又
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
已知∠A=60°，
∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°。
【答案】
50°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，需要将平行线、角平分线、三角形外角三个知识点结合运用，解题的突破口是通过平行线和角平分线求出外角∠ACD的度数，整体解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 如图1，小明用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的()

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.最长边的中点

1. A

【分析】
解题时首先思考：能让均匀三角形硬纸板被支起后保持平衡的点，是三角形的重心，也就是硬纸板重力的集中作用点。接下来回忆三角形重心的定义，再对应选项判断即可：三角形的重心是三条中线的交点，对应选项A。
【解析】
均匀的三角形硬纸板保持平衡时，支撑点为三角形的重心，根据三角形重心的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此支起的这个点是三条中线的交点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的重心；三角形的中线
【点评】
本题结合生活中的平衡现象考查三角形重心的相关知识，体现了数学和生活的关联，属于基础概念考查题，掌握重心的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图2所示，点A,B,C,P均在格点上，则点P是△ABC的()

A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.无法确定

2. B

【分析】
首先明确三角形几类特殊交点的定义：三条角平分线的交点是内心，到三边距离相等；三条中线的交点是重心，是各顶点与对边中点连线的公共交点；三边垂直平分线的交点是外心，到三个顶点距离相等。解题时先在网格中找到△ABC各边的中点，再判断点P是否在各顶点与对边中点的连线上，即可确定点P的性质。
【解析】
解：根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
观察正方形网格可得：
1. 找到BC边的格点中点，连接顶点A与BC中点，该线段经过点P；
2. 找到AC边的格点中点，连接顶点B与AC中点，该线段经过点P；
3. 找到AB边的格点中点，连接顶点C与AB中点，该线段经过点P。
由此可知点P是△ABC三条中线的交点。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的中线；三角形重心的定义
【点评】
本题考查三角形特殊交点的区分，解题关键是熟记各类特殊交点的定义，结合网格特征识别线段中点即可快速解题，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7

3. 下列有关重心的说法错误的是()

A.线段的重心是它的中点
B.三角形的重心是它的三条高的交点
C.平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
D.长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点

3. B

【分析】
本题考查常见规则匀质几何图形的重心位置判断，解题思路如下：首先明确规则匀质平面图形的重心就是它的几何中心，再逐一回忆各选项对应图形的重心结论，尤其要区分三角形不同特殊线段交点的名称，找出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 匀质线段的重心是它的中点，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形的重心是它的三条中线的交点，而三条高的交点是三角形的垂心，该说法错误，符合题意；
C. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，也就是重心，该说法正确，不符合题意；
D. 长方形的一组邻边的垂直平分线的交点就是长方形的几何中心，也就是它的重心，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
重心的概念；常见图形的重心；三角形的重心
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点是易混淆三角形重心、垂心等特殊交点的定义，牢记各类规则图形的重心结论即可快速准确答题。
【难度系数】
0.8