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三、解答题
1. 计算下列各式：
(1) $[(x^2)^3]^7$
(2) $(3ab^2)^3$
(3) $(a^3b)^2 - 2a^6b^2$
(4) $(-xy)^4 + (x^2y^2)^2$
(5) $2(x^2)^n - (x^n)^2$
(6) $(\frac{2}{3})^{100} × (1\frac{$
$}{2})^{100} × (\frac{1}{4})^{2025} × 4^{2026}$
1. 计算下列各式：
(1) $[(x^2)^3]^7$
(2) $(3ab^2)^3$
(3) $(a^3b)^2 - 2a^6b^2$
(4) $(-xy)^4 + (x^2y^2)^2$
(5) $2(x^2)^n - (x^n)^2$
(6) $(\frac{2}{3})^{100} × (1\frac{$
$}{2})^{100} × (\frac{1}{4})^{2025} × 4^{2026}$答案
1. (1)$x^{42}$ (2)$27a^{3}b^{6}$ (3)$-a^{6}b^{2}$ (4)$2x^{4}y^{4}$ (5)$x^{2n}$ (6)4
解析
【分析】
这组题目均考查幂的相关运算性质，解题思路如下：
1. 幂的乘方运算遵循“底数不变，指数相乘”的规则，多次乘方只需将指数依次相乘即可；
2. 积的乘方运算需将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；
3. 包含加减运算的题目，先按幂的运算法则计算乘方项，再合并同类项即可；
4. 第(6)题可观察到存在指数相同的项，先拆分高次幂凑同指数，再逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$简化计算，避免直接计算高次幂。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
$[(x^2)^3]^7 = x^{2×3×7} = x^{42}$
(2) 根据积的乘方法则计算：
$(3ab^2)^3 = 3^3· a^3· (b^2)^3 = 27a^3b^6$
(3) 先算乘方，再合并同类项：
$(a^3b)^2 - 2a^6b^2 = (a^3)^2· b^2 - 2a^6b^2 = a^6b^2 - 2a^6b^2 = -a^6b^2$
(4) 先算两个乘方项，再合并同类项：
$(-xy)^4 + (x^2y^2)^2 = (-1)^4· x^4y^4 + (x^2)^2· (y^2)^2 = x^4y^4 + x^4y^4 = 2x^4y^4$
(5) 先算幂的乘方，再合并同类项：
$2(x^2)^n - (x^n)^2 = 2x^{2n} - x^{2n} = x^{2n}$
(6) 先将带分数化为假分数，拆分高次幂后逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2}{3})^{100}×(\frac{3}{2})^{100}×(\frac{1}{4})^{2025}×4^{2025}×4\\&=(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^{100}×(\frac{1}{4}×4)^{2025}×4\\&=1^{100}×1^{2025}×4\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^{42}$；(2)$27a^{3}b^{6}$；(3)$-a^{6}b^{2}$；(4)$2x^{4}y^{4}$；(5)$x^{2n}$；(6)$4$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同类项合并
【点评】
这组是幂的运算的基础练习题，核心是对幂的乘方、积的乘方运算性质的熟练掌握，解题时要注意运算顺序，逆用积的乘方公式可以大幅降低高次幂运算的难度，是幂运算中常用的简化技巧。
【难度系数】
0.7
这组题目均考查幂的相关运算性质，解题思路如下：
1. 幂的乘方运算遵循“底数不变，指数相乘”的规则，多次乘方只需将指数依次相乘即可；
2. 积的乘方运算需将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；
3. 包含加减运算的题目，先按幂的运算法则计算乘方项，再合并同类项即可；
4. 第(6)题可观察到存在指数相同的项，先拆分高次幂凑同指数，再逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$简化计算，避免直接计算高次幂。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
$[(x^2)^3]^7 = x^{2×3×7} = x^{42}$
(2) 根据积的乘方法则计算：
$(3ab^2)^3 = 3^3· a^3· (b^2)^3 = 27a^3b^6$
(3) 先算乘方，再合并同类项：
$(a^3b)^2 - 2a^6b^2 = (a^3)^2· b^2 - 2a^6b^2 = a^6b^2 - 2a^6b^2 = -a^6b^2$
(4) 先算两个乘方项，再合并同类项：
$(-xy)^4 + (x^2y^2)^2 = (-1)^4· x^4y^4 + (x^2)^2· (y^2)^2 = x^4y^4 + x^4y^4 = 2x^4y^4$
(5) 先算幂的乘方，再合并同类项：
$2(x^2)^n - (x^n)^2 = 2x^{2n} - x^{2n} = x^{2n}$
(6) 先将带分数化为假分数，拆分高次幂后逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2}{3})^{100}×(\frac{3}{2})^{100}×(\frac{1}{4})^{2025}×4^{2025}×4\\&=(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^{100}×(\frac{1}{4}×4)^{2025}×4\\&=1^{100}×1^{2025}×4\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^{42}$；(2)$27a^{3}b^{6}$；(3)$-a^{6}b^{2}$；(4)$2x^{4}y^{4}$；(5)$x^{2n}$；(6)$4$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同类项合并
【点评】
这组是幂的运算的基础练习题，核心是对幂的乘方、积的乘方运算性质的熟练掌握，解题时要注意运算顺序，逆用积的乘方公式可以大幅降低高次幂运算的难度，是幂运算中常用的简化技巧。
【难度系数】
0.7
2. 化简并求值：$a^2 · (a^3)^2 + (2a^2b)^2 + a · (-a)^7$，其中$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$。
答案
2. 化简,原式=$a^8+4a^4b^2-a^8=4a^4b^2$,其值为1
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路分两步：先化简，再代值计算。化简时需遵循幂的运算法则依次计算每一项：首先处理乘方运算，用到幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（每个因式分别乘方后将所得幂相乘）、负数的奇次幂为负的规则，再计算同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），最后合并同类项得到最简式，再代入数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算第一项：$a^2 · (a^3)^2$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，得$a^2·a^6=a^{2+6}=a^8$
2. 计算第二项：$(2a^2b)^2$
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，得$(2a^2b)^2=2^2×(a^2)^2×b^2=4a^4b^2$
3. 计算第三项：$a · (-a)^7$
负数的奇次幂为负，得$(-a)^7=-a^7$
再计算同底数幂的乘法：$a·(-a^7)=-a^{1+7}=-a^8$
将三项合并：
原式$=a^8 + 4a^4b^2 - a^8 = 4a^4b^2$
再代入$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$求值：
$4a^4b^2=4×1^4×(-\dfrac{1}{2})^2=4×1×\dfrac{1}{4}=1$
【答案】
化简结果为$4a^4b^2$，求值结果为1
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘法，最后合并同类项，计算时要注意负数乘方的符号问题，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是整式的化简求值题，解题思路分两步：先化简，再代值计算。化简时需遵循幂的运算法则依次计算每一项：首先处理乘方运算，用到幂的乘方（底数不变，指数相乘）、积的乘方（每个因式分别乘方后将所得幂相乘）、负数的奇次幂为负的规则，再计算同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），最后合并同类项得到最简式，再代入数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算第一项：$a^2 · (a^3)^2$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，得$a^2·a^6=a^{2+6}=a^8$
2. 计算第二项：$(2a^2b)^2$
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，得$(2a^2b)^2=2^2×(a^2)^2×b^2=4a^4b^2$
3. 计算第三项：$a · (-a)^7$
负数的奇次幂为负，得$(-a)^7=-a^7$
再计算同底数幂的乘法：$a·(-a^7)=-a^{1+7}=-a^8$
将三项合并：
原式$=a^8 + 4a^4b^2 - a^8 = 4a^4b^2$
再代入$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$求值：
$4a^4b^2=4×1^4×(-\dfrac{1}{2})^2=4×1×\dfrac{1}{4}=1$
【答案】
化简结果为$4a^4b^2$，求值结果为1
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，先算乘方再算乘法，最后合并同类项，计算时要注意负数乘方的符号问题，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 若$2^{x+4} · 3^{x+4}=6^{2x-1}$，求x的值.
答案
3. x=5
解析
【分析】解题时先观察等式左边的运算形式：两个幂的指数相同，底数分别为2和3，乘积恰好等于等式右侧幂的底数6，因此优先考虑逆用积的乘方运算法则对左边化简，得到底数为6的幂；此时等式左右两边为底数相同的幂，根据同底数幂相等的性质，指数必然相等，即可得到关于x的一元一次方程，求解方程就能得到x的值。
【解析】解：逆用积的乘方运算法则，对等式左边变形：
$2^{x+4} · 3^{x+4} = (2×3)^{x+4} = 6^{x+4}$
因此原方程可化为：$6^{x+4}=6^{2x-1}$
因为底数6＞0且6≠1，若两个同底数幂相等，则它们的指数相等，可得：
$x + 4 = 2x - 1$
移项合并同类项得：$x = 5$
验证：将x=5代入原方程，左边$2^{9}×3^{9}=6^{9}$，右边$6^{2×5-1}=6^{9}$，左边=右边，故x=5是原方程的解。
【答案】x=5
【知识点】积的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程的解法
【点评】本题是幂的运算的基础应用题型，核心是通过逆用积的乘方将等式两边转化为同底数幂，再建立方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】解：逆用积的乘方运算法则，对等式左边变形：
$2^{x+4} · 3^{x+4} = (2×3)^{x+4} = 6^{x+4}$
因此原方程可化为：$6^{x+4}=6^{2x-1}$
因为底数6＞0且6≠1，若两个同底数幂相等，则它们的指数相等，可得：
$x + 4 = 2x - 1$
移项合并同类项得：$x = 5$
验证：将x=5代入原方程，左边$2^{9}×3^{9}=6^{9}$，右边$6^{2×5-1}=6^{9}$，左边=右边，故x=5是原方程的解。
【答案】x=5
【知识点】积的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程的解法
【点评】本题是幂的运算的基础应用题型，核心是通过逆用积的乘方将等式两边转化为同底数幂，再建立方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】0.7
4. 若$a^n=2,b^n=3$,求$(ab)^{3n}$的值.
答案
4. 216
解析
【分析】
解题时先观察所求式$(ab)^{3n}$的结构，可先利用积的乘方运算性质将其拆分为两个幂相乘的形式，再通过幂的乘方运算性质的逆用，把拆分后的幂转化为含已知$a^n$、$b^n$的形式，最后代入已知数值计算即可，核心是灵活运用幂的运算公式变形。
【解析】
解：根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(ab)^{3n}=a^{3n} · b^{3n}$
逆用幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$a^{3n}=(a^n)^3$，$b^{3n}=(b^n)^3$
将$a^n=2$、$b^n=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(a^n)^3 × (b^n)^3 \\&=2^3 × 3^3 \\&=8 × 27 \\&=216\end{aligned}$
【答案】
216
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础应用类题目，重点考察对幂运算性质的灵活掌握程度，熟练区分公式的正用和逆用就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式$(ab)^{3n}$的结构，可先利用积的乘方运算性质将其拆分为两个幂相乘的形式，再通过幂的乘方运算性质的逆用，把拆分后的幂转化为含已知$a^n$、$b^n$的形式，最后代入已知数值计算即可，核心是灵活运用幂的运算公式变形。
【解析】
解：根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(ab)^{3n}=a^{3n} · b^{3n}$
逆用幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$a^{3n}=(a^n)^3$，$b^{3n}=(b^n)^3$
将$a^n=2$、$b^n=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(a^n)^3 × (b^n)^3 \\&=2^3 × 3^3 \\&=8 × 27 \\&=216\end{aligned}$
【答案】
216
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础应用类题目，重点考察对幂运算性质的灵活掌握程度，熟练区分公式的正用和逆用就能快速解题。
【难度系数】
0.8
若$100^a=20$，$1000^b=50$，则$a+\frac{3}{2}b+\frac{3}{2}$的值是
3
。答案
3
解析
【分析】
首先观察已知等式的底数100、1000都可以转化为以10为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个已知等式变形为底数为10的幂的形式，再将两个变形后的等式相乘，利用同底数幂的乘法法则得到关于a、b的关系式，最后将所求代数式变形，整体代入计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
解：
∵ $100^a = 20$，且$100=10^2$
∴ $(10^2)^a = 20$，由幂的乘方法则得$10^{2a}=20$ ①
∵ $1000^b=50$，且$1000=10^3$
∴ $(10^3)^b=50$，由幂的乘方法则得$10^{3b}=50$ ②
将①和②相乘，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$10^{2a} × 10^{3b} = 20 × 50$
即$10^{2a+3b}=1000=10^3$
∴ $2a + 3b = 3$
将上式两边同时除以2，得：
$a + \frac{3}{2}b = \frac{3}{2}$
代入所求代数式计算：
$a + \frac{3}{2}b + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，通过幂的运算得到a、b的数量关系，再整体代入所求式子计算，避免单独求解a、b带来的不必要的计算难度。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的底数100、1000都可以转化为以10为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个已知等式变形为底数为10的幂的形式，再将两个变形后的等式相乘，利用同底数幂的乘法法则得到关于a、b的关系式，最后将所求代数式变形，整体代入计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
解：
∵ $100^a = 20$，且$100=10^2$
∴ $(10^2)^a = 20$，由幂的乘方法则得$10^{2a}=20$ ①
∵ $1000^b=50$，且$1000=10^3$
∴ $(10^3)^b=50$，由幂的乘方法则得$10^{3b}=50$ ②
将①和②相乘，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$10^{2a} × 10^{3b} = 20 × 50$
即$10^{2a+3b}=1000=10^3$
∴ $2a + 3b = 3$
将上式两边同时除以2，得：
$a + \frac{3}{2}b = \frac{3}{2}$
代入所求代数式计算：
$a + \frac{3}{2}b + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，通过幂的运算得到a、b的数量关系，再整体代入所求式子计算，避免单独求解a、b带来的不必要的计算难度。
【难度系数】
0.7
