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5.如图,一个环形跑道的周长是900米,甲、乙两人同时从同一地点相背而行。甲每分钟走50米,乙每分钟走40米,经过几分钟两人相遇?
答案
50 + 40 = 90（米）
900 ÷ 90 = 10（分钟）
答：经过10分钟两人相遇。
900 ÷ 90 = 10（分钟）
答：经过10分钟两人相遇。
解析
【分析】
两人在环形跑道同一点同时相背出发，相遇时两人走的总路程刚好等于跑道的周长。解决这道题我们分两步思考：首先先算两人1分钟一共能走多少米，也就是两人的速度和；再用总路程除以每分钟一共走的路程，就能算出相遇需要的时间。
【解析】
1. 计算甲乙两人的速度和：
甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，两人每分钟一共走的路程为：
$50 + 40 = 90$（米）
2. 计算相遇时间：
环形跑道周长为900米，即两人相遇时总路程为900米，根据“相遇时间=总路程÷速度和”可得：
$900 ÷ 90 = 10$（分钟）
【答案】
经过10分钟两人相遇。
【知识点】
相遇问题、速度和计算、路程速度时间关系
【点评】
本题属于基础的行程类相遇问题，解题核心是明确相背而行时两人的路程和等于总路程，熟练掌握路程、速度、时间三者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
两人在环形跑道同一点同时相背出发，相遇时两人走的总路程刚好等于跑道的周长。解决这道题我们分两步思考：首先先算两人1分钟一共能走多少米，也就是两人的速度和；再用总路程除以每分钟一共走的路程，就能算出相遇需要的时间。
【解析】
1. 计算甲乙两人的速度和：
甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，两人每分钟一共走的路程为：
$50 + 40 = 90$（米）
2. 计算相遇时间：
环形跑道周长为900米，即两人相遇时总路程为900米，根据“相遇时间=总路程÷速度和”可得：
$900 ÷ 90 = 10$（分钟）
【答案】
经过10分钟两人相遇。
【知识点】
相遇问题、速度和计算、路程速度时间关系
【点评】
本题属于基础的行程类相遇问题，解题核心是明确相背而行时两人的路程和等于总路程，熟练掌握路程、速度、时间三者的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，快车的行驶速度是80千米/时，慢车的行驶速度是60千米/时，3小时后两车还相距25千米。A、B两地相距多少千米？（先画图分析数量关系，再解答。）
答案
(80 + 60) × 3 + 25
= 140 × 3 + 25
= 420 + 25
= 445（千米）
答：A、B两地相距445千米。
= 140 × 3 + 25
= 420 + 25
= 445（千米）
答：A、B两地相距445千米。
解析
【分析】
这是相向行驶未相遇的行程问题，解题思路如下：1. 先明确数量关系：A、B两地总路程=两车3小时共同行驶的路程+两车剩余的相距距离25千米；2. 可以通过线段图辅助理解：画线段代表AB两地总路程，两端分别标A、B，快车从A向右走、慢车从B向左走，3小时后两车位置之间的短段标记为25千米，两侧分别是两车3小时行驶的路程；3. 先算两车的速度和，再乘行驶时间得到共同行驶的路程，最后加25千米即可求出总路程。
【解析】
先计算两车每小时一共行驶的路程（速度和）：
80 + 60 = 140（千米/时）
再计算两车3小时共同行驶的路程：
140 × 3 = 420（千米）
最后加上两车还相距的25千米，得到A、B两地总距离，列综合算式计算：
(80 + 60) × 3 + 25
= 140 × 3 + 25
= 420 + 25
= 445（千米）
【答案】
A、B两地相距445千米。
【知识点】
1. 相遇问题 2. 路程=速度×时间 3. 四则混合运算
【点评】
本题是相遇问题的基础变式，核心是理清相向行驶未相遇时总路程的构成，解题关键是先求出两车共同行驶的路程，再加上未行驶的相距距离，审题时需注意区分“已相遇”和“未相遇”两种不同情况的计算差异。
【难度系数】
0.8
这是相向行驶未相遇的行程问题，解题思路如下：1. 先明确数量关系：A、B两地总路程=两车3小时共同行驶的路程+两车剩余的相距距离25千米；2. 可以通过线段图辅助理解：画线段代表AB两地总路程，两端分别标A、B，快车从A向右走、慢车从B向左走，3小时后两车位置之间的短段标记为25千米，两侧分别是两车3小时行驶的路程；3. 先算两车的速度和，再乘行驶时间得到共同行驶的路程，最后加25千米即可求出总路程。
【解析】
先计算两车每小时一共行驶的路程（速度和）：
80 + 60 = 140（千米/时）
再计算两车3小时共同行驶的路程：
140 × 3 = 420（千米）
最后加上两车还相距的25千米，得到A、B两地总距离，列综合算式计算：
(80 + 60) × 3 + 25
= 140 × 3 + 25
= 420 + 25
= 445（千米）
【答案】
A、B两地相距445千米。
【知识点】
1. 相遇问题 2. 路程=速度×时间 3. 四则混合运算
【点评】
本题是相遇问题的基础变式，核心是理清相向行驶未相遇时总路程的构成，解题关键是先求出两车共同行驶的路程，再加上未行驶的相距距离，审题时需注意区分“已相遇”和“未相遇”两种不同情况的计算差异。
【难度系数】
0.8
7.阅读以下材料，回答问题。
《九章算术》是我国古代著名的数学专著。其中记载了“野鸭与大雁”问题：
野鸭与大雁
原文:今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问:何日相逢?
译文:野鸭从南海飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭和大雁同时分别从南海、北海出发,多少天相遇?
(1)现假设南方到北方栖息地的距离约为2000千米,野鸭全程需50天,大雁全程需40天。若它们同时从两地出发,大约多少天相遇?
(2)请上网查阅资料,搜集《九章算术》中其他经典的相遇问题,记录下来并与同伴讨论分享。
《九章算术》是我国古代著名的数学专著。其中记载了“野鸭与大雁”问题：
野鸭与大雁
原文:今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问:何日相逢?
译文:野鸭从南海飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭和大雁同时分别从南海、北海出发,多少天相遇?
(1)现假设南方到北方栖息地的距离约为2000千米,野鸭全程需50天,大雁全程需40天。若它们同时从两地出发,大约多少天相遇?
(2)请上网查阅资料,搜集《九章算术》中其他经典的相遇问题,记录下来并与同伴讨论分享。
答案
2000÷50=40（千米/天）
2000÷40=50（千米/天）
2000÷(40+50)≈22（天）
(2) 示例：搜集到《九章算术·均输章》经典相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？译文：甲从长安出发前往齐国，5天可以到达；乙从齐国出发前往长安，7天可以到达。乙先出发2天后，甲才从长安出发，问再过多少天甲乙二人相遇。
答：(1)大约22天相遇。
2000÷40=50（千米/天）
2000÷(40+50)≈22（天）
(2) 示例：搜集到《九章算术·均输章》经典相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？译文：甲从长安出发前往齐国，5天可以到达；乙从齐国出发前往长安，7天可以到达。乙先出发2天后，甲才从长安出发，问再过多少天甲乙二人相遇。
答：(1)大约22天相遇。
解析
【分析】
这是一道典型的相向而行相遇问题，解题思路如下：解决第一问时，我们首先要根据“速度=路程÷时间”分别求出野鸭和大雁的飞行速度，再算出两者的速度和，最后根据“相遇时间=总路程÷速度和”计算出相遇时间，结果取近似整数即可。第二问是开放性实践题，只需查阅资料找到《九章算术》中其他的相遇类问题记录即可。
【解析】
(1) 第一步：计算野鸭每天的飞行速度
总路程为2000千米，野鸭飞完全程需要50天，速度为：$2000÷50=40$（千米/天）
第二步：计算大雁每天的飞行速度
大雁飞完全程需要40天，速度为：$2000÷40=50$（千米/天）
第三步：计算两者的速度和
$40+50=90$（千米/天）
第四步：计算相遇时间
根据相遇时间公式计算：$2000÷90≈22$（天）
(2) 示例：搜集到《九章算术·均输章》经典相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？
译文：甲从长安出发前往齐国，5天可以到达；乙从齐国出发前往长安，7天可以到达。乙先出发2天后，甲才从长安出发，问再过多少天甲乙二人相遇。
【答案】
(1) 大约22天相遇；
(2) 示例：《九章算术·均输章》相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？（合理即可）
【知识点】
相遇问题解法；路程速度时间关系；除法运算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《九章算术》的内容出题，既考查了基础相遇问题的解题能力，巩固了行程问题的核心公式，又能引导学生了解中国传统数学文化，第二问的开放性设置还能锻炼学生搜集资料、合作探究的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的相向而行相遇问题，解题思路如下：解决第一问时，我们首先要根据“速度=路程÷时间”分别求出野鸭和大雁的飞行速度，再算出两者的速度和，最后根据“相遇时间=总路程÷速度和”计算出相遇时间，结果取近似整数即可。第二问是开放性实践题，只需查阅资料找到《九章算术》中其他的相遇类问题记录即可。
【解析】
(1) 第一步：计算野鸭每天的飞行速度
总路程为2000千米，野鸭飞完全程需要50天，速度为：$2000÷50=40$（千米/天）
第二步：计算大雁每天的飞行速度
大雁飞完全程需要40天，速度为：$2000÷40=50$（千米/天）
第三步：计算两者的速度和
$40+50=90$（千米/天）
第四步：计算相遇时间
根据相遇时间公式计算：$2000÷90≈22$（天）
(2) 示例：搜集到《九章算术·均输章》经典相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？
译文：甲从长安出发前往齐国，5天可以到达；乙从齐国出发前往长安，7天可以到达。乙先出发2天后，甲才从长安出发，问再过多少天甲乙二人相遇。
【答案】
(1) 大约22天相遇；
(2) 示例：《九章算术·均输章》相遇问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？（合理即可）
【知识点】
相遇问题解法；路程速度时间关系；除法运算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍《九章算术》的内容出题，既考查了基础相遇问题的解题能力，巩固了行程问题的核心公式，又能引导学生了解中国传统数学文化，第二问的开放性设置还能锻炼学生搜集资料、合作探究的能力。
【难度系数】
0.8
