登录
9. 已知方程组$\begin{cases}x+y=2, \\2x+2y=3\end{cases}$无解，由此可知直线$y=-x+2$与直线$y=-x+\frac{3}{2}$在同一平面直角坐标系中的位置关系是( )。
A.重合
B.平行
C.相交
D.以上三种情况都有可能
A.重合
B.平行
C.相交
D.以上三种情况都有可能
答案
9.B
解析
【分析】
首先我们要明确二元一次方程组的解和对应的一次函数图象的关系：二元一次方程组中每个方程都可以转化为一次函数（即直线）的形式，方程组的解就是两条直线的交点坐标。如果方程组无解，说明两条直线没有公共交点。接下来我们观察给出的两条直线的解析式，对比它们的一次项系数和常数项：一次函数$y=kx+b$中，一次项系数$k$决定直线的倾斜程度，常数项$b$决定直线与$y$轴的交点位置。如果两条直线$k$相等、$b$不相等，就说明倾斜程度相同，不会重合，也没有交点，对应位置关系就是平行，刚好符合题中方程组无解的条件。
【解析】
解：二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标。
已知题中方程组无解，说明直线$y=-x+2$和$y=-x+\frac{3}{2}$没有交点。
对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）：
两条直线的一次项系数$k$均为$-1$，说明它们的倾斜程度完全相同；
常数项$b$分别为$2$和$\frac{3}{2}$，二者不相等，说明两条直线不会重合。
倾斜程度相同且不重合的直线没有交点，位置关系为平行。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 两直线位置关系判定
【点评】
本题将二元一次方程组的解的情况与一次函数图象的位置关系结合考查，解题的关键是掌握一次函数解析式中$k$、$b$的意义，以及方程组解的情况对应的直线位置关系规律。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确二元一次方程组的解和对应的一次函数图象的关系：二元一次方程组中每个方程都可以转化为一次函数（即直线）的形式，方程组的解就是两条直线的交点坐标。如果方程组无解，说明两条直线没有公共交点。接下来我们观察给出的两条直线的解析式，对比它们的一次项系数和常数项：一次函数$y=kx+b$中，一次项系数$k$决定直线的倾斜程度，常数项$b$决定直线与$y$轴的交点位置。如果两条直线$k$相等、$b$不相等，就说明倾斜程度相同，不会重合，也没有交点，对应位置关系就是平行，刚好符合题中方程组无解的条件。
【解析】
解：二元一次方程组的解就是组成方程组的两个方程对应的一次函数图象的交点坐标。
已知题中方程组无解，说明直线$y=-x+2$和$y=-x+\frac{3}{2}$没有交点。
对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）：
两条直线的一次项系数$k$均为$-1$，说明它们的倾斜程度完全相同；
常数项$b$分别为$2$和$\frac{3}{2}$，二者不相等，说明两条直线不会重合。
倾斜程度相同且不重合的直线没有交点，位置关系为平行。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 两直线位置关系判定
【点评】
本题将二元一次方程组的解的情况与一次函数图象的位置关系结合考查，解题的关键是掌握一次函数解析式中$k$、$b$的意义，以及方程组解的情况对应的直线位置关系规律。
【难度系数】
0.8
10. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在试销时发现：销售价格x(元/件)与每天的销售量y(件)之间满足如图所示的关系，求出y与x之间的关系式。
答案
10. 解:设 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y=kx+b $,由题中所给函数图象可得
$\begin{cases}130k+b=50, \\150k+b=30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\ b=180。\end{cases}$
所以 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为
$y=-x+180$。
$\begin{cases}130k+b=50, \\150k+b=30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\ b=180。\end{cases}$
所以 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为
$y=-x+180$。
解析
【分析】
首先观察图象可知销售价格x与销售量y之间满足一次函数关系，因此用待定系数法求解即可：第一步先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$）；第二步从图象中提取两个已知点的坐标$(130,50)$和$(150,30)$，将两组坐标分别代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出k和b的取值，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
设y与x之间的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由函数图象可知直线经过点$(130,50)$和$(150,30)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}130k+b=50 \\150k+b=30\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$20k=-20$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$130k+b=50$，得$-130+b=50$，解得$b=180$，
因此y与x之间的函数关系式为$y=-x+180$。
【答案】
$y=-x+180$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式，解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能从函数图象中准确提取已知点坐标，计算难度较低，是一次函数相关的常见基础题。
【难度系数】
0.8
首先观察图象可知销售价格x与销售量y之间满足一次函数关系，因此用待定系数法求解即可：第一步先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$）；第二步从图象中提取两个已知点的坐标$(130,50)$和$(150,30)$，将两组坐标分别代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出k和b的取值，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
设y与x之间的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由函数图象可知直线经过点$(130,50)$和$(150,30)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}130k+b=50 \\150k+b=30\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$20k=-20$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$130k+b=50$，得$-130+b=50$，解得$b=180$，
因此y与x之间的函数关系式为$y=-x+180$。
【答案】
$y=-x+180$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式，解二元一次方程组
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能从函数图象中准确提取已知点坐标，计算难度较低，是一次函数相关的常见基础题。
【难度系数】
0.8
11. 某游泳馆普通票为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
① 金卡：售价为600元/张，每次凭卡不再收费；
② 银卡：售价为150元/张，每次凭卡另收10元。
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数。设游泳x次时，所需总费用为y元。
(1)分别写出当选择银卡、普通票消费时，y与x之间的关系式；
(2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请分别求出点A,B,C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式最合算。
① 金卡：售价为600元/张，每次凭卡不再收费；
② 银卡：售价为150元/张，每次凭卡另收10元。
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数。设游泳x次时，所需总费用为y元。
(1)分别写出当选择银卡、普通票消费时，y与x之间的关系式；
(2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请分别求出点A,B,C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式最合算。
答案
11. 解:(1)选择普通票消费时,$ y $ 与 $ x $ 是正比例函数:
$y=20x$;
选择银卡消费时,$ y $ 与 $ x $ 是一次函数:$ y=10x+150 $。
(2)把 $ x=0 $ 代入 $ y=10x+150 $,得 $ y=150 $,
所以点 $ A $ 的坐标是$ (0,150) $。
由题意列方程组$\begin{cases}y=20x, \\ y=10x+150,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=15, \\ y=300,\end{cases}$
所以点 $ B $ 的坐标是$ (15,300) $。
把 $ y=600 $ 代入 $ y=10x+150 $,得 $ x=45 $,
所以点 $ C $ 的坐标是$ (45,600) $。
所以点 $ A,B,C $ 的坐标分别是$ (0,150),(15,300),(45,600) $。
(3)当 $ 0＜x＜15 $ 时,$ OB $ 段最低,
所以当 $ 0＜x＜15 $ 时,选择普通票消费最合算;
当 $ x=15 $ 时,选择银卡和选择普通票消费的总费用相同,均比选择金卡消费合算;
当 $ 15＜x＜45 $ 时,$ BC $ 段最低,
所以当 $ 15＜x＜45 $ 时,选择银卡消费最合算;
当 $ x=45 $ 时,选择银卡和选择金卡消费的总费用相同,均比选择普通票消费合算;
当 $ x＞45 $ 时,$ y=600 $ 最低,
所以当 $ x＞45 $ 时,选择金卡消费最合算。
$y=20x$;
选择银卡消费时,$ y $ 与 $ x $ 是一次函数:$ y=10x+150 $。
(2)把 $ x=0 $ 代入 $ y=10x+150 $,得 $ y=150 $,
所以点 $ A $ 的坐标是$ (0,150) $。
由题意列方程组$\begin{cases}y=20x, \\ y=10x+150,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=15, \\ y=300,\end{cases}$
所以点 $ B $ 的坐标是$ (15,300) $。
把 $ y=600 $ 代入 $ y=10x+150 $,得 $ x=45 $,
所以点 $ C $ 的坐标是$ (45,600) $。
所以点 $ A,B,C $ 的坐标分别是$ (0,150),(15,300),(45,600) $。
(3)当 $ 0＜x＜15 $ 时,$ OB $ 段最低,
所以当 $ 0＜x＜15 $ 时,选择普通票消费最合算;
当 $ x=15 $ 时,选择银卡和选择普通票消费的总费用相同,均比选择金卡消费合算;
当 $ 15＜x＜45 $ 时,$ BC $ 段最低,
所以当 $ 15＜x＜45 $ 时,选择银卡消费最合算;
当 $ x=45 $ 时,选择银卡和选择金卡消费的总费用相同,均比选择普通票消费合算;
当 $ x＞45 $ 时,$ y=600 $ 最低,
所以当 $ x＞45 $ 时,选择金卡消费最合算。
解析
【分析】
这是一道一次函数的实际应用问题，解题思路如下：(1) 写函数关系式时，明确总费用=固定费用+单次费用×次数，普通票无固定费用，直接用单次票价乘次数即可；银卡有固定卡费，再加上每次的额外收费即可列出关系式。(2) 求点坐标时，A点是银卡函数x=0时的对应点，代入即可求解；B点是普通票和银卡函数的交点，联立两个函数解析式解方程组就能得到坐标；C点是银卡函数y=600时的对应点，代入y=600求解x即可。(3) 要判断哪种消费最合算，就是看相同x值下哪个函数的y值最小，结合三个交点划分的区间，逐一分析每个区间内最低的函数图象对应的消费方式即可。
【解析】
(1) 选择普通票消费时，总费用等于单次票价乘游泳次数，无固定费用，因此关系式为：$y=20x$；
选择银卡消费时，总费用等于卡费加每次的额外收费乘游泳次数，因此关系式为：$y=10x+150$。
(2) 求点A坐标：点A是银卡函数x=0时的点，把$x=0$代入$y=10x+150$，得$y=150$，所以$A(0,150)$；
求点B坐标：点B是普通票和银卡函数的交点，即两种消费费用相等的点，联立方程组$\begin{cases}y=20x \\ y=10x+150\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=15 \\ y=300\end{cases}$，所以$B(15,300)$；
求点C坐标：点C是银卡函数y=600时的点（金卡固定费用为600元），把$y=600$代入$y=10x+150$，得$600=10x+150$，解得$x=45$，所以$C(45,600)$。
(3) 结合图象中三个交点划分的区间，比较不同区间内三个函数的y值大小：
当$0＜x＜15$时，普通票对应的函数图象在最下方，费用最低；
当$x=15$时，普通票和银卡的费用相等，均低于金卡费用；
当$15＜x＜45$时，银卡对应的函数图象在最下方，费用最低；
当$x=45$时，银卡和金卡的费用相等，均低于普通票费用；
当$x＞45$时，金卡固定费用600元最低。
【答案】
(1) 普通票：$\boldsymbol{y=20x}$；银卡：$\boldsymbol{y=10x+150}$
(2) $A\boldsymbol{(0,150)}$，$B\boldsymbol{(15,300)}$，$C\boldsymbol{(45,600)}$
(3) 当$0＜x＜15$时，选普通票最合算；当$x=15$时，选普通票和银卡费用相同，均比金卡合算；当$15＜x＜45$时，选银卡最合算；当$x=45$时，选银卡和金卡费用相同，均比普通票合算；当$x＞45$时，选金卡最合算。
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象与性质，一次函数与方程组
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，既考查了一次函数解析式列写、交点坐标求解等基础知识点，也考查了数形结合分析最优方案的能力，贴近生活实际，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数的实际应用问题，解题思路如下：(1) 写函数关系式时，明确总费用=固定费用+单次费用×次数，普通票无固定费用，直接用单次票价乘次数即可；银卡有固定卡费，再加上每次的额外收费即可列出关系式。(2) 求点坐标时，A点是银卡函数x=0时的对应点，代入即可求解；B点是普通票和银卡函数的交点，联立两个函数解析式解方程组就能得到坐标；C点是银卡函数y=600时的对应点，代入y=600求解x即可。(3) 要判断哪种消费最合算，就是看相同x值下哪个函数的y值最小，结合三个交点划分的区间，逐一分析每个区间内最低的函数图象对应的消费方式即可。
【解析】
(1) 选择普通票消费时，总费用等于单次票价乘游泳次数，无固定费用，因此关系式为：$y=20x$；
选择银卡消费时，总费用等于卡费加每次的额外收费乘游泳次数，因此关系式为：$y=10x+150$。
(2) 求点A坐标：点A是银卡函数x=0时的点，把$x=0$代入$y=10x+150$，得$y=150$，所以$A(0,150)$；
求点B坐标：点B是普通票和银卡函数的交点，即两种消费费用相等的点，联立方程组$\begin{cases}y=20x \\ y=10x+150\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=15 \\ y=300\end{cases}$，所以$B(15,300)$；
求点C坐标：点C是银卡函数y=600时的点（金卡固定费用为600元），把$y=600$代入$y=10x+150$，得$600=10x+150$，解得$x=45$，所以$C(45,600)$。
(3) 结合图象中三个交点划分的区间，比较不同区间内三个函数的y值大小：
当$0＜x＜15$时，普通票对应的函数图象在最下方，费用最低；
当$x=15$时，普通票和银卡的费用相等，均低于金卡费用；
当$15＜x＜45$时，银卡对应的函数图象在最下方，费用最低；
当$x=45$时，银卡和金卡的费用相等，均低于普通票费用；
当$x＞45$时，金卡固定费用600元最低。
【答案】
(1) 普通票：$\boldsymbol{y=20x}$；银卡：$\boldsymbol{y=10x+150}$
(2) $A\boldsymbol{(0,150)}$，$B\boldsymbol{(15,300)}$，$C\boldsymbol{(45,600)}$
(3) 当$0＜x＜15$时，选普通票最合算；当$x=15$时，选普通票和银卡费用相同，均比金卡合算；当$15＜x＜45$时，选银卡最合算；当$x=45$时，选银卡和金卡费用相同，均比普通票合算；当$x＞45$时，选金卡最合算。
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象与性质，一次函数与方程组
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，既考查了一次函数解析式列写、交点坐标求解等基础知识点，也考查了数形结合分析最优方案的能力，贴近生活实际，能有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
