1.在$△ ABC$中，AD为边BC上的中线，若$AB=6$，$AC=4$，设$AD=x$，则$x$的取值范围是（$\quad$）。

A.$0＜x＜10$
B.$2＜x＜8$
C.$1＜x＜5$
D.$2＜x＜10$

1.C
提示:如图,延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 BE.

∵AD 是边 BC 上的中线,
∴BD=CD.
在△ADC 和△EDB 中,
$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ DC=DB, \end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS).
∴AC=BE=4.
在△ABE 中,
∵AB−BE＜AE＜AB+BE,
∴6−4＜2x＜6+4,
∴1＜x＜5.

【分析】
遇到求三角形中与中线相关的线段取值范围的问题，可采用“中线倍长”的常用辅助线思路：通过延长中线至一倍长度构造全等三角形，将已知的两条边长和两倍的中线长度转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系列不等式求解即可。
【解析】
解：延长AD到点E，使$AD=DE$，连接$BE$。
∵$AD$是边$BC$上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases} AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB\\ DC=DB \end{cases}$
∴$△ ADC≌△ EDB$（SAS），
∴$AC=BE=4$。
又
∵$AE=AD+DE=2x$，
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$AB-BE＜AE＜AB+BE$
代入$AB=6$、$BE=4$、$AE=2x$得：
$6-4＜2x＜6+4$
即$2＜2x＜10$，
不等式两边同时除以2，解得$1＜x＜5$。
因此本题选C。
【答案】
C
提示:如图,延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 BE.

【知识点】
中线倍长辅助线构造、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系
【点评】
本题是“中线倍长”模型的典型考题，通过构造全等三角形实现边的转化，将分散的已知边和未知线段关联到同一个三角形中，结合三角形三边关系即可求解，熟练掌握中线倍长的辅助线做法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D为AC的中点,点E在BD的延长线上,将线段CE绕点C逆时针旋转α得到线段CF,连接AF,求证AF+BD=DE.

2.如图,在 DE 上截取 DG=BD.

在△DAB 和△DCG 中,$\begin{cases} AD=CD,\\ ∠ADB=∠CDG,\\ BD=GD, \end{cases}$
∴△DAB≌△DCG(SAS).
∴CG=AB=AC,∠DCG=∠BAD=α=∠ECF.
∴∠ACF=∠GCE.
在△ACF 和△GCE 中,$\begin{cases} AC=CG,\\ ∠ACF=∠GCE,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴△ACF≌△GCE(SAS).
∴AF=EG.
∵DG=BD,
∴AF+BD=EG+DG=DE.

【分析】
要证明AF+BD=DE，属于线段和差类证明问题，常用截长补短法解决。首先观察到D是AC的中点，可采用中线倍长的思路，在DE上截取DG=BD，先构造△DAB和△DCG全等，得到CG=AB=AC以及对应角相等；再结合旋转的性质，得到CE=CF、旋转角∠ECF=α，推导得出∠ACF=∠GCE，进而证明△ACF和△GCE全等，得到AF=EG，最后通过线段等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：在DE上截取DG=BD。
∵D为AC中点，
∴AD=CD。
在△DAB和△DCG中：
$\begin{cases} AD=CD,\\ ∠ADB=∠CDG（对顶角相等）,\\ BD=GD, \end{cases}$
∴△DAB≌△DCG（SAS）。
∴CG=AB，∠DCG=∠BAD=α。
∵AB=AC，线段CE绕点C逆时针旋转α得到CF，
∴CG=AC，CF=CE，∠ECF=α，
∴∠DCG=∠ECF，即∠DCG-∠ACE=∠ECF-∠ACE，得∠ACF=∠GCE。
在△ACF和△GCE中：
$\begin{cases} AC=CG,\\ ∠ACF=∠GCE,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴△ACF≌△GCE（SAS）。
∴AF=EG。
∵DG=BD，
∴AF+BD=EG+DG=DE。
【答案】
2.如图,在 DE 上截取 DG=BD.

在△DAB 和△DCG 中,$\begin{cases} AD=CD,\\ ∠ADB=∠CDG,\\ BD=GD, \end{cases}$
∴△DAB≌△DCG(SAS).
∴CG=AB=AC,∠DCG=∠BAD=α=∠ECF.
∴∠ACF=∠GCE.
在△ACF 和△GCE 中,$\begin{cases} AC=CG,\\ ∠ACF=∠GCE,\\ CF=CE, \end{cases}$
∴△ACF≌△GCE(SAS).
∴AF=EG.
∵DG=BD,
∴AF+BD=EG+DG=DE.
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.旋转的性质
3.截长补短法
【点评】
本题是典型的构造全等三角形证明线段和差的题目，通过中线倍长作辅助线构造第一组全等，结合旋转的边角性质推出第二组全等的判定条件，最终实现线段的等量转化，掌握常见的全等构造辅助线作法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6

3.【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：在$△ ABC$中，$AB＝5$，$AC＝3$，求边$BC$上的中线$AD$的取值范围.
【探究方法】(1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①如图①，延长$AD$到点$E$，使得$DE＝AD$；
②连接$BE$，通过三角形全等把$AB$，$AC$，$2AD$转化到$△ ABE$中；
③利用三角形的三边关系可得$AE$的取值范围为$AB－BE＜AE＜AB＋BE$，从而得到$AD$的取值范围是.
【问题解决】(2)如图②，$OA＝OB$，$OC＝OD$，$∠ AOB$与$∠ COD$互补，连接$AC$，$BD$，$E$是$AC$的中点，求证$OE=\frac{1}{2}BD$.
(3)如图③，在(2)的条件下，若$∠ AOB＝90°$，延长$EO$交$BD$于点$F$，$OF＝3$，$OE＝6$，求$△ AOC$的面积.

3.(1)由题意知,△BDE≌△CDA,
∴BE=AC=3,DE=AD.
∴AE=2AD.
∵AB−BE＜AE＜AB+BE,
∴5−3＜2AD＜5+3,即 1＜AD＜4.
故答案为 1＜AD＜4.
(2)如图,延长 OE 到点 P,使 OE=EP,连接 AP.

∵E 是 AC 的中点,
∴AE=CE.
又
∵EP=OE,∠AEP=∠CEO,
∴△AEP≌△CEO(SAS).
∴AP=CO=OD,∠CAP=∠C.
∴AP//CO.
∴∠AOC+∠OAP=180°.
∵∠AOB 与∠COD 互补,
∴∠AOC+∠BOD=180°.
∴∠BOD=∠OAP.
又
∵AP=OD,OA=OB,
∴△BOD≌△OAP(SAS).
∴BD=OP.
∴$OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}BD$.
(3)如图,延长 OE 到点 P,使 OE=EP,连接 AP.

∵△AEP≌△CEO,△BOD≌△OAP,
∴$S_{△AEP}=S_{△CEO},S_{△BOD}=S_{△OAP},∠D=∠P=∠COE$.
∴$S_{△AOC}=S_{△AOE}+S_{△CEO}=S_{△AOE}+S_{△AEP}=S_{△OAP}=S_{△BOD}$.
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠COE+∠DOF=90°.
∴∠DOF+∠D=90°.
∴∠OFD=90°.
∵OF=3,OE=6,
∴BD=2OE=12.
∴$S_{△AOC}=S_{△BOD}=\frac{1}{2}BD×OF=\frac{1}{2}×12×3=18$.
∴△AOC 的面积为 18.

【分析】
(1) 求中线AD的取值范围时，遇到中点相关的线段范围问题，优先考虑倍长中线法：延长AD至E使DE=AD，构造全等三角形将AC转化为BE，此时AB、BE、2AD都在△ABE中，利用三角形三边关系即可求出AE的范围，进而得到AD的取值范围。
(2) 要证明$OE=\frac{1}{2}BD$，E是AC中点，依然采用倍长中线的思路：延长OE到P使EP=OE，先证△AEP和△CEO全等，得到AP=OD且AP//OC，进而推出∠OAP与∠AOC互补；再结合∠AOB和∠COD互补，推导得∠OAP=∠BOD，结合OA=OB即可证明△OAP和△BOD全等，得到BD=OP，即可推出OE和BD的数量关系。
(3) 求△AOC的面积时，借助前两问的全等结论，可推得△AOC和△BOD面积相等；再结合∠AOB=90°，可证明OF⊥BD，利用(2)的结论求出BD的长度，结合OF的长度用三角形面积公式计算△BOD的面积，即可得到△AOC的面积。
【解析】
(1) 由题意得△BDE≌△CDA，
∴BE=AC=3，DE=AD，
∴AE=2AD，
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴5-3＜2AD＜5+3，解得1＜AD＜4。
(2) 如图，延长OE到点P，使OE=EP，连接AP。
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又
∵EP=OE，∠AEP=∠CEO，
∴△AEP≌△CEO(SAS)，
∴AP=CO=OD，∠CAP=∠C，
∴AP//CO，
∴∠AOC+∠OAP=180°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠BOD=∠OAP，
又
∵AP=OD，OA=OB，
∴△BOD≌△OAP(SAS)，
∴BD=OP，
∴$OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}BD$。
(3) 如图，延长OE到点P，使OE=EP，连接AP。
∵△AEP≌△CEO，△BOD≌△OAP，
∴$S_{△AEP}=S_{△CEO},S_{△BOD}=S_{△OAP},∠D=∠P=∠COE$，
∴$S_{△AOC}=S_{△AOE}+S_{△CEO}=S_{△AOE}+S_{△AEP}=S_{△OAP}=S_{△BOD}$，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COE+∠DOF=90°，
∴∠DOF+∠D=90°，
∴∠OFD=90°，
∵OF=3，OE=6，
∴BD=2OE=12，
∴$S_{△AOC}=S_{△BOD}=\frac{1}{2}BD×OF=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1＜AD＜4}$
(2) 证明如上，辅助线图：
(3) $\boldsymbol{18}$，辅助线图：
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题以“中线倍长”为核心辅助线方法，通过构造全等三角形实现边、角、面积的转化，将分散的条件集中到同一个三角形中解决问题，是中点类几何问题的典型考法，熟练掌握倍长中线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6