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7.如图,在$Rt△ ABC$中,两锐角的平分线AD,BD相交于点D,DE⊥BC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证$DF=DE$. 
答案
如图,过点 $D$ 作 $DM⊥ AB$,垂足为 $M$.
$\because AD,BD$ 是角平分线,$DE⊥ BC,DF⊥ AC$.
$\therefore DF=DM,DE=DM$.
$\therefore DF=DE$.
解析
【分析】
要证明$DF=DE$，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$AD$、$BD$分别是$∠ BAC$、$∠ ABC$的角平分线，$DF⊥ AC$，$DE⊥ BC$，我们可以构造点$D$到$AB$的垂线段作为中间量：过点$D$作$DM⊥ AB$，根据角平分线性质可得$DF=DM$、$DE=DM$，最后通过等量代换即可证明$DF=DE$。
【解析】
1. 过点$D$作$DM⊥ AB$，垂足为$M$。
2. 因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$DF⊥ AC$，$DM⊥ AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DF=DM$。
3. 又因为$BD$是$∠ ABC$的角平分线，$DE⊥ BC$，$DM⊥ AB$，同理可得$DE=DM$。
4. 根据等量代换，可得$DF=DE$。
【答案】
如图,过点 $D$ 作 $DM⊥ AB$,垂足为 $M$.
$\because AD,BD$ 是角平分线,$DE⊥ BC,DF⊥ AC$.
$\therefore DF=DM,DE=DM$.
$\therefore DF=DE$.
【知识点】
角平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础证明类题目，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是构造点到角另一边的垂线段作为中间量，建立两条待证线段的等量关系，熟练掌握角平分线性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明$DF=DE$，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$AD$、$BD$分别是$∠ BAC$、$∠ ABC$的角平分线，$DF⊥ AC$，$DE⊥ BC$，我们可以构造点$D$到$AB$的垂线段作为中间量：过点$D$作$DM⊥ AB$，根据角平分线性质可得$DF=DM$、$DE=DM$，最后通过等量代换即可证明$DF=DE$。
【解析】
1. 过点$D$作$DM⊥ AB$，垂足为$M$。
2. 因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$DF⊥ AC$，$DM⊥ AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DF=DM$。
3. 又因为$BD$是$∠ ABC$的角平分线，$DE⊥ BC$，$DM⊥ AB$，同理可得$DE=DM$。
4. 根据等量代换，可得$DF=DE$。
【答案】
如图,过点 $D$ 作 $DM⊥ AB$,垂足为 $M$.
$\because AD,BD$ 是角平分线,$DE⊥ BC,DF⊥ AC$.
$\therefore DF=DM,DE=DM$.
$\therefore DF=DE$.
【知识点】
角平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础证明类题目，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是构造点到角另一边的垂线段作为中间量，建立两条待证线段的等量关系，熟练掌握角平分线性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在(
A.∠A 的平分线上
B.∠ABC 外角的平分线上
C.△ABC 边BC 的中线上
D.∠ACB 外角的平分线上
B
).A.∠A 的平分线上
B.∠ABC 外角的平分线上
C.△ABC 边BC 的中线上
D.∠ACB 外角的平分线上
答案
B
解析
【分析】
要判断点M的位置，可结合角平分线的判定定理分析：到角两边距离相等的点，在该角的平分线上。首先观察两个完全相同的直角三角板，可得点M到∠ABC外角的两条边的垂线段长度（即三角板的对应直角边）相等，满足角平分线的判定条件，由此推导点M的位置，再逐一排除不符合条件的选项即可。
【解析】
过点M作ME⊥AB的延长线于点E，MF⊥BC于点F。
∵两个直角三角板完全相同，
∴两条对应直角边长度相等，即ME=MF。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
ME是点M到∠ABC外角的一边（AB的延长线）的距离，MF是点M到∠ABC外角的另一边（BC）的距离，且ME=MF，
∴点M在∠ABC外角的平分线上。
其余选项：A选项无依据证明M到AB、AC的距离相等；C选项无依据证明M在BC边的中线上；D选项无依据证明M到∠ACB外角两边距离相等，均排除。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，全等图形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线判定定理的实际应用，解题的突破口是从两个完全相同的直角三角板中提取出“点M到角两边的距离相等”这一核心条件，解题时要注意区分内角平分线和外角平分线的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断点M的位置，可结合角平分线的判定定理分析：到角两边距离相等的点，在该角的平分线上。首先观察两个完全相同的直角三角板，可得点M到∠ABC外角的两条边的垂线段长度（即三角板的对应直角边）相等，满足角平分线的判定条件，由此推导点M的位置，再逐一排除不符合条件的选项即可。
【解析】
过点M作ME⊥AB的延长线于点E，MF⊥BC于点F。
∵两个直角三角板完全相同，
∴两条对应直角边长度相等，即ME=MF。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
ME是点M到∠ABC外角的一边（AB的延长线）的距离，MF是点M到∠ABC外角的另一边（BC）的距离，且ME=MF，
∴点M在∠ABC外角的平分线上。
其余选项：A选项无依据证明M到AB、AC的距离相等；C选项无依据证明M在BC边的中线上；D选项无依据证明M到∠ACB外角两边距离相等，均排除。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，全等图形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线判定定理的实际应用，解题的突破口是从两个完全相同的直角三角板中提取出“点M到角两边的距离相等”这一核心条件，解题时要注意区分内角平分线和外角平分线的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.7
9.如图,点A,B分别在射线OP,OQ上,点C在∠POQ的内部,CA=CB,CD⊥OP,CE⊥OQ,垂足分别为D,E,AD=BE.
(1)求证OC平分∠POQ.
(2)如果OD=6,OB=4,求OA的长.
(1)求证OC平分∠POQ.
(2)如果OD=6,OB=4,求OA的长.
答案
(1)$\because CD⊥ OP,CE⊥ OQ,\therefore ∠ CDA=90°,∠ CEB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDA$ 和 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ AD=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDA≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).\therefore CD=CE$.
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ POQ$ 的平分线上.
$\therefore OC$ 平分$∠ POQ$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中，
$\begin{cases} OC=OC, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌△ OCE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OD=OE=6$.
$\therefore AD=BE=OE-OB=6-4=2$.
$\therefore OA=OD+AD=6+2=8$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDA$ 和 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ AD=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDA≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).\therefore CD=CE$.
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ POQ$ 的平分线上.
$\therefore OC$ 平分$∠ POQ$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中，
$\begin{cases} OC=OC, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌△ OCE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OD=OE=6$.
$\therefore AD=BE=OE-OB=6-4=2$.
$\therefore OA=OD+AD=6+2=8$.
解析
【分析】
（1）要证明OC平分∠POQ，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OP、OQ两边的距离相等，即CD=CE。已知CD⊥OP、CE⊥OQ，且给出CA=CB、AD=BE的条件，可通过HL证明Rt△CDA和Rt△CEB全等，即可得到CD=CE，进而证得结论。
（2）首先利用HL证明Rt△OCD和Rt△OCE全等，得到OD=OE，再结合已知的OD、OB长度求出BE的长度，由（1）的全等结论可知AD=BE，最后根据OA=OD+AD即可求出OA的长度。
【解析】
(1)$\because CD⊥ OP,CE⊥ OQ,\therefore ∠ CDA=90°,∠ CEB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDA$ 和 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ AD=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDA≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).\therefore CD=CE$.
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ POQ$ 的平分线上.
$\therefore OC$ 平分$∠ POQ$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中，
$\begin{cases} OC=OC, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OD=OE=6$.
$\therefore AD=BE=OE-OB=6-4=2$.
$\therefore OA=OD+AD=6+2=8$.
【答案】
(1)OC平分$∠ POQ$，证明成立；
(2)$OA=8$
【知识点】
1. HL判定定理
2. 角平分线的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是灵活运用直角三角形全等的判定与性质，结合角平分线判定定理推导线段的等量关系，重点考查逻辑推理能力和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明OC平分∠POQ，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OP、OQ两边的距离相等，即CD=CE。已知CD⊥OP、CE⊥OQ，且给出CA=CB、AD=BE的条件，可通过HL证明Rt△CDA和Rt△CEB全等，即可得到CD=CE，进而证得结论。
（2）首先利用HL证明Rt△OCD和Rt△OCE全等，得到OD=OE，再结合已知的OD、OB长度求出BE的长度，由（1）的全等结论可知AD=BE，最后根据OA=OD+AD即可求出OA的长度。
【解析】
(1)$\because CD⊥ OP,CE⊥ OQ,\therefore ∠ CDA=90°,∠ CEB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDA$ 和 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ AD=BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDA≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).\therefore CD=CE$.
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ POQ$ 的平分线上.
$\therefore OC$ 平分$∠ POQ$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 和 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中，
$\begin{cases} OC=OC, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCD≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OD=OE=6$.
$\therefore AD=BE=OE-OB=6-4=2$.
$\therefore OA=OD+AD=6+2=8$.
【答案】
(1)OC平分$∠ POQ$，证明成立；
(2)$OA=8$
【知识点】
1. HL判定定理
2. 角平分线的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是灵活运用直角三角形全等的判定与性质，结合角平分线判定定理推导线段的等量关系，重点考查逻辑推理能力和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,AD为边BC上的高,AE是$∠ BAD$的平分线,点F为AE上一点,连接BF,$∠ BFE=45°$.
(1)求证BF平分$∠ ABE$.
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证$∠ AFC=90°$.
(3)在(2)的条件下,当$BE=3$,$AG=4.5$时,求线段AB的长.
(1)求证BF平分$∠ ABE$.
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证$∠ AFC=90°$.
(3)在(2)的条件下,当$BE=3$,$AG=4.5$时,求线段AB的长.
答案
(1)$\because AE$ 是$∠ BAD$ 的平分线,$\therefore ∠ BAD=2∠ BAF$.
$\because ∠ BFE=45°,\therefore ∠ FBA+∠ BAF=45°$.
$\therefore 2∠ FBA+2∠ BAF=90°$.
$\because AD$ 为边 $BC$ 上的高,$\therefore ∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°$.
$\therefore 2∠ FBA=∠ EBF+∠ FBA.\therefore ∠ EBF=∠ FBA$.
$\therefore BF$ 平分$∠ ABE$.
(2)如图,过点 $F$ 作 $FM⊥ BC$,垂足为 $M$,作 $FN⊥ AB$,垂足为 $N$.
$\because BF$ 平分$∠ ABE,FM⊥ BC,FN⊥ AB$,
$\therefore FM=FN$.
$\because S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,即$\frac{1}{2}AB· FN=\frac{1}{2}BC· FM$,
$\therefore AB=BC$.
在$△ ABF$ 和$△ CBF$ 中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABF=∠ CBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ AFB=∠ CFB$.
$\because ∠ BFE=45°,\therefore ∠ AFB=135°.\therefore ∠ CFB=135°$.
$\therefore ∠ CFE=∠ CFB-∠ BFE=135°-45°=90°$.
$\therefore ∠ AFC=90°$.
(3)$\because △ ABF≌△ CBF,\therefore AF=FC$.
$\because ∠ AFC=∠ ADC=90°,∠ AGF=∠ CGD,\therefore ∠ FAG=∠ FCE$.
在$△ AFG$ 和$△ CFE$ 中，
$\begin{cases} ∠ AFG=∠ CFE, \\ AF=CF, \\ ∠ FAG=∠ FCE, \end{cases}$
$\therefore △ AFG≌△ CFE(\mathrm{ASA}).\therefore AG=EC=4.5$.
$\because BE=3,\therefore BC=BE+EC=7.5$.
$\therefore AB=BC=7.5$.
解析
【分析】
(1) 要证明BF平分∠ABE，需证∠EBF=∠FBA。首先利用角平分线定义得∠BAD=2∠BAF，再结合三角形外角性质，由∠BFE=45°可得∠FBA+∠BAF=45°，再结合AD是BC边上的高，Rt△ABD中两锐角和为90°，通过角度代换即可推出两角相等。
(2) 已知两个三角形面积相等，结合(1)中BF是角平分线，过F分别向AB、BC作垂线段，利用角平分线性质得两条垂线段长度相等，代入面积公式可推出AB=BC，再通过SAS证明△ABF≌△CBF，得到对应角相等，结合∠BFE=45°计算角度即可证得∠AFC=90°。
(3) 由(2)的全等可得AF=FC，再结合两个直角和对顶角相等推导角相等，通过ASA证明△AFG≌△CFE，将AG转化为EC，即可求出BC长度，再利用(2)中AB=BC的结论得到AB的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE是∠BAD的平分线，
∴ $∠ BAD=2∠ BAF$。
∵ $∠ BFE$是$△ ABF$的外角，$∠ BFE=45°$，
∴ $∠ FBA+∠ BAF=∠ BFE=45°$，
等式两边同乘2得：$2∠ FBA+2∠ BAF=90°$。
∵ AD为边BC上的高，
∴ $∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$，即$∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°$，
代入上式可得：$2∠ FBA+2∠ BAF=∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF$，
化简得$∠ EBF=∠ FBA$，
∴ BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：
如图，过点F作$FM⊥ BC$，垂足为M，作$FN⊥ AB$，垂足为N。
∵ BF平分$∠ ABE$，$FM⊥ BC$，$FN⊥ AB$，根据角平分线的性质，
∴ $FM=FN$。
∵ $S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，即$\frac{1}{2}AB· FN=\frac{1}{2}BC· FM$，
又$FM=FN$，
∴ $AB=BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABF=∠ CBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AFB=∠ CFB$。
∵ $∠ BFE=45°$，
∴ $∠ AFB=180°-∠ BFE=135°$，
∴ $∠ CFB=135°$，
∴ $∠ CFE=∠ CFB-∠ BFE=135°-45°=90°$，
∴ $∠ AFC=90°$。
(3) 解：
∵ $△ ABF≌△ CBF$，
∴ $AF=FC$。
∵ $∠ AFC=∠ ADC=90°$，$∠ AGF=∠ CGD$（对顶角相等），
由三角形内角和可得$∠ FAG=∠ FCE$。
在$△ AFG$和$△ CFE$中：
$\begin{cases} ∠ AFG=∠ CFE=90°, \\ AF=CF, \\ ∠ FAG=∠ FCE, \end{cases}$
∴ $△ AFG≌△ CFE(\mathrm{ASA})$，
∴ $AG=EC=4.5$。
∵ $BE=3$，
∴ $BC=BE+EC=3+4.5=7.5$，
由(2)知$AB=BC$，
∴ $AB=7.5$。
【答案】
(1) BF平分$∠ ABE$，得证；
(2) $∠ AFC=90°$，得证；
(3) 线段AB的长为$\boldsymbol{7.5}$（或$\frac{15}{2}$）。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合类题目，三个小问梯度明显，逐层提升难度。既考察了角平分线的判定、性质等基础内容，也结合全等三角形、角度推导、线段转化进行综合考察，要求学生熟练掌握相关基础定理，能够根据已知条件构造合适的辅助线，梳理角度和线段的等量关系，提升逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BF平分∠ABE，需证∠EBF=∠FBA。首先利用角平分线定义得∠BAD=2∠BAF，再结合三角形外角性质，由∠BFE=45°可得∠FBA+∠BAF=45°，再结合AD是BC边上的高，Rt△ABD中两锐角和为90°，通过角度代换即可推出两角相等。
(2) 已知两个三角形面积相等，结合(1)中BF是角平分线，过F分别向AB、BC作垂线段，利用角平分线性质得两条垂线段长度相等，代入面积公式可推出AB=BC，再通过SAS证明△ABF≌△CBF，得到对应角相等，结合∠BFE=45°计算角度即可证得∠AFC=90°。
(3) 由(2)的全等可得AF=FC，再结合两个直角和对顶角相等推导角相等，通过ASA证明△AFG≌△CFE，将AG转化为EC，即可求出BC长度，再利用(2)中AB=BC的结论得到AB的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE是∠BAD的平分线，
∴ $∠ BAD=2∠ BAF$。
∵ $∠ BFE$是$△ ABF$的外角，$∠ BFE=45°$，
∴ $∠ FBA+∠ BAF=∠ BFE=45°$，
等式两边同乘2得：$2∠ FBA+2∠ BAF=90°$。
∵ AD为边BC上的高，
∴ $∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$，即$∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°$，
代入上式可得：$2∠ FBA+2∠ BAF=∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF$，
化简得$∠ EBF=∠ FBA$，
∴ BF平分$∠ ABE$。
(2) 证明：
如图，过点F作$FM⊥ BC$，垂足为M，作$FN⊥ AB$，垂足为N。
∵ BF平分$∠ ABE$，$FM⊥ BC$，$FN⊥ AB$，根据角平分线的性质，
∴ $FM=FN$。
∵ $S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，即$\frac{1}{2}AB· FN=\frac{1}{2}BC· FM$，
又$FM=FN$，
∴ $AB=BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中：
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABF=∠ CBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AFB=∠ CFB$。
∵ $∠ BFE=45°$，
∴ $∠ AFB=180°-∠ BFE=135°$，
∴ $∠ CFB=135°$，
∴ $∠ CFE=∠ CFB-∠ BFE=135°-45°=90°$，
∴ $∠ AFC=90°$。
(3) 解：
∵ $△ ABF≌△ CBF$，
∴ $AF=FC$。
∵ $∠ AFC=∠ ADC=90°$，$∠ AGF=∠ CGD$（对顶角相等），
由三角形内角和可得$∠ FAG=∠ FCE$。
在$△ AFG$和$△ CFE$中：
$\begin{cases} ∠ AFG=∠ CFE=90°, \\ AF=CF, \\ ∠ FAG=∠ FCE, \end{cases}$
∴ $△ AFG≌△ CFE(\mathrm{ASA})$，
∴ $AG=EC=4.5$。
∵ $BE=3$，
∴ $BC=BE+EC=3+4.5=7.5$，
由(2)知$AB=BC$，
∴ $AB=7.5$。
【答案】
(1) BF平分$∠ ABE$，得证；
(2) $∠ AFC=90°$，得证；
(3) 线段AB的长为$\boldsymbol{7.5}$（或$\frac{15}{2}$）。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合类题目，三个小问梯度明显，逐层提升难度。既考察了角平分线的判定、性质等基础内容，也结合全等三角形、角度推导、线段转化进行综合考察，要求学生熟练掌握相关基础定理，能够根据已知条件构造合适的辅助线，梳理角度和线段的等量关系，提升逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
