4.如图,在等边三角形ABC中,E为线段AB上一点,D为三角形外一点,BC与ED相交于点G,连接CD,DE,F为DE上一点,连接BF,且∠BAC+∠CDE=180°.若BF平分∠ABC,∠BCD=10°,求∠BFD的度数.

4.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°.
∵BF 平分∠ABC,
∴∠CBF=30°.
∵∠BAC+∠CDE=180°,
∴∠CDE=120°.
∵∠BCD=10°,
∴∠CGD=180°−∠CDE−∠BCD=50°.
∴∠BGF=∠CGD=50°.
∴∠BFD=180°−∠CBF−∠BGF=100°.

【分析】
解题时首先从已知的等边三角形入手，先利用等边三角形内角均为60°的性质，得到∠BAC和∠ABC的度数；再结合角平分线的定义求出∠CBF的度数，根据∠BAC与∠CDE的和为180°算出∠CDE的度数；接着在△CGD中利用三角形内角和定理求出∠CGD，再根据对顶角相等得到∠BGF的度数；最后在△BFG中利用三角形内角和即可求出∠BFD的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵∠BAC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=180°-60°=120°，
在△CGD中，根据三角形内角和为180°，
∴∠CGD=180°-∠CDE-∠BCD=180°-120°-10°=50°，
∵∠BGF与∠CGD是对顶角，
∴∠BGF=∠CGD=50°，
在△BFG中，
∴∠BFD=180°-∠CBF-∠BGF=180°-30°-50°=100°。
【答案】
$\boxed{100°}$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，综合考查了等边三角形、角平分线、对顶角的相关性质，解题的关键是逐步推导相关角的度数，找准所求角所在的三角形，结合内角和定理计算即可。
【难度系数】
0.7

5.(1)如图①，AD是$△ ABC$的中线，BE是$△ ABD$的中线，$EF ⊥ BC$，垂足为F.若$S_{△ ABC}=24$，$BD=5$，则EF的长为.
(2)如图②，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，AD为边BC上的中线，$CD=3$，$CF=4.5$，$AE=EF$，求$△ ABC$的面积.
(3)如图③，已知$△ AOB$和$△ COD$，其中$AO=BO$，$CO=DO$，$∠ AOB=∠ COD=90°$，OE为$△ BOD$的中线，试探究线段OE与AC之间的数量关系，并加以证明.

5.(1)$\frac{12}{5}$
(2)如图,延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 CG,过点 A 作 AM⊥CG,垂足为 M.

∵AD 为边 BC 上的中线,
∴BD=CD.
∵AD=DG,∠ADB=∠GDC,
∴△ADB≌△GDC(SAS).
∴∠G=∠BAD,$S_{△ABD}=S_{△GCD}$.
∴AB//CG,$S_{△ABC}=S_{△ACG}$.
∴∠DCG=∠ABD=90°.
∴BC⊥CG.
∵AM⊥CG,
∴AM=BC=2CD=6.
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠EFA.
∵∠EFA=∠CFG,
∴∠CFG=∠G.
∴CG=CF=4.5.
∴$S_{△ABC}=S_{△ACG}=\frac{1}{2}CG·AM=\frac{1}{2}×4.5×6=13.5$.
(3)AC=2OE,证明如下：
如图,延长 OE 至点 F,使 EF=OE.

同理(2)可得,△OEB≌△FED(SAS),
∴DF=OB,∠F=∠BOF.
∵OA=OB,
∴DF=OA.
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=90°+∠AOF.
∴∠F=90°+∠AOF.
∴∠ODF=180°−∠F−∠DOF=180°−(90°+∠AOF)−∠DOF=∠AOC.
∵OC=OD,
∴△OAC≌△DFO(SAS).
∴AC=OF=2OE.

【分析】
(1) 利用三角形中线的面积性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，先依次求出△ABD、△BDE的面积，再结合三角形面积公式，已知底BD的长度，即可求出高EF的长度。
(2) 遇到中线可考虑用倍长中线法构造全等三角形，延长AD到G使DG=AD，证明△ADB≌△GDC，将△ABC的面积转化为△ACG的面积，再通过AE=EF推导角的等量关系得到CG=CF，结合已知边长即可求出面积。
(3) 同样采用倍长中线的方法，延长OE到F使EF=OE，先证明△OEB≌△FED得到边和角的等量关系，再证明△OAC≌△DFO，即可推出OE和AC的数量关系。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=24$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=12$，
又
∵BE是△ABD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=6$，
∵$EF⊥BC$，$BD=5$，且$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
∴$6=\frac{1}{2}×5×EF$，解得$EF=\frac{12}{5}$。
(2) 如图,延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 CG,过点 A 作 AM⊥CG,垂足为 M.

∵AD 为边 BC 上的中线,
∴$BD=CD$.
∵$AD=DG$，$∠ADB=∠GDC$,
∴$△ADB≌△GDC(SAS)$.
∴$∠G=∠BAD$，$S_{△ABD}=S_{△GCD}$.
∴$AB// CG$，$S_{△ABC}=S_{△ACG}$.
∴$∠DCG=∠ABD=90°$.
∴$BC⊥CG$.
∵$AM⊥CG$,
∴$AM=BC=2CD=6$.
∵$AE=EF$,
∴$∠EAF=∠EFA$.
∵$∠EFA=∠CFG$,
∴$∠CFG=∠G$.
∴$CG=CF=4.5$.
∴$S_{△ABC}=S_{△ACG}=\frac{1}{2}CG·AM=\frac{1}{2}×4.5×6=13.5$.
(3) $AC=2OE$，证明如下：
如图,延长 OE 至点 F,使 $EF=OE$.

∵OE为△BOD的中线，
∴$BE=DE$，
又
∵$∠OEB=∠FED$，$OE=EF$,
∴$△OEB≌△FED(SAS)$,
∴$DF=OB$，$∠F=∠BOF$.
∵$AO=BO$,
∴$DF=OA$.
∵$∠AOB=∠COD=90°$,
∴$∠AOC+∠BOD=360°-90°-90°=180°$,
又
∵$∠F+∠DOF+∠ODF=180°$，$∠F=∠BOF$,
∴$∠BOF+∠DOF+∠ODF=∠BOD+∠ODF=180°$,
∴$∠ODF=∠AOC$.
∵$CO=DO$,
∴$△OAC≌△DFO(SAS)$.
∴$AC=OF=2OE$.
【答案】
(1) $\frac{12}{5}$
(2) $13.5$，辅助线图
(3) $AC=2OE$，辅助线图
【知识点】
三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线构造
【点评】
本题围绕三角形中线的相关应用设计，第一问基础考查中线等分三角形面积的性质，后两问侧重考查倍长中线构造全等三角形的辅助线方法，能够有效检验对全等三角形知识和常用几何辅助线技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.6