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三、解答题
17.解分式方程$\frac{2}{x^2 -1}=-\frac{1}{x -1}$
17.解分式方程$\frac{2}{x^2 -1}=-\frac{1}{x -1}$
答案
17.$x=-3$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：第一步先对分母因式分解，确定最简公分母；第二步方程两边同乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程；第三步解得到的整式方程；第四步必须检验所得的根是否为增根，即代入最简公分母判断其是否为0，若不为0才是原方程的有效解。本题中先将$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，即可确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，再按上述步骤求解即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，原方程变形为：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含条件$x≠\pm1$，否则分母为0无意义），去分母得：
$2=-(x+1)$
去括号，得：
$2=-x-1$
移项、合并同类项，得：
$x=-3$
检验：将$x=-3$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(-3+1)×(-3-1)=8≠0$，因此$x=-3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-3$
【知识点】
分式方程的解法；平方差公式因式分解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，考查分式方程转化为整式方程的转化思想，解题时要注意去分母时不要弄错符号，同时解完必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：第一步先对分母因式分解，确定最简公分母；第二步方程两边同乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程；第三步解得到的整式方程；第四步必须检验所得的根是否为增根，即代入最简公分母判断其是否为0，若不为0才是原方程的有效解。本题中先将$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，即可确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，再按上述步骤求解即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，原方程变形为：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)}=-\frac{1}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含条件$x≠\pm1$，否则分母为0无意义），去分母得：
$2=-(x+1)$
去括号，得：
$2=-x-1$
移项、合并同类项，得：
$x=-3$
检验：将$x=-3$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(-3+1)×(-3-1)=8≠0$，因此$x=-3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-3$
【知识点】
分式方程的解法；平方差公式因式分解；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，考查分式方程转化为整式方程的转化思想，解题时要注意去分母时不要弄错符号，同时解完必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
18.分解因式.
(1) $a^3 + 4a^2 + 4a$.
(2) $(x^2 + 1)^2 - (2x)^2$.
(1) $a^3 + 4a^2 + 4a$.
(2) $(x^2 + 1)^2 - (2x)^2$.
答案
18.(1)$原式=a(a+2)^2$.(2)$原式=(x+1)^2(x-1)^2$.
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：（1）先观察多项式各项是否有公因式，先提取公因式，再判断剩余多项式是否符合乘法公式的形式，本题提公因式后剩余的二次三项式符合完全平方公式，继续分解即可；（2）先观察式子是两个平方作差的结构，符合平方差公式，先套用平方差公式分解为两个多项式的乘积，再分别判断两个多项式是否能继续分解，发现均符合完全平方公式，继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$a$：
$a^3 + 4a^2 + 4a = a(a^2 + 4a + 4)$
第二步对括号内的二次三项式套用完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$：
$a(a^2 + 4a + 4) = a(a+2)^2$
(2) 第一步套用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中$A=x^2+1$，$B=2x$：
$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)$
第二步分别对两个因式套用完全平方公式：
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
因此原式$=(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1)$a(a+2)^2$；(2)$(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，需注意分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止，熟练掌握提公因式法和两个乘法公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：（1）先观察多项式各项是否有公因式，先提取公因式，再判断剩余多项式是否符合乘法公式的形式，本题提公因式后剩余的二次三项式符合完全平方公式，继续分解即可；（2）先观察式子是两个平方作差的结构，符合平方差公式，先套用平方差公式分解为两个多项式的乘积，再分别判断两个多项式是否能继续分解，发现均符合完全平方公式，继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$a$：
$a^3 + 4a^2 + 4a = a(a^2 + 4a + 4)$
第二步对括号内的二次三项式套用完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$：
$a(a^2 + 4a + 4) = a(a+2)^2$
(2) 第一步套用平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中$A=x^2+1$，$B=2x$：
$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)$
第二步分别对两个因式套用完全平方公式：
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
因此原式$=(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1)$a(a+2)^2$；(2)$(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，需注意分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止，熟练掌握提公因式法和两个乘法公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
19.如图，D是△ABC的边AB上的一点，AB//FC，DF交AC于点E，DE＝EF.求证AD＝CF.
答案
19.$\because AB// FC,\therefore ∠ ECF=∠ A$.在$△ ADE$ 和$△ CFE$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECF,\\∠ AED=∠ CEF,\\DE=FE,\end{cases}$$\therefore △ ADE≌△ CFE.\therefore AD=CF.$
解析
【分析】
要证明AD=CF，可通过证明两条线段所在的△ADE与△CFE全等实现。首先根据AB//FC的条件，利用平行线的性质得到一组内错角相等；再结合对顶角相等，以及题目给出的DE=EF的条件，即可利用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
$\because AB// FC$，
$\therefore ∠ECF=∠A$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ADE$ 和$△CFE$ 中,
$\begin{cases}∠A=∠ECF,\\∠AED=∠CEF（对顶角相等）,\\DE=FE,\end{cases}$
$\therefore △ADE≌△CFE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AD=CF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AD=CF$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的关键是结合已知条件找准待证线段所在的全等三角形，再通过平行线性质、对顶角性质凑齐全等判定的条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明AD=CF，可通过证明两条线段所在的△ADE与△CFE全等实现。首先根据AB//FC的条件，利用平行线的性质得到一组内错角相等；再结合对顶角相等，以及题目给出的DE=EF的条件，即可利用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
$\because AB// FC$，
$\therefore ∠ECF=∠A$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ADE$ 和$△CFE$ 中,
$\begin{cases}∠A=∠ECF,\\∠AED=∠CEF（对顶角相等）,\\DE=FE,\end{cases}$
$\therefore △ADE≌△CFE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AD=CF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AD=CF$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，解题的关键是结合已知条件找准待证线段所在的全等三角形，再通过平行线性质、对顶角性质凑齐全等判定的条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
20.已知$x^2 -4x +1=0$，先化简，再求值：$( \frac{x+2}{x^2 -2x} - \frac{x-1}{x^2 -4x +4} ) ÷ \frac{x-4}{x}$
答案
20.$原式=[\dfrac{x^2-4}{x(x-2)^2}-\dfrac{x^2-x}{x(x-2)^2}]÷\dfrac{x-4}{x}$$=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2}·\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{1}{(x-2)^2}.$由$x^2-4x+1=0,得(x-2)^2=3,\therefore 原式=\dfrac{1}{3}.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先完成分式化简，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，先对各分母因式分解确定最简公分母，通分后计算分子的差，再将除法转化为乘法，约分化简得到最简结果；第二步处理已知方程，不需要直接求解x的值，通过配方将已知方程变形为与最简式结构相关的形式，整体代入计算即可得到最终值。
【解析】
首先对原式中各分母因式分解：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，
则原式$=[ \frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2} ] ÷ \frac{x-4}{x}$
通分，最简公分母为$x(x-2)^2$：
$=[ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \frac{x(x-1)}{x(x-2)^2} ] · \frac{x}{x-4}$
计算括号内分子的差：
$(x+2)(x-2) - x(x-1) = x^2-4 - x^2 +x = x-4$
所以原式$=\frac{x-4}{x(x-2)^2} · \frac{x}{x-4}$
约分得最简式：$\frac{1}{(x-2)^2}$
接下来变形已知方程$x^2-4x+1=0$：
移项得$x^2-4x=-1$，两边加4配方得$x^2-4x+4=3$，即$(x-2)^2=3$
将$(x-2)^2=3$代入最简式得：原式$=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的典型考法，重点考查分式通分、约分的运算规则，以及化简求值的技巧，解题时利用整体代入的思想可以避开求解x的具体值，大幅简化计算过程，需注意运算过程中符号的处理和分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先完成分式化简，按照分式混合运算顺序，先计算括号内的异分母分式减法，先对各分母因式分解确定最简公分母，通分后计算分子的差，再将除法转化为乘法，约分化简得到最简结果；第二步处理已知方程，不需要直接求解x的值，通过配方将已知方程变形为与最简式结构相关的形式，整体代入计算即可得到最终值。
【解析】
首先对原式中各分母因式分解：
$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，
则原式$=[ \frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2} ] ÷ \frac{x-4}{x}$
通分，最简公分母为$x(x-2)^2$：
$=[ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \frac{x(x-1)}{x(x-2)^2} ] · \frac{x}{x-4}$
计算括号内分子的差：
$(x+2)(x-2) - x(x-1) = x^2-4 - x^2 +x = x-4$
所以原式$=\frac{x-4}{x(x-2)^2} · \frac{x}{x-4}$
约分得最简式：$\frac{1}{(x-2)^2}$
接下来变形已知方程$x^2-4x+1=0$：
移项得$x^2-4x=-1$，两边加4配方得$x^2-4x+4=3$，即$(x-2)^2=3$
将$(x-2)^2=3$代入最简式得：原式$=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的典型考法，重点考查分式通分、约分的运算规则，以及化简求值的技巧，解题时利用整体代入的思想可以避开求解x的具体值，大幅简化计算过程，需注意运算过程中符号的处理和分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
