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9.要求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}(x≠0)$的最小值,可对$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2≥2$,当$x-\frac{1}{x}=0$,即$x^2=1$时,$x^2+\frac{1}{x^2}$取最小值2.类比迁移,代数式$x^2+\frac{4}{x^2}(x≠0)$的最小值是(
A.2
B.4
C.6
D.8
B
).A.2
B.4
C.6
D.8
答案
9.B
解析
【分析】
本题是方法迁移类题目，可参考题干给出的配方法思路求解：首先观察代数式的结构，两个项都是平方形式，可利用完全平方公式将代数式变形，再结合平方的非负性求出最小值。思考步骤：①先把$\frac{4}{x^2}$改写为$(\frac{2}{x})^2$；②用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$对$x^2+\frac{4}{x^2}$配方，凑出平方项加常数的形式；③根据平方数≥0的性质，确定代数式的最小值。
【解析】
我们对代数式$x^2+\frac{4}{x^2}$用完全平方公式变形：
根据完全平方公式可得：
$(x-\frac{2}{x})^2=x^2 - 2· x· \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$
移项整理得：$x^2 + \frac{4}{x^2} = (x-\frac{2}{x})^2 + 4$
∵ 平方数具有非负性，即$(x-\frac{2}{x})^2 ≥ 0$，当且仅当$x-\frac{2}{x}=0$（即$x^2=2$，存在满足条件的非零$x$）时，等号成立
∴ $x^2+\frac{4}{x^2} ≥ 0 + 4 = 4$，即该代数式的最小值为4
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；平方的非负性；配方法求最值
【点评】
本题属于类比探究类题型，解题的关键是读懂题干给出的示例方法，灵活运用配方法和完全平方的性质求解最值，考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类题目，可参考题干给出的配方法思路求解：首先观察代数式的结构，两个项都是平方形式，可利用完全平方公式将代数式变形，再结合平方的非负性求出最小值。思考步骤：①先把$\frac{4}{x^2}$改写为$(\frac{2}{x})^2$；②用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$对$x^2+\frac{4}{x^2}$配方，凑出平方项加常数的形式；③根据平方数≥0的性质，确定代数式的最小值。
【解析】
我们对代数式$x^2+\frac{4}{x^2}$用完全平方公式变形：
根据完全平方公式可得：
$(x-\frac{2}{x})^2=x^2 - 2· x· \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$
移项整理得：$x^2 + \frac{4}{x^2} = (x-\frac{2}{x})^2 + 4$
∵ 平方数具有非负性，即$(x-\frac{2}{x})^2 ≥ 0$，当且仅当$x-\frac{2}{x}=0$（即$x^2=2$，存在满足条件的非零$x$）时，等号成立
∴ $x^2+\frac{4}{x^2} ≥ 0 + 4 = 4$，即该代数式的最小值为4
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；平方的非负性；配方法求最值
【点评】
本题属于类比探究类题型，解题的关键是读懂题干给出的示例方法，灵活运用配方法和完全平方的性质求解最值，考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
10.用四张长、宽分别为$a,b(a＞b＞0)$的长方形纸片，按图示拼成一个边长为$(a+b)$的大正方形.记大正方形面积为$S_1$，中间小正方形面积为$S_2$.若$S_1=8S_2$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值是(
A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{18}{7}$
D
).A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{18}{7}$
答案
10.D
解析
【分析】
首先明确所求代数式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分后为$\frac{a^2+b^2}{ab}$，因此解题目标是找到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系。第一步，根据正方形面积公式，直接写出大正方形面积$S_1$的表达式；第二步，用大正方形面积减去4个长方形的总面积，得到中间小正方形面积$S_2$的表达式并化简；第三步，结合题设$S_1=8S_2$的条件，代入两个面积表达式展开整理，即可得到$a^2+b^2$与$ab$的比值，代入通分后的式子就能算出结果。
【解析】
1. 计算$S_1$：大正方形边长为$(a+b)$，因此
$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 计算$S_2$：4张长方形纸片的总面积为$4ab$，因此中间小正方形面积为
$S_2=S_1-4ab=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
3. 根据$S_1=8S_2$代入得：
$(a+b)^2=8(a-b)^2$
展开等式两边：
$a^2+2ab+b^2=8a^2-16ab+8b^2$
移项整理：
$7a^2-18ab+7b^2=0$，即$7(a^2+b^2)=18ab$，可得$a^2+b^2=\frac{18}{7}ab$
4. 对所求代数式通分：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
将$a^2+b^2=\frac{18}{7}ab$代入上式：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{\frac{18}{7}ab}{ab}=\frac{18}{7}$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、代数式化简、正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题关键是结合图形面积关系推导$a$、$b$的数量关系，需要熟练掌握完全平方公式的变形及分式的通分化简。
【难度系数】
0.6
首先明确所求代数式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分后为$\frac{a^2+b^2}{ab}$，因此解题目标是找到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系。第一步，根据正方形面积公式，直接写出大正方形面积$S_1$的表达式；第二步，用大正方形面积减去4个长方形的总面积，得到中间小正方形面积$S_2$的表达式并化简；第三步，结合题设$S_1=8S_2$的条件，代入两个面积表达式展开整理，即可得到$a^2+b^2$与$ab$的比值，代入通分后的式子就能算出结果。
【解析】
1. 计算$S_1$：大正方形边长为$(a+b)$，因此
$S_1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 计算$S_2$：4张长方形纸片的总面积为$4ab$，因此中间小正方形面积为
$S_2=S_1-4ab=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
3. 根据$S_1=8S_2$代入得：
$(a+b)^2=8(a-b)^2$
展开等式两边：
$a^2+2ab+b^2=8a^2-16ab+8b^2$
移项整理：
$7a^2-18ab+7b^2=0$，即$7(a^2+b^2)=18ab$，可得$a^2+b^2=\frac{18}{7}ab$
4. 对所求代数式通分：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
将$a^2+b^2=\frac{18}{7}ab$代入上式：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{\frac{18}{7}ab}{ab}=\frac{18}{7}$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、代数式化简、正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题关键是结合图形面积关系推导$a$、$b$的数量关系，需要熟练掌握完全平方公式的变形及分式的通分化简。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11.计算：
(1) $(-2ab^2)^3 =$
11.计算：
(1) $(-2ab^2)^3 =$
$-8a^3b^6$
；(2) $(3a^2b^2)^3 · (-a^2b)^2 =$ $27a^{10}b^8$
.答案
11.(1) $-8a^3b^6$ (2)$27a^{10}b^8$
解析
【分析】
这两道题均考查幂的运算相关法则，解题时先回忆对应运算规则：①积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加。第(1)题直接运用积的乘方和幂的乘方法则计算即可；第(2)题先分别计算两个乘方的结果，再运用同底数幂的乘法法则计算最终结果，计算时注意符号和指数的运算。
【解析】
(1) 计算$(-2ab^2)^3$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方可得：
$(-2ab^2)^3 = (-2)^3 · a^3 · (b^2)^3$
计算得$(-2)^3=-8$，再根据幂的乘方法则得$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$，
因此原式$=-8a^3b^6$。
(2) 计算$(3a^2b^2)^3 · (-a^2b)^2$：
第一步先分别计算两个乘方的结果：
① 由积的乘方、幂的乘方法则得：$(3a^2b^2)^3 = 3^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3 = 27a^6b^6$
② 同理得：$(-a^2b)^2 = (-1)^2 · (a^2)^2 · b^2 = a^4b^2$
第二步将两个结果相乘，根据同底数幂的乘法法则，系数相乘，同底数幂底数不变、指数相加：
原式$=27a^6b^6 · a^4b^2 = 27 · a^{6+4} · b^{6+2} = 27a^{10}b^8$。
【答案】
(1) $-8a^3b^6$ (2) $27a^{10}b^8$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算时要特别注意负数乘方的符号以及指数的运算规则，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查幂的运算相关法则，解题时先回忆对应运算规则：①积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加。第(1)题直接运用积的乘方和幂的乘方法则计算即可；第(2)题先分别计算两个乘方的结果，再运用同底数幂的乘法法则计算最终结果，计算时注意符号和指数的运算。
【解析】
(1) 计算$(-2ab^2)^3$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方可得：
$(-2ab^2)^3 = (-2)^3 · a^3 · (b^2)^3$
计算得$(-2)^3=-8$，再根据幂的乘方法则得$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$，
因此原式$=-8a^3b^6$。
(2) 计算$(3a^2b^2)^3 · (-a^2b)^2$：
第一步先分别计算两个乘方的结果：
① 由积的乘方、幂的乘方法则得：$(3a^2b^2)^3 = 3^3 · (a^2)^3 · (b^2)^3 = 27a^6b^6$
② 同理得：$(-a^2b)^2 = (-1)^2 · (a^2)^2 · b^2 = a^4b^2$
第二步将两个结果相乘，根据同底数幂的乘法法则，系数相乘，同底数幂底数不变、指数相加：
原式$=27a^6b^6 · a^4b^2 = 27 · a^{6+4} · b^{6+2} = 27a^{10}b^8$。
【答案】
(1) $-8a^3b^6$ (2) $27a^{10}b^8$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算时要特别注意负数乘方的符号以及指数的运算规则，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8
12.把$x^3 - 2x^2y + xy^2$分解因式，结果是
$x(x-y)^2$
。答案
12.$x(x-y)^2$
解析
【分析】
解决因式分解类题目要遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式的特征，选择对应的公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。本题先观察到多项式各项都含有公因式x，提取后剩余的三项式刚好符合完全平方公式的形式，可继续分解。
【解析】
对多项式$x^3 - 2x^2y + xy^2$分解因式：
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - 2x^2y + xy^2 = x(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 括号内的$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），因此继续分解得：
$x(x^2 - 2xy + y^2) = x(x-y)^2$
【答案】
$x(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本操作，解题时要严格按照先提公因式、再套用公式的顺序，避免出现漏提公因式或分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目要遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式的特征，选择对应的公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。本题先观察到多项式各项都含有公因式x，提取后剩余的三项式刚好符合完全平方公式的形式，可继续分解。
【解析】
对多项式$x^3 - 2x^2y + xy^2$分解因式：
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - 2x^2y + xy^2 = x(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 括号内的$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$（其中$a=x$，$b=y$），因此继续分解得：
$x(x^2 - 2xy + y^2) = x(x-y)^2$
【答案】
$x(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本操作，解题时要严格按照先提公因式、再套用公式的顺序，避免出现漏提公因式或分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
13.某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.要求A,B原料的单价，则可设B原料的单价是每千克x元，列方程为
$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$
.答案
13.$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目的已知条件和等量关系：第一步，根据设出的B原料单价，可表示出A原料的单价；第二步，利用“数量=总价÷单价”的公式，分别表示出900元购买A、B两种原料的质量；第三步，找准核心等量关系：用900元收购A原料的质量比收购B原料的质量少100kg，即A的质量+100kg=B的质量，代入对应的表达式即可列出方程。
【解析】
已知设B原料的单价为每千克x元，由A原料单价是B的1.5倍，可得A原料单价为每千克1.5x元。
根据“数量=总价÷单价”，可得：
900元收购A原料的质量为$\frac{900}{1.5x}$ kg，
900元收购B原料的质量为$\frac{900}{x}$ kg。
由“用900元收购A原料比收购B原料少100kg”，可得等量关系：A原料质量 + 100 = B原料质量，
代入对应表达式列方程得：$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$。
【答案】
$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价单价数量的关系
【点评】
本题是典型的列方程类基础题型，解题核心是准确找到题目中的数量差等量关系，正确用含未知数的代数式表示出各数量，熟练掌握总价、单价、数量三者的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的已知条件和等量关系：第一步，根据设出的B原料单价，可表示出A原料的单价；第二步，利用“数量=总价÷单价”的公式，分别表示出900元购买A、B两种原料的质量；第三步，找准核心等量关系：用900元收购A原料的质量比收购B原料的质量少100kg，即A的质量+100kg=B的质量，代入对应的表达式即可列出方程。
【解析】
已知设B原料的单价为每千克x元，由A原料单价是B的1.5倍，可得A原料单价为每千克1.5x元。
根据“数量=总价÷单价”，可得：
900元收购A原料的质量为$\frac{900}{1.5x}$ kg，
900元收购B原料的质量为$\frac{900}{x}$ kg。
由“用900元收购A原料比收购B原料少100kg”，可得等量关系：A原料质量 + 100 = B原料质量，
代入对应表达式列方程得：$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$。
【答案】
$\frac{900}{1.5x}+100=\frac{900}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价单价数量的关系
【点评】
本题是典型的列方程类基础题型，解题核心是准确找到题目中的数量差等量关系，正确用含未知数的代数式表示出各数量，熟练掌握总价、单价、数量三者的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN//BC，△ABC的周长为18，△AMN的周长为12，则BC的长是
6
。答案
14.6
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找等角关系：题中同时给出角平分线和平行线，二者结合可推出等腰三角形，得到线段相等的结论。再将△AMN的周长进行转化，得到其与AB、AC长度和的关系，最后结合△ABC的周长即可求出BC的长度。
【解析】
1. 由角平分线定义：
BO平分∠ABC，故∠MBO=∠OBC；CO平分∠ACB，故∠NCO=∠OCB。
2. 结合平行线性质推导等腰三角形：
∵MN//BC，根据平行线内错角相等，得∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB。
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，根据等角对等边，可得$MB=MO$，$NC=NO$。
3. 转化△AMN的周长：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN$，又$MN=MO+ON=MB+NC$，代入得：
$C_{△ AMN}=AM+MB+AN+NC=AB+AC=12$。
4. 计算BC的长度：
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=18$，将$AB+AC=12$代入得：
$BC=18-12=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”的模型可以推出等腰三角形，通过线段等量代换转化周长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找等角关系：题中同时给出角平分线和平行线，二者结合可推出等腰三角形，得到线段相等的结论。再将△AMN的周长进行转化，得到其与AB、AC长度和的关系，最后结合△ABC的周长即可求出BC的长度。
【解析】
1. 由角平分线定义：
BO平分∠ABC，故∠MBO=∠OBC；CO平分∠ACB，故∠NCO=∠OCB。
2. 结合平行线性质推导等腰三角形：
∵MN//BC，根据平行线内错角相等，得∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB。
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，根据等角对等边，可得$MB=MO$，$NC=NO$。
3. 转化△AMN的周长：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN$，又$MN=MO+ON=MB+NC$，代入得：
$C_{△ AMN}=AM+MB+AN+NC=AB+AC=12$。
4. 计算BC的长度：
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=18$，将$AB+AC=12$代入得：
$BC=18-12=6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是掌握“角平分线+平行线”的模型可以推出等腰三角形，通过线段等量代换转化周长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
15.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC=6$,D是BC的中点,点E在AB上,且$AE=2BE$.若点F在AC上,且满足$DF=DE$,则四边形AEDF的面积是
12或9
.答案
15.12或9
解析
【分析】
首先从已知条件入手，△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC中点，可推出D到AB、AC的距离均为边长的一半；再由AE=2BE算出AE的长度，接着求出DE的长度，根据DF=DE可知F在AC上有2个位置，分别计算两种位置下四边形AEDF的面积即可，注意不要漏解。
【解析】
解：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。
∵ Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D是BC中点，DM//AC，DN//AB，
∴ DM、DN是△ABC的中位线，
∴ DM=1/2AC=3，DN=1/2AB=3，M为AB中点，N为AC中点，即AM=BM=3，AN=NC=3。
∵ AE=2BE，AB=AE+BE=6，
∴ AE=4，BE=2，
∴ ME=BM-BE=3-2=1。
在Rt△DME中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DM^2+ME^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵ DF=DE，
∴ DF=√10，
在Rt△DNF中，$NF=\sqrt{DF^2-DN^2}=\sqrt{10-3^2}=1$。
因此F有两种位置：
① 当F在A、N之间时，AF=AN-NF=3-1=2，
此时四边形AEDF的面积=$S_{△ AED} + S_{△ AFD} = \frac{1}{2}× AE× DM + \frac{1}{2}× AF× DN = \frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×2×3 = 6+3=9$；
② 当F在N、C之间时，AF=AN+NF=3+1=4，
此时四边形AEDF的面积=$S_{△ AED} + S_{△ AFD} = \frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×4×3 = 6+6=12$。
综上，四边形AEDF的面积为12或9。
【答案】
12或9
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略DF=DE时F点存在两种位置，导致漏解；解题时结合等腰直角三角形的性质构造垂线求线段长度，再分类计算面积即可，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件入手，△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC中点，可推出D到AB、AC的距离均为边长的一半；再由AE=2BE算出AE的长度，接着求出DE的长度，根据DF=DE可知F在AC上有2个位置，分别计算两种位置下四边形AEDF的面积即可，注意不要漏解。
【解析】
解：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。
∵ Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D是BC中点，DM//AC，DN//AB，
∴ DM、DN是△ABC的中位线，
∴ DM=1/2AC=3，DN=1/2AB=3，M为AB中点，N为AC中点，即AM=BM=3，AN=NC=3。
∵ AE=2BE，AB=AE+BE=6，
∴ AE=4，BE=2，
∴ ME=BM-BE=3-2=1。
在Rt△DME中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DM^2+ME^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
∵ DF=DE，
∴ DF=√10，
在Rt△DNF中，$NF=\sqrt{DF^2-DN^2}=\sqrt{10-3^2}=1$。
因此F有两种位置：
① 当F在A、N之间时，AF=AN-NF=3-1=2，
此时四边形AEDF的面积=$S_{△ AED} + S_{△ AFD} = \frac{1}{2}× AE× DM + \frac{1}{2}× AF× DN = \frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×2×3 = 6+3=9$；
② 当F在N、C之间时，AF=AN+NF=3+1=4，
此时四边形AEDF的面积=$S_{△ AED} + S_{△ AFD} = \frac{1}{2}×4×3 + \frac{1}{2}×4×3 = 6+6=12$。
综上，四边形AEDF的面积为12或9。
【答案】
12或9
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略DF=DE时F点存在两种位置，导致漏解；解题时结合等腰直角三角形的性质构造垂线求线段长度，再分类计算面积即可，难度适中。
【难度系数】
0.6
16.问题背景:如图①,点C为线段AB外一动点,且$AB=AC=2$,若$BC=CD$,$∠ BCD=60°$,连接AD,求AD的最大值.
解决方法:以AC为边作等边三角形ACE,连接BE,推出$BE=AD$,当点E在BA的延长线上时,线段AD取得最大值4.
问题解决:如图②,点C为线段AB外一动点,且$AB=AC=2$,若$BC=CD$,$∠ BCD=90°$,连接AD,当AD取得最大值时,$∠ ACD$的度数为
解决方法:以AC为边作等边三角形ACE,连接BE,推出$BE=AD$,当点E在BA的延长线上时,线段AD取得最大值4.
问题解决:如图②,点C为线段AB外一动点,且$AB=AC=2$,若$BC=CD$,$∠ BCD=90°$,连接AD,当AD取得最大值时,$∠ ACD$的度数为
$112.5°$
.答案
16.$112.5°$
解析
【分析】
本题是手拉手全等模型结合几何最值的应用，类比题干给出的构造方法，我们可以通过构造全等三角形转化待求线段：已知有共顶点C的等线段BC=CD、夹角∠BCD=90°，我们以AC为直角边构造共顶点C的等腰直角三角形，即可证得全等，将AD转化为等长的BE，再根据三角形三边关系确定AD取最大值时点的位置，最后结合等腰三角形角度性质计算∠ACD的度数即可。
【解析】
1. 构造全等转化线段：
以AC为直角边作等腰Rt△ACE，使∠ACE=90°、CE=AC，连接BE。
∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD。
在△ECB和△ACD中：
$\begin{cases} CE=AC \\ ∠ ECB=∠ ACD \\ BC=DC \end{cases}$
∴△ECB≌△ACD（SAS），可得BE=AD，即AD的最大值等于BE的最大值。
2. 确定AD取最大值的位置：
∵AC=CE=2，△ACE为等腰直角三角形，
∴$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=2\sqrt{2}$，又AB=2。
根据三角形三边关系$BE≤ AB+AE$，当且仅当E落在BA的延长线上时，BE取得最大值，此时AD也取得最大值。
3. 计算∠ACD的度数：
当E在BA延长线上时，等腰Rt△ACE中∠CAE=45°，
∴∠CAB=180°-∠CAE=135°。
∵AC=AB=2，△ACB为等腰三角形，
∴$∠ ACB=\frac{180°-∠ CAB}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$。
又
∵∠BCD=90°，
∴$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=22.5°+90°=112.5°$。
【答案】
$112.5°$
【知识点】
手拉手全等构造，三角形三边关系，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是通过构造共顶点的全等三角形实现线段转化，将陌生的最值问题转化为可利用三边关系求解的最值问题，需要熟练掌握等线段共顶点的全等构造思路，以及最值时点的位置判断方法。
【难度系数】
0.4
本题是手拉手全等模型结合几何最值的应用，类比题干给出的构造方法，我们可以通过构造全等三角形转化待求线段：已知有共顶点C的等线段BC=CD、夹角∠BCD=90°，我们以AC为直角边构造共顶点C的等腰直角三角形，即可证得全等，将AD转化为等长的BE，再根据三角形三边关系确定AD取最大值时点的位置，最后结合等腰三角形角度性质计算∠ACD的度数即可。
【解析】
1. 构造全等转化线段：
以AC为直角边作等腰Rt△ACE，使∠ACE=90°、CE=AC，连接BE。
∵∠ACE=∠BCD=90°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD。
在△ECB和△ACD中：
$\begin{cases} CE=AC \\ ∠ ECB=∠ ACD \\ BC=DC \end{cases}$
∴△ECB≌△ACD（SAS），可得BE=AD，即AD的最大值等于BE的最大值。
2. 确定AD取最大值的位置：
∵AC=CE=2，△ACE为等腰直角三角形，
∴$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=2\sqrt{2}$，又AB=2。
根据三角形三边关系$BE≤ AB+AE$，当且仅当E落在BA的延长线上时，BE取得最大值，此时AD也取得最大值。
3. 计算∠ACD的度数：
当E在BA延长线上时，等腰Rt△ACE中∠CAE=45°，
∴∠CAB=180°-∠CAE=135°。
∵AC=AB=2，△ACB为等腰三角形，
∴$∠ ACB=\frac{180°-∠ CAB}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$。
又
∵∠BCD=90°，
∴$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=22.5°+90°=112.5°$。
【答案】
$112.5°$
【知识点】
手拉手全等构造，三角形三边关系，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是通过构造共顶点的全等三角形实现线段转化，将陌生的最值问题转化为可利用三边关系求解的最值问题，需要熟练掌握等线段共顶点的全等构造思路，以及最值时点的位置判断方法。
【难度系数】
0.4
