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1.如图,下列条件中,能判定$△ ADB ∽ △ ABC$的是()
A.$∠ ABD = ∠ CBD$
B.$\frac{AD}{AB} = \frac{DB}{BC}$
C.$AB^2 = AD · AC$
D.$\frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC}$
A.$∠ ABD = ∠ CBD$
B.$\frac{AD}{AB} = \frac{DB}{BC}$
C.$AB^2 = AD · AC$
D.$\frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC}$
答案
C
解析
【分析】
要判定$△ ADB ∽ △ ABC$，首先观察到两个三角形有公共角$∠A$，根据相似三角形的判定定理，此时要么再找一组相等的对应角，要么找夹$∠A$的两组对应边成比例即可。我们先确定夹公共角$∠A$的对应边：$△ADB$中夹$∠A$的边是$AD$、$AB$，$△ABC$中夹$∠A$的边是$AB$、$AC$，因此只需验证各选项是否满足上述判定条件即可。
【解析】
已知$∠A$是$△ADB$和$△ABC$的公共角，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理：
夹$∠A$的两组对应边需满足$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘可得$AB^2=AD·AC$。
对各选项逐一分析：
A. $∠ABD=∠CBD$，这两个角不是$△ADB$和$△ABC$的对应角，无法判定相似，不符合要求；
B. $\frac{AD}{AB} = \frac{DB}{BC}$，该比例的对应夹角不是公共角$∠A$，不满足两边成比例且夹角相等的判定条件，不符合要求；
C. $AB^2 = AD · AC$，可变形为$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$，结合公共角$∠A$，可判定$△ ADB ∽ △ ABC$，符合要求；
D. $\frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC}$，涉及的边不是$△ADB$和$△ABC$的对应边，无法判定相似，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题的突破口是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件分析边的比例关系，只要熟练掌握相似三角形的判定定理就能准确作答。
【难度系数】
0.7
要判定$△ ADB ∽ △ ABC$，首先观察到两个三角形有公共角$∠A$，根据相似三角形的判定定理，此时要么再找一组相等的对应角，要么找夹$∠A$的两组对应边成比例即可。我们先确定夹公共角$∠A$的对应边：$△ADB$中夹$∠A$的边是$AD$、$AB$，$△ABC$中夹$∠A$的边是$AB$、$AC$，因此只需验证各选项是否满足上述判定条件即可。
【解析】
已知$∠A$是$△ADB$和$△ABC$的公共角，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理：
夹$∠A$的两组对应边需满足$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$，交叉相乘可得$AB^2=AD·AC$。
对各选项逐一分析：
A. $∠ABD=∠CBD$，这两个角不是$△ADB$和$△ABC$的对应角，无法判定相似，不符合要求；
B. $\frac{AD}{AB} = \frac{DB}{BC}$，该比例的对应夹角不是公共角$∠A$，不满足两边成比例且夹角相等的判定条件，不符合要求；
C. $AB^2 = AD · AC$，可变形为$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$，结合公共角$∠A$，可判定$△ ADB ∽ △ ABC$，符合要求；
D. $\frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC}$，涉及的边不是$△ADB$和$△ABC$的对应边，无法判定相似，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定方法，解题的突破口是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件分析边的比例关系，只要熟练掌握相似三角形的判定定理就能准确作答。
【难度系数】
0.7
2.如图,下列条件中,不能判定△ABC∽△ADE的是()
A.∠1=∠2,∠B=∠D
B.∠1=∠2,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
D.∠1=∠2,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
A.∠1=∠2,∠B=∠D
B.∠1=∠2,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
D.∠1=∠2,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时先由∠1=∠2结合角的和差关系推导得到∠BAC=∠DAE，再结合相似三角形的三类判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）逐一验证各选项即可，需注意两边成比例时，相等的角必须是两组对应边的夹角，否则无法判定相似。
【解析】
若∠1=∠2，则∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，对各选项逐一分析：
A选项：已知∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C选项：已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D选项：已知∠BAC=∠DAE，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，但∠BAC不是AB、BC的夹角，∠DAE也不是AD、DE的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，易错点是忽略“两边成比例且夹角相等”中“夹角”的要求，误将非夹角的等角条件作为判定依据。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，解题时先由∠1=∠2结合角的和差关系推导得到∠BAC=∠DAE，再结合相似三角形的三类判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）逐一验证各选项即可，需注意两边成比例时，相等的角必须是两组对应边的夹角，否则无法判定相似。
【解析】
若∠1=∠2，则∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，对各选项逐一分析：
A选项：已知∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：已知∠BAC=∠DAE，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
C选项：已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D选项：已知∠BAC=∠DAE，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，但∠BAC不是AB、BC的夹角，∠DAE也不是AD、DE的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，易错点是忽略“两边成比例且夹角相等”中“夹角”的要求，误将非夹角的等角条件作为判定依据。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$。图中与$△ ADE$相似的三角形有个。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题可依据“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理求解。首先明确△ADE是直角三角形（∠AED=90°），先找出图中所有的直角三角形，再通过同角的余角相等、平行线的内错角相等、公共角等推导角的相等关系，逐一验证各直角三角形是否与△ADE满足相似判定条件即可。
【解析】
已知∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，因此可得：
$∠ AED=∠ DEB=∠ ADB=∠ ADC=∠ BAC=90°$
1. 证$△ ADE ∽ △ ABD$：
$∠ DAE=∠ BAD$（公共角），$∠ AED=∠ ADB=90°$，由AA判定得两三角形相似；
2. 证$△ ADE ∽ △ DBE$：
$∠ ADE+∠ EDB=90°$，$∠ B+∠ EDB=90°$，故$∠ ADE=∠ B$，又$∠ AED=∠ DEB=90°$，由AA判定得两三角形相似；
3. 证$△ ADE ∽ △ ACD$：
$DE⊥ AB$，$AC⊥ AB$，故$DE// AC$，得内错角$∠ ADE=∠ DAC$，又$∠ AED=∠ ADC=90°$，由AA判定得两三角形相似；
4. 证$△ ADE ∽ △ ABC$：
$∠ ADE+∠ DAE=90°$，$∠ C+∠ DAE=90°$，故$∠ ADE=∠ C$，又$∠ AED=∠ BAC=90°$，由AA判定得两三角形相似。
综上，共有4个与$△ ADE$相似的三角形。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握两角对应相等的相似判定方法，结合图形中的垂直关系推导等角，注意计数时不要遗漏符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
本题可依据“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理求解。首先明确△ADE是直角三角形（∠AED=90°），先找出图中所有的直角三角形，再通过同角的余角相等、平行线的内错角相等、公共角等推导角的相等关系，逐一验证各直角三角形是否与△ADE满足相似判定条件即可。
【解析】
已知∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，因此可得：
$∠ AED=∠ DEB=∠ ADB=∠ ADC=∠ BAC=90°$
1. 证$△ ADE ∽ △ ABD$：
$∠ DAE=∠ BAD$（公共角），$∠ AED=∠ ADB=90°$，由AA判定得两三角形相似；
2. 证$△ ADE ∽ △ DBE$：
$∠ ADE+∠ EDB=90°$，$∠ B+∠ EDB=90°$，故$∠ ADE=∠ B$，又$∠ AED=∠ DEB=90°$，由AA判定得两三角形相似；
3. 证$△ ADE ∽ △ ACD$：
$DE⊥ AB$，$AC⊥ AB$，故$DE// AC$，得内错角$∠ ADE=∠ DAC$，又$∠ AED=∠ ADC=90°$，由AA判定得两三角形相似；
4. 证$△ ADE ∽ △ ABC$：
$∠ ADE+∠ DAE=90°$，$∠ C+∠ DAE=90°$，故$∠ ADE=∠ C$，又$∠ AED=∠ BAC=90°$，由AA判定得两三角形相似。
综上，共有4个与$△ ADE$相似的三角形。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握两角对应相等的相似判定方法，结合图形中的垂直关系推导等角，注意计数时不要遗漏符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
4.若$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，$△ A_1B_1C_1$的三边长分别为$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$，则$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$（填“一定”“不一定”或“一定不”）相似。
答案
不一定
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，需依据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。我们可以通过举例验证的方法，分别找到两个三角形相似和不相似的情况，即可得出结论。首先考虑特殊三角形（如等边三角形）的情况验证相似的可能性，再构造普通三角形作为反例验证不相似的情况，注意举例的三角形需满足三边关系，保证是合法的三角形。
【解析】
根据相似三角形的判定规则，三边对应成比例的两个三角形相似，我们分情况讨论：
1. 相似的情况：若△ABC是等边三角形，即$a=b=c$，此时△$A_1B_1C_1$的三边长$\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}$，也为等边三角形，两个等边三角形三边对应成比例（比值为$\frac{\sqrt{a}}{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}$），因此二者相似。
2. 不相似的情况：取△ABC的三边长$a=3$，$b=4$，$c=5$，满足$3+4＞5$，可构成三角形；此时△$A_1B_1C_1$的三边长为$\sqrt{3}$、$2$、$\sqrt{5}$。计算三边对应比值：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1.732$，$\frac{4}{2}=2$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\approx2.236$，三个比值不相等，因此这两个三角形不相似。
综上，存在两个三角形相似的情况，也存在不相似的情况，因此二者不一定相似。
【答案】
不一定
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 三角形三边关系
【点评】
本题考查对相似三角形判定的灵活运用，解答这类“是否一定”的结论类问题时，可采用举正例+举反例的思路，既验证成立的情况，也验证不成立的情况，避免片面判断导致错误。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，需依据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。我们可以通过举例验证的方法，分别找到两个三角形相似和不相似的情况，即可得出结论。首先考虑特殊三角形（如等边三角形）的情况验证相似的可能性，再构造普通三角形作为反例验证不相似的情况，注意举例的三角形需满足三边关系，保证是合法的三角形。
【解析】
根据相似三角形的判定规则，三边对应成比例的两个三角形相似，我们分情况讨论：
1. 相似的情况：若△ABC是等边三角形，即$a=b=c$，此时△$A_1B_1C_1$的三边长$\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}$，也为等边三角形，两个等边三角形三边对应成比例（比值为$\frac{\sqrt{a}}{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}$），因此二者相似。
2. 不相似的情况：取△ABC的三边长$a=3$，$b=4$，$c=5$，满足$3+4＞5$，可构成三角形；此时△$A_1B_1C_1$的三边长为$\sqrt{3}$、$2$、$\sqrt{5}$。计算三边对应比值：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1.732$，$\frac{4}{2}=2$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\approx2.236$，三个比值不相等，因此这两个三角形不相似。
综上，存在两个三角形相似的情况，也存在不相似的情况，因此二者不一定相似。
【答案】
不一定
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 三角形三边关系
【点评】
本题考查对相似三角形判定的灵活运用，解答这类“是否一定”的结论类问题时，可采用举正例+举反例的思路，既验证成立的情况，也验证不成立的情况，避免片面判断导致错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知$∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$,求证:$△ ABC ∽ △ ADE$。
答案
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ ∠ADC 是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠3，且∠1 = ∠3，
∴ ∠B + ∠1 = ∠ADE + ∠3，
∴ ∠B = ∠ADE。
在△ABC和△ADE中，
∠BAC = ∠DAE，∠B = ∠ADE，
∴ △ABC ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ ∠ADC 是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠3，且∠1 = ∠3，
∴ ∠B + ∠1 = ∠ADE + ∠3，
∴ ∠B = ∠ADE。
在△ABC和△ADE中，
∠BAC = ∠DAE，∠B = ∠ADE，
∴ △ABC ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】要证明△ABC∽△ADE，可采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来推导：① 先推导第一组对应角相等：已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到∠BAC=∠DAE；② 再推导第二组对应角相等：利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠1，同时∠ADC可拆分为∠ADE+∠3，结合已知∠1=∠3，消去等角后即可推出∠B=∠ADE。两组对应角分别相等，即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ ∠ADC 是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又
∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠3，且∠1 = ∠3，
∴ ∠B + ∠1 = ∠ADE + ∠3，
∴ ∠B = ∠ADE。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}∠BAC = ∠DAE \\∠B = ∠ADE\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】△ABC ∽ △ADE，证明如上。
【知识点】相似三角形的判定、三角形外角的性质、角的和差运算
【点评】本题是相似三角形判定的常规基础题，解题核心是结合已知等角条件，利用公共角、三角形外角性质推导得到两组相等的对应角，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ ∠ADC 是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠1，
又
∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠3，且∠1 = ∠3，
∴ ∠B + ∠1 = ∠ADE + ∠3，
∴ ∠B = ∠ADE。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}∠BAC = ∠DAE \\∠B = ∠ADE\end{cases}$
∴ △ABC ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】△ABC ∽ △ADE，证明如上。
【知识点】相似三角形的判定、三角形外角的性质、角的和差运算
【点评】本题是相似三角形判定的常规基础题，解题核心是结合已知等角条件，利用公共角、三角形外角性质推导得到两组相等的对应角，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图，在$△ ABC$中，AD是角平分线，点E在边AC上，且$AD^2 = AE · AB$，连接DE。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ ADE$。
(2)若$AB=5$，$AD=4$，$DE=2$，求EC的长。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ ADE$。
(2)若$AB=5$，$AD=4$，$DE=2$，求EC的长。
答案
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
∵ $AD^2 = AE · AB$，
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AD}$。
在△ABD和△ADE中，
$\frac{AB}{AD} = \frac{AD}{AE}$，且∠BAD = ∠DAE，
∴ △ABD∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $AD^2 = AE · AB$，$AB=5$，$AD=4$，
∴ $AE = \frac{AD^2}{AB} = \frac{16}{5}$。
∵ △ABD∽△ADE，
∴ ∠ADB = ∠AED。
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°，∠AED + ∠DEC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠DEC。
又∵ ∠C = ∠C，
∴ △DEC∽△ADC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{AC}$。
∵ $DE=2$，$AD=4$，
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DC}{AC} = \frac{1}{2}$，即 $AC = 2DC$，
且 $\frac{EC}{DC} = \frac{1}{2}$，即 $DC = 2EC$。
将$DC=2EC$代入$AC=2DC$，得$AC = 4EC$。
∵ $AC = AE + EC$，
∴ $4EC = \frac{16}{5} + EC$，
解得 $EC = \frac{16}{15}$。
答：EC的长为$\frac{16}{15}$。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
∵ $AD^2 = AE · AB$，
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AD}$。
在△ABD和△ADE中，
$\frac{AB}{AD} = \frac{AD}{AE}$，且∠BAD = ∠DAE，
∴ △ABD∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $AD^2 = AE · AB$，$AB=5$，$AD=4$，
∴ $AE = \frac{AD^2}{AB} = \frac{16}{5}$。
∵ △ABD∽△ADE，
∴ ∠ADB = ∠AED。
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°，∠AED + ∠DEC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠DEC。
又∵ ∠C = ∠C，
∴ △DEC∽△ADC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{AC}$。
∵ $DE=2$，$AD=4$，
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DC}{AC} = \frac{1}{2}$，即 $AC = 2DC$，
且 $\frac{EC}{DC} = \frac{1}{2}$，即 $DC = 2EC$。
将$DC=2EC$代入$AC=2DC$，得$AC = 4EC$。
∵ $AC = AE + EC$，
∴ $4EC = \frac{16}{5} + EC$，
解得 $EC = \frac{16}{15}$。
答：EC的长为$\frac{16}{15}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD∽△ADE，先回忆相似三角形的判定定理：AD是角平分线可得到一组相等的角，再将已知的等积式转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似判定条件即可得证。
(2) 首先代入已知边长到等积式中求出AE的长度；再利用第一问的相似结论得到对应角相等，结合补角性质推出另一组等角，结合公共角证明△DEC∽△ADC，根据相似的对应边成比例推导AC与EC的数量关系，最后结合AC=AE+EC列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
∵ $AD^2 = AE · AB$，
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AD}$。
在△ABD和△ADE中，
$\begin{cases}\frac{AB}{AD} = \frac{AD}{AE} \\∠BAD = ∠DAE\end{cases}$
∴ △ABD∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $AD^2 = AE · AB$，$AB=5$，$AD=4$，
∴ $AE = \frac{AD^2}{AB} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}$。
∵ △ABD∽△ADE，
∴ ∠ADB = ∠AED。
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°，∠AED + ∠DEC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠DEC。
又
∵ ∠C = ∠C，
∴ △DEC∽△ADC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{AC}$。
∵ $DE=2$，$AD=4$，
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DC}{AC} = \frac{1}{2}$，即 $AC = 2DC$，
且 $\frac{EC}{DC} = \frac{1}{2}$，即 $DC = 2EC$。
将$DC=2EC$代入$AC=2DC$，得$AC = 4EC$。
∵ $AC = AE + EC$，
∴ $4EC = \frac{16}{5} + EC$，
移项得$3EC=\frac{16}{5}$，
解得 $EC = \frac{16}{15}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{16}{15}$
【知识点】
角平分线的定义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题时要熟练掌握等积式与比例式的互化，灵活利用角的关系寻找相似三角形，再结合相似的边比例关系建立方程求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABD∽△ADE，先回忆相似三角形的判定定理：AD是角平分线可得到一组相等的角，再将已知的等积式转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似判定条件即可得证。
(2) 首先代入已知边长到等积式中求出AE的长度；再利用第一问的相似结论得到对应角相等，结合补角性质推出另一组等角，结合公共角证明△DEC∽△ADC，根据相似的对应边成比例推导AC与EC的数量关系，最后结合AC=AE+EC列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠DAE。
∵ $AD^2 = AE · AB$，
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AD}$。
在△ABD和△ADE中，
$\begin{cases}\frac{AB}{AD} = \frac{AD}{AE} \\∠BAD = ∠DAE\end{cases}$
∴ △ABD∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $AD^2 = AE · AB$，$AB=5$，$AD=4$，
∴ $AE = \frac{AD^2}{AB} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}$。
∵ △ABD∽△ADE，
∴ ∠ADB = ∠AED。
∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°，∠AED + ∠DEC = 180°，
∴ ∠ADC = ∠DEC。
又
∵ ∠C = ∠C，
∴ △DEC∽△ADC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{EC}{DC} = \frac{DC}{AC}$。
∵ $DE=2$，$AD=4$，
∴ $\frac{DE}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DC}{AC} = \frac{1}{2}$，即 $AC = 2DC$，
且 $\frac{EC}{DC} = \frac{1}{2}$，即 $DC = 2EC$。
将$DC=2EC$代入$AC=2DC$，得$AC = 4EC$。
∵ $AC = AE + EC$，
∴ $4EC = \frac{16}{5} + EC$，
移项得$3EC=\frac{16}{5}$，
解得 $EC = \frac{16}{15}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{16}{15}$
【知识点】
角平分线的定义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题时要熟练掌握等积式与比例式的互化，灵活利用角的关系寻找相似三角形，再结合相似的边比例关系建立方程求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
