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1.如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$EF // AB$。下列比例式中，错误的是（）
A.$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{EC}$
B.$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{CE}{CA}$
C.$\dfrac{CE}{CF}=\dfrac{CA}{CB}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
A.$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{EC}$
B.$\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{CE}{CA}$
C.$\dfrac{CE}{CF}=\dfrac{CA}{CB}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先结合已知的两组平行关系，利用平行线分线段成比例定理以及平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交所得的三角形与原三角形相似的性质，得到对应相似三角形的边的比例关系，再逐个验证四个选项的比例式是否成立，找出错误的选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 已知$DE // BC$，可得$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$：
因此D选项$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$比例式成立，D正确；
A选项中$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{EC}$与推导得到的$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$不符，A错误。
2. 已知$EF // AB$，可得$△ EFC ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$：
因此B选项$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}$比例式成立，B正确；
对$\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$交叉变形可得$\frac{CE}{CF}=\frac{CA}{CB}$，因此C选项比例式成立，C正确。
综上，错误的比例式是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题需要结合平行关系判定相似三角形，再利用相似的性质推导比例关系，解题时要注意区分比例式中线段是部分线段还是总线段，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的两组平行关系，利用平行线分线段成比例定理以及平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交所得的三角形与原三角形相似的性质，得到对应相似三角形的边的比例关系，再逐个验证四个选项的比例式是否成立，找出错误的选项即可。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 已知$DE // BC$，可得$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$：
因此D选项$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$比例式成立，D正确；
A选项中$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{EC}$与推导得到的$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$不符，A错误。
2. 已知$EF // AB$，可得$△ EFC ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$：
因此B选项$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}$比例式成立，B正确；
对$\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$交叉变形可得$\frac{CE}{CF}=\frac{CA}{CB}$，因此C选项比例式成立，C正确。
综上，错误的比例式是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题需要结合平行关系判定相似三角形，再利用相似的性质推导比例关系，解题时要注意区分比例式中线段是部分线段还是总线段，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
2.如图，$l_1// l_2// l_3$。若$AB=2,DE=3,BC=4$,则EF的长为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
观察图形可知三条直线互相平行，截两条相交直线，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时先找准对应线段：AB和BC是同一条截线上的线段，DE和EF是另一条截线上的对应线段，根据定理列出比例式，代入已知数值即可求解EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
将$AB=2, BC=4, DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4} = \frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4$
解得：$EF = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算即可，注意不要混淆对应线段的位置关系。
【难度系数】
0.8
观察图形可知三条直线互相平行，截两条相交直线，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。解题时先找准对应线段：AB和BC是同一条截线上的线段，DE和EF是另一条截线上的对应线段，根据定理列出比例式，代入已知数值即可求解EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
将$AB=2, BC=4, DE=3$代入上式：
$\frac{2}{4} = \frac{3}{EF}$
交叉相乘得：$2EF = 3×4$
解得：$EF = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算即可，注意不要混淆对应线段的位置关系。
【难度系数】
0.8
3.五线谱由等距离、等长度的五条平行横线组成。如图，直线$ l $上的三个点$ A,B,C $都在五线谱上。若$ AC=6 $，则$ AB $的长是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，思路如下：首先由五线谱的特点可知五条横线互相平行且相邻横线间距相等，直线l被这组平行线截得线段AB、BC，根据平行线分线段成比例的性质，线段AB与BC的比等于对应平行线的间隔数之比，再结合AC的总长度即可计算出AB的长。
【解析】
∵ 五线谱的五条平行横线等距，
∴ 相邻横线间距相等，观察点的位置可得AB对应的间隔数为2，BC对应的间隔数为1，
根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，即 $BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AC=AB+BC=6$，
将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：$AB+\frac{1}{2}AB=6$，
解得 $AB=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合五线谱的实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是从等距平行线中得到线段的比例关系，将实际问题转化为几何比例问题求解，难度较低，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，思路如下：首先由五线谱的特点可知五条横线互相平行且相邻横线间距相等，直线l被这组平行线截得线段AB、BC，根据平行线分线段成比例的性质，线段AB与BC的比等于对应平行线的间隔数之比，再结合AC的总长度即可计算出AB的长。
【解析】
∵ 五线谱的五条平行横线等距，
∴ 相邻横线间距相等，观察点的位置可得AB对应的间隔数为2，BC对应的间隔数为1，
根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，即 $BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵ $AC=AB+BC=6$，
将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：$AB+\frac{1}{2}AB=6$，
解得 $AB=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合五线谱的实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是从等距平行线中得到线段的比例关系，将实际问题转化为几何比例问题求解，难度较低，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$4×6$的正方形网格中,点A,B都在格点上。若$BC=\frac{2}{3}$,则AC的长为。
答案
$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{13}}{3}}$
解析
【分析】
要计算AC的长度，首先需要求出线段AB的总长度，再结合C点在AB上的位置关系推导AC与AB的比例，进而求出AC。解题思路如下：1. 借助网格特点，设每个小正方形边长为1，数出A、B两点的水平距离和竖直距离，利用勾股定理计算AB的长度；2. 观察格点上C的位置，可发现C将AB分为BC:AC=1:2，即AC占AB总长的$\frac{2}{3}$；3. 结合AB的长度，按比例计算AC即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由网格可得，点A与点B的水平距离为6，竖直距离为4。
根据勾股定理，线段AB的长度为：
$AB=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
观察点C的位置，可知$BC:AC=1:2$，即$AC=\frac{2}{3}AB$，代入AB的长度得：
$AC=\frac{2}{3} × 2\sqrt{13}=\frac{4\sqrt{13}}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{13}}{3}}$
【知识点】
勾股定理，线段比例计算
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用，解题的关键是正确数出两点间的水平、竖直格数，同时准确判断点C分线段AB的比例，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
要计算AC的长度，首先需要求出线段AB的总长度，再结合C点在AB上的位置关系推导AC与AB的比例，进而求出AC。解题思路如下：1. 借助网格特点，设每个小正方形边长为1，数出A、B两点的水平距离和竖直距离，利用勾股定理计算AB的长度；2. 观察格点上C的位置，可发现C将AB分为BC:AC=1:2，即AC占AB总长的$\frac{2}{3}$；3. 结合AB的长度，按比例计算AC即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由网格可得，点A与点B的水平距离为6，竖直距离为4。
根据勾股定理，线段AB的长度为：
$AB=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
观察点C的位置，可知$BC:AC=1:2$，即$AC=\frac{2}{3}AB$，代入AB的长度得：
$AC=\frac{2}{3} × 2\sqrt{13}=\frac{4\sqrt{13}}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{13}}{3}}$
【知识点】
勾股定理，线段比例计算
【点评】
本题结合网格考查勾股定理的应用，解题的关键是正确数出两点间的水平、竖直格数，同时准确判断点C分线段AB的比例，属于基础类几何计算题。
【难度系数】
0.7
5.如图，直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F。已知$ \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} $，DF=16，求EF的长。
答案
解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$，
∴ $DE=\frac{3}{5}EF$。
又∵ $DF = DE + EF = 16$，
将$DE=\frac{3}{5}EF$代入得：
$\frac{3}{5}EF + EF = 16$，
即 $\frac{8}{5}EF = 16$，
解得 $EF=10$。
答：EF的长为10。
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$，
∴ $DE=\frac{3}{5}EF$。
又∵ $DF = DE + EF = 16$，
将$DE=\frac{3}{5}EF$代入得：
$\frac{3}{5}EF + EF = 16$，
即 $\frac{8}{5}EF = 16$，
解得 $EF=10$。
答：EF的长为10。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知三条直线互相平行且被另外两条直线所截，首先联想到平行线分线段成比例定理，可得截得的对应线段AB与BC的比等于DE与EF的比。结合已知的AB与BC的比值，可将DE用EF表示，再根据DF是DE与EF的和、DF长度为16的条件，建立关于EF的方程，解方程即可求出EF的长度。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$，
∴ $DE=\frac{3}{5}EF$。
又
∵ $DF = DE + EF = 16$，
将$DE=\frac{3}{5}EF$代入得：
$\frac{3}{5}EF + EF = 16$，
即 $\frac{8}{5}EF = 16$，
解得 $EF=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；一元一次方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是找准平行线截得的对应线段的比例关系，结合线段和差关系列方程计算即可，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知三条直线互相平行且被另外两条直线所截，首先联想到平行线分线段成比例定理，可得截得的对应线段AB与BC的比等于DE与EF的比。结合已知的AB与BC的比值，可将DE用EF表示，再根据DF是DE与EF的和、DF长度为16的条件，建立关于EF的方程，解方程即可求出EF的长度。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，得 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$，
∴ $DE=\frac{3}{5}EF$。
又
∵ $DF = DE + EF = 16$，
将$DE=\frac{3}{5}EF$代入得：
$\frac{3}{5}EF + EF = 16$，
即 $\frac{8}{5}EF = 16$，
解得 $EF=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算；一元一次方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是找准平行线截得的对应线段的比例关系，结合线段和差关系列方程计算即可，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$EF // AB$，$AD:DB = 3:2$，$FC = 2$，$AC = 6$，求$CE$和$DE$的长。
答案
解：
∵ $DE // BC$，
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{AD}{DB} = \frac{3}{2}$，即 $AE = \frac{3}{2}CE$。
又∵ $AE + CE = AC = 6$，
∴ $\frac{3}{2}CE + CE = 6$，
解得 $CE = \frac{12}{5}$。
∵ $EF // AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FC}{BC} = \frac{CE}{AC}$。
将$FC=2$，$CE=\frac{12}{5}$，$AC=6$代入得：
$\frac{2}{BC} = \frac{\frac{12}{5}}{6} = \frac{2}{5}$，
解得 $BC = 5$。
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
由$AD:DB=3:2$，得$AD:AB = 3:(3+2) = 3:5$，
∴ $\frac{DE}{5} = \frac{3}{5}$，
解得 $DE = 3$。
综上，$CE$的长为$\frac{12}{5}$，$DE$的长为$3$。
∵ $DE // BC$，
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{AD}{DB} = \frac{3}{2}$，即 $AE = \frac{3}{2}CE$。
又∵ $AE + CE = AC = 6$，
∴ $\frac{3}{2}CE + CE = 6$，
解得 $CE = \frac{12}{5}$。
∵ $EF // AB$，
∴ $△ EFC ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FC}{BC} = \frac{CE}{AC}$。
将$FC=2$，$CE=\frac{12}{5}$，$AC=6$代入得：
$\frac{2}{BC} = \frac{\frac{12}{5}}{6} = \frac{2}{5}$，
解得 $BC = 5$。
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
由$AD:DB=3:2$，得$AD:AB = 3:(3+2) = 3:5$，
∴ $\frac{DE}{5} = \frac{3}{5}$，
解得 $DE = 3$。
综上，$CE$的长为$\frac{12}{5}$，$DE$的长为$3$。
解析
【分析】
解题时先观察图中的平行关系，首先利用$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理得到$AE$与$CE$的比，结合$AC$的总长度即可列方程求出$CE$的长；接下来求$DE$的长，因为$DE// BC$，可证$△ ADE ∽ △ ABC$，要得到$DE$的长度需要先求出$BC$的长，此时利用$EF// AB$证$△ EFC ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，代入已知的$FC$、$CE$、$AC$的长度即可求出$BC$，最后再利用$△ ADE$和$△ ABC$的相似比求出$DE$即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$，即 $AE=\frac{3}{2}CE$。
又$\because AE+CE=AC=6$，
$\therefore \frac{3}{2}CE+CE=6$，
解得 $CE=\frac{12}{5}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{FC}{BC}=\frac{CE}{AC}$。
将$FC=2$，$CE=\frac{12}{5}$，$AC=6$代入得：
$\frac{2}{BC}=\frac{\frac{12}{5}}{6}=\frac{2}{5}$，
解得 $BC=5$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
由$AD:DB=3:2$，得$AD:AB=3:(3+2)=3:5$，
$\therefore \frac{DE}{5}=\frac{3}{5}$，
解得 $DE=3$。
【答案】
$CE$的长为$\frac{12}{5}$，$DE$的长为$3$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用平行线的性质得到线段比例关系或相似三角形，结合已知条件通过列方程求解未知线段，熟练掌握平行线和相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图中的平行关系，首先利用$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理得到$AE$与$CE$的比，结合$AC$的总长度即可列方程求出$CE$的长；接下来求$DE$的长，因为$DE// BC$，可证$△ ADE ∽ △ ABC$，要得到$DE$的长度需要先求出$BC$的长，此时利用$EF// AB$证$△ EFC ∽ △ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，代入已知的$FC$、$CE$、$AC$的长度即可求出$BC$，最后再利用$△ ADE$和$△ ABC$的相似比求出$DE$即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$，即 $AE=\frac{3}{2}CE$。
又$\because AE+CE=AC=6$，
$\therefore \frac{3}{2}CE+CE=6$，
解得 $CE=\frac{12}{5}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{FC}{BC}=\frac{CE}{AC}$。
将$FC=2$，$CE=\frac{12}{5}$，$AC=6$代入得：
$\frac{2}{BC}=\frac{\frac{12}{5}}{6}=\frac{2}{5}$，
解得 $BC=5$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
由$AD:DB=3:2$，得$AD:AB=3:(3+2)=3:5$，
$\therefore \frac{DE}{5}=\frac{3}{5}$，
解得 $DE=3$。
【答案】
$CE$的长为$\frac{12}{5}$，$DE$的长为$3$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用平行线的性质得到线段比例关系或相似三角形，结合已知条件通过列方程求解未知线段，熟练掌握平行线和相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
