1. 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC。下列结论正确的是( )

A.$AB^2 = AC^2 + BC^2$
B.$BC^2 = AC · BA$
C.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

C

【分析】
解决本题首先要明确黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，使较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比，其比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，说明AC是较长线段，BC是较短线段，我们结合黄金分割的比例关系逐一判断各选项即可。
【解析】
已知C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且$AC^2=AB·BC$。
选项A：$AB^2=AC^2+BC^2$是直角三角形的勾股定理，本题仅涉及线段分割，无直角相关条件，该结论不成立，A错误；
选项B：由黄金分割性质得$AC^2=AB·BC$，而非$BC^2=AC·BA$，B错误；
选项C：由黄金分割的比例关系可得$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，C正确；
选项D：$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割、比例线段
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查黄金分割的定义，解题时要注意区分较长线段和较短线段，避免因比例关系搞反而出错。
【难度系数】
0.7

2.大自然中，一片小小的树叶也蕴含着黄金分割的美。如图，点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB。若AB=10 cm，则AP=cm。

$\boldsymbol{5\sqrt{5}-5}$

【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：首先回忆黄金分割的定义：若点把线段分为两段，满足较长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。题目中明确$AP＞PB$，因此AP是较长段，只需用AB的长度乘以黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可求出AP的长度。
【解析】
∵点P为线段AB的黄金分割点，且$AP＞PB$，
∴较长段AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入得：
$AP=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5(\mathrm{cm})$
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割、二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要牢记黄金分割的比值，正确区分较长线段和较短线段，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图,塔尖A到底部B的高度是238 m,中间球体上的点P(点A,P,B在同一条直线上)恰好是塔高AB的一个黄金分割点,且BP＞AP。点P到底部B的距离是m。

$\boldsymbol{119(\sqrt{5}-1)}$（或$119\sqrt{5}-119$）

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个分割点就叫做黄金分割点。本题已知P是AB的黄金分割点，且BP＞AP，说明BP是AB被分割后的较长线段，因此BP与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结合AB的总长度代入公式计算即可得到BP的长度。
【解析】
解：
∵点P是线段AB的黄金分割点，且BP＞AP，
∴较长线段BP和总线段AB的关系为：$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
已知$AB=238\ \mathrm{m}$，代入得：
$BP=238×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=119(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{m}$，也可展开为$119\sqrt{5}-119\ \mathrm{m}$。
【答案】
$119(\sqrt{5}-1)$（或$119\sqrt{5}-119$）
【知识点】
黄金分割，线段长度计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对黄金分割定义的理解，解题时要先根据题目给出的线段长短关系，确定哪段是较长线段，对应黄金比的应用，避免因混淆长短段对应的比例关系出错。
【难度系数】
0.7

4. 提升题 下图是古希腊时期的帕提侬神庙，它的平面图可看作宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形，我们将这种宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形。
如图①，已知黄金矩形的宽$AB=1$。

(1)黄金矩形的长为。
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以$AB$为边的正方形$ABEF$，得到新的矩形$DCEF$，猜想矩形$DCEF$是否为黄金矩形，并证明你的结论。

解：
(1) 已知黄金矩形宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽$AB=1$，设长为$BC$，则：
$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$AB=1$，得：
$BC=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$。
(2) 猜想：矩形$DCEF$是黄金矩形，证明如下：
∵ 四边形$ABEF$是正方形，$AB=1$，
∴ $AF=AB=1$。
由(1)得原黄金矩形的长$AD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴ $FD=AD-AF=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $DC=AB=1$。
∴ 矩形$DCEF$的宽与长的比为：
$\frac{FD}{DC}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
符合黄金矩形的定义，因此矩形$DCEF$是黄金矩形。

【分析】
(1) 解题首先紧扣黄金矩形的定义：宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知宽$AB=1$，要求长，只需设长为未知数，根据比例关系列等式，再通过分母有理化计算即可得到结果。
(2) 要判断裁剪后的矩形是否为黄金矩形，核心还是验证它的宽与长的比是否等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：首先根据正方形的性质得到$AF$的长度，用原矩形的长减去$AF$得到剩余矩形的短边长度，再结合原矩形的宽得到剩余矩形的长边长度，最后计算两者的比值，和黄金比对比即可得出结论。
【解析】
(1) 设黄金矩形的长$BC$为$x$，由黄金矩形宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽$AB=1$，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$AB=1$，得$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
解得$x=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化得：
$x=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
(2) 猜想：矩形$DCEF$是黄金矩形，证明如下：
∵ 四边形$ABEF$是正方形，$AB=1$，
∴ $AF=AB=1$。
由(1)可知原黄金矩形的长$AD=BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴ $FD=AD-AF=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $DC=AB=1$。
∴ 矩形$DCEF$的宽与长的比为$\frac{FD}{DC}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，因此矩形$DCEF$是黄金矩形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$；(2) 矩形$DCEF$是黄金矩形，证明见解析。
【知识点】
黄金矩形的定义，分母有理化，正方形的性质
【点评】
本题以著名建筑为背景，考查黄金矩形的判定与相关计算，解题的核心是紧扣黄金矩形的定义，通过比例运算和边长推导完成求解，同时也考查了二次根式的化简能力，注重基础概念的应用。
【难度系数】
0.7