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1. 如图，$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，$AD$，$A_1D_1$分别是$△ ABC$，$△ A_1B_1C_1$的角平分线。若$\frac{AB}{A_1B_1}=k$，则$\frac{AD}{A_1D_1}$的值是。
答案
$\boldsymbol{k}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，已知两个三角形相似，且给出了一组对应边的比值即相似比，要求的是对应角平分线的比值。可通过两种思路求解：一是直接利用相似三角形的性质，对应角平分线的比等于相似比直接得出结果；二是通过证明角平分线分割得到的小三角形相似，结合相似三角形对应边成比例推导结果。第一步先明确相似三角形的对应角相等，第二步结合角平分线的定义得到一组对应角相等，证明小三角形相似，第三步利用相似三角形对应边成比例得到所求比值。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，
$\therefore ∠ B = ∠ B_1$，$∠ BAC = ∠ B_1A_1C_1$，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
$\because AD$、$A_1D_1$分别是$△ ABC$、$△ A_1B_1C_1$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B_1A_1D_1=\frac{1}{2}∠ B_1A_1C_1$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B_1A_1D_1$。
在$△ ABD$和$△ A_1B_1D_1$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ B_1 \\∠ BAD = ∠ B_1A_1D_1\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
也可直接由“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”直接得$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
【答案】
$\boldsymbol{k}$
【知识点】
相似三角形的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，既可以直接利用相似三角形对应线段比等于相似比的结论快速作答，也可以通过证明小三角形相似推导结果，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，已知两个三角形相似，且给出了一组对应边的比值即相似比，要求的是对应角平分线的比值。可通过两种思路求解：一是直接利用相似三角形的性质，对应角平分线的比等于相似比直接得出结果；二是通过证明角平分线分割得到的小三角形相似，结合相似三角形对应边成比例推导结果。第一步先明确相似三角形的对应角相等，第二步结合角平分线的定义得到一组对应角相等，证明小三角形相似，第三步利用相似三角形对应边成比例得到所求比值。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，
$\therefore ∠ B = ∠ B_1$，$∠ BAC = ∠ B_1A_1C_1$，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
$\because AD$、$A_1D_1$分别是$△ ABC$、$△ A_1B_1C_1$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B_1A_1D_1=\frac{1}{2}∠ B_1A_1C_1$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B_1A_1D_1$。
在$△ ABD$和$△ A_1B_1D_1$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ B_1 \\∠ BAD = ∠ B_1A_1D_1\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
也可直接由“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”直接得$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
【答案】
$\boldsymbol{k}$
【知识点】
相似三角形的性质；角平分线的定义；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，既可以直接利用相似三角形对应线段比等于相似比的结论快速作答，也可以通过证明小三角形相似推导结果，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
2.如图,点D,E分别在边AB,AC上,且$△ ADE ∽ △ ABC$,相似比为$1:3$,AG⊥BC,交DE于点F,则$AF:AG=$。
答案
$\boldsymbol{1:3}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知△ADE∽△ABC，可推出对应角相等，进而得到DE与BC平行；再结合AG垂直BC的条件，可判断AF是△ADE的高、AG是△ABC的高，二者为相似三角形的一组对应高；最后利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，相似比为$1:3$，
∴∠ADE=∠B，
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∵AG⊥BC，
∴AG⊥DE，即AF是△ADE的边DE上的高，AG是△ABC的边BC上的高，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$AF:AG=1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
相似三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确识别AF和AG为两个相似三角形的对应高，牢记相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线等）的比都等于相似比即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据已知△ADE∽△ABC，可推出对应角相等，进而得到DE与BC平行；再结合AG垂直BC的条件，可判断AF是△ADE的高、AG是△ABC的高，二者为相似三角形的一组对应高；最后利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，即可求出二者的比值。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，相似比为$1:3$，
∴∠ADE=∠B，
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∵AG⊥BC，
∴AG⊥DE，即AF是△ADE的边DE上的高，AG是△ABC的边BC上的高，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$AF:AG=1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
相似三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确识别AF和AG为两个相似三角形的对应高，牢记相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线等）的比都等于相似比即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.图①是装满了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽度是。
答案
$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
本题是相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确高脚杯的纵截面为等腰三角形，液面始终保持水平，因此不同高度的液面与杯体顶点构成的三角形互为相似三角形；接下来分别计算两次液体部分对应三角形的高度，再利用相似三角形“对应边的比等于对应高的比”的性质，即可求出液面AB的宽度。
【解析】
解：液面平行于杯口所在边，因此液体部分形成的三角形与杯体的大三角形相似。
1. 计算图①中液体对应三角形的高：
顶点距离水平线高度为6cm，液面高度为14cm，因此该三角形高 $ h_1 = 14 - 6 = 8\ \mathrm{cm} $，对应底边长为6cm。
2. 计算图②中液体对应三角形的高：
此时液面高度为10cm，因此该三角形高 $ h_2 = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm} $，对应底边长为AB。
3. 根据相似三角形性质列比例式求解：
相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{6} = \frac{h_2}{h_1}$
代入数值：$\frac{AB}{6} = \frac{4}{8}$
解得：$ AB = 6 × \frac{4}{8} = 3\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题将生活场景与数学知识结合，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形模型，找准对应边和对应高的比例关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确高脚杯的纵截面为等腰三角形，液面始终保持水平，因此不同高度的液面与杯体顶点构成的三角形互为相似三角形；接下来分别计算两次液体部分对应三角形的高度，再利用相似三角形“对应边的比等于对应高的比”的性质，即可求出液面AB的宽度。
【解析】
解：液面平行于杯口所在边，因此液体部分形成的三角形与杯体的大三角形相似。
1. 计算图①中液体对应三角形的高：
顶点距离水平线高度为6cm，液面高度为14cm，因此该三角形高 $ h_1 = 14 - 6 = 8\ \mathrm{cm} $，对应底边长为6cm。
2. 计算图②中液体对应三角形的高：
此时液面高度为10cm，因此该三角形高 $ h_2 = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm} $，对应底边长为AB。
3. 根据相似三角形性质列比例式求解：
相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{AB}{6} = \frac{h_2}{h_1}$
代入数值：$\frac{AB}{6} = \frac{4}{8}$
解得：$ AB = 6 × \frac{4}{8} = 3\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的应用
【点评】
本题将生活场景与数学知识结合，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形模型，找准对应边和对应高的比例关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如果三角形的每条边都扩大为原来的2倍，那么三角形的每条高都为原来的倍。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
遇到三角形各边按相同倍数扩大的问题，首先可判断扩大后的三角形与原三角形是相似三角形，先确定两个三角形的相似比，再结合相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，就能求出高的变化倍数，也可通过面积公式验证推导结果。
【解析】
解法一：利用相似三角形性质求解
已知三角形每条边都扩大为原来的2倍，则扩大后的三角形与原三角形三边对应成比例，比例为2:1，因此两个三角形相似，相似比为2。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，因此扩大后三角形的每条高都为原来的2倍。
解法二：利用面积公式验证
设原三角形某条边长为$a$，对应高为$h$，面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}ah$。
边长扩大为$2a$后，新三角形与原三角形相似，面积比为相似比的平方，即新面积$S'=4S$。
设新三角形对应$2a$这条边的高为$h'$，则$S'=\frac{1}{2}×2a× h' = ah'$。
代入$S'=4S$得：$ah'=4×\frac{1}{2}ah$，化简得$h'=2h$，即高为原来的2倍。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类考题，主要考查相似三角形的性质应用，解题的关键是明确相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，注意不要和相似三角形面积比为相似比的平方混淆。
【难度系数】
0.8
遇到三角形各边按相同倍数扩大的问题，首先可判断扩大后的三角形与原三角形是相似三角形，先确定两个三角形的相似比，再结合相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，就能求出高的变化倍数，也可通过面积公式验证推导结果。
【解析】
解法一：利用相似三角形性质求解
已知三角形每条边都扩大为原来的2倍，则扩大后的三角形与原三角形三边对应成比例，比例为2:1，因此两个三角形相似，相似比为2。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，因此扩大后三角形的每条高都为原来的2倍。
解法二：利用面积公式验证
设原三角形某条边长为$a$，对应高为$h$，面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}ah$。
边长扩大为$2a$后，新三角形与原三角形相似，面积比为相似比的平方，即新面积$S'=4S$。
设新三角形对应$2a$这条边的高为$h'$，则$S'=\frac{1}{2}×2a× h' = ah'$。
代入$S'=4S$得：$ah'=4×\frac{1}{2}ah$，化简得$h'=2h$，即高为原来的2倍。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类考题，主要考查相似三角形的性质应用，解题的关键是明确相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，注意不要和相似三角形面积比为相似比的平方混淆。
【难度系数】
0.8
5.如图，小华做物理实验，蜡烛的火焰透过小孔，在成像板上形成倒立的实像。测得蜡烛的火焰高度是2 cm，所成实像的高度是4 cm。如果蜡烛到小圆孔的距离是10 cm，那么蜡烛与成像板之间的距离是。
答案
解：设成像板到小圆孔的距离为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据小孔成像原理，火焰与所成实像平行，可得对应两个三角形相似。
由相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{\mathrm{火焰高度}}{\mathrm{实像高度}} = \frac{\mathrm{蜡烛到小孔的距离}}{\mathrm{成像板到小孔的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{2}{4} = \frac{10}{x}$
解得 $ x = 20 $。
蜡烛与成像板之间的距离为 $ 10 + 20 = 30 \, \mathrm{cm} $。
答：蜡烛与成像板之间的距离是$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$。
根据小孔成像原理，火焰与所成实像平行，可得对应两个三角形相似。
由相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{\mathrm{火焰高度}}{\mathrm{实像高度}} = \frac{\mathrm{蜡烛到小孔的距离}}{\mathrm{成像板到小孔的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{2}{4} = \frac{10}{x}$
解得 $ x = 20 $。
蜡烛与成像板之间的距离为 $ 10 + 20 = 30 \, \mathrm{cm} $。
答：蜡烛与成像板之间的距离是$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
解题时首先结合小孔成像的特点：光沿直线传播，蜡烛火焰和所成实像均竖直，可知火焰两端与小孔构成的三角形、实像两端与小孔构成的三角形是相似三角形。我们可以先设成像板到小孔的距离为未知数，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出成像板到小孔的距离后，将其与蜡烛到小孔的距离相加，即可得到蜡烛与成像板之间的总距离。
【解析】
设成像板到小圆孔的距离为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据小孔成像原理，光线沿直线传播，火焰与实像均竖直，因此火焰两端与小孔形成的三角形和实像两端与小孔形成的三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{火焰高度}}{\mathrm{实像高度}} = \frac{\mathrm{蜡烛到小孔的距离}}{\mathrm{成像板到小孔的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{2}{4} = \frac{10}{x}$
解得 $ x = 20 $。
则蜡烛与成像板之间的距离为 $ 10 + 20 = 30 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的应用，比例方程求解
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，将物理中的小孔成像现象和数学中的相似三角形知识结合，考查学生用所学知识解决实际问题的能力，解题时要注意题干所求为蜡烛到成像板的总距离，不要误将像距当作最终结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合小孔成像的特点：光沿直线传播，蜡烛火焰和所成实像均竖直，可知火焰两端与小孔构成的三角形、实像两端与小孔构成的三角形是相似三角形。我们可以先设成像板到小孔的距离为未知数，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出成像板到小孔的距离后，将其与蜡烛到小孔的距离相加，即可得到蜡烛与成像板之间的总距离。
【解析】
设成像板到小圆孔的距离为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据小孔成像原理，光线沿直线传播，火焰与实像均竖直，因此火焰两端与小孔形成的三角形和实像两端与小孔形成的三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{火焰高度}}{\mathrm{实像高度}} = \frac{\mathrm{蜡烛到小孔的距离}}{\mathrm{成像板到小孔的距离}}$
代入已知数据：
$\frac{2}{4} = \frac{10}{x}$
解得 $ x = 20 $。
则蜡烛与成像板之间的距离为 $ 10 + 20 = 30 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{30\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的应用，比例方程求解
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，将物理中的小孔成像现象和数学中的相似三角形知识结合，考查学生用所学知识解决实际问题的能力，解题时要注意题干所求为蜡烛到成像板的总距离，不要误将像距当作最终结果。
【难度系数】
0.7
6. 提升题＞如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=7$,$AC=6$,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上。若以$A$,$D$,$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,且这两个三角形对应角的平分线的长度之比为$\frac{1}{4}$,求$AD$,$AE$的长。
答案
解：
∵ 相似三角形对应角平分线的长度之比等于相似比，由题意可知△ADE与△ABC的相似比为$\frac{1}{4}$。
又∵ ∠A是两个三角形的公共角，因此分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$，
$AE=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$，
$AE=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$。
综上，$AD=2, AE=\frac{3}{2}$ 或 $AD=\frac{3}{2}, AE=2$。
∵ 相似三角形对应角平分线的长度之比等于相似比，由题意可知△ADE与△ABC的相似比为$\frac{1}{4}$。
又∵ ∠A是两个三角形的公共角，因此分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$，
$AE=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$，
$AE=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$。
综上，$AD=2, AE=\frac{3}{2}$ 或 $AD=\frac{3}{2}, AE=2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，先由题目给出的角平分线比确定两个三角形的相似比为$\frac{1}{4}$。由于$△ ADE$和$△ ABC$有公共角$∠ A$，所以两个三角形相似时存在两种对应情况：第一种是$△ ADE ∽ △ ABC$，此时AD对应AB、AE对应AC；第二种是$△ AED ∽ △ ABC$，此时AD对应AC、AE对应AB。分别对两种情况根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长计算即可，注意不要遗漏任何一种相似情况。
【解析】
∵ 相似三角形对应角平分线的长度之比等于相似比，由题意可知$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\frac{1}{4}$。
又
∵ $∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，因此分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$，
$AE=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$，
$AE=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$。
【答案】
$AD=2, AE=\frac{3}{2}$ 或 $AD=\frac{3}{2}, AE=2$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形对应关系；比例运算
【点评】
本题考查相似三角形的性质及分类讨论思想，易错点是忽略公共角下相似的两种对应情况导致漏解，解题时要明确相似对应顶点的顺序，分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，先由题目给出的角平分线比确定两个三角形的相似比为$\frac{1}{4}$。由于$△ ADE$和$△ ABC$有公共角$∠ A$，所以两个三角形相似时存在两种对应情况：第一种是$△ ADE ∽ △ ABC$，此时AD对应AB、AE对应AC；第二种是$△ AED ∽ △ ABC$，此时AD对应AC、AE对应AB。分别对两种情况根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长计算即可，注意不要遗漏任何一种相似情况。
【解析】
∵ 相似三角形对应角平分线的长度之比等于相似比，由题意可知$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$\frac{1}{4}$。
又
∵ $∠ A$是$△ ADE$和$△ ABC$的公共角，因此分两种相似情况讨论：
① 当$△ ADE ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$，
$AE=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AED ∽ △ ABC$时：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$
代入$AB=8$，$AC=6$，得：
$AD=\frac{1}{4}× AC=\frac{1}{4}×6=\frac{3}{2}$，
$AE=\frac{1}{4}× AB=\frac{1}{4}×8=2$。
【答案】
$AD=2, AE=\frac{3}{2}$ 或 $AD=\frac{3}{2}, AE=2$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形对应关系；比例运算
【点评】
本题考查相似三角形的性质及分类讨论思想，易错点是忽略公共角下相似的两种对应情况导致漏解，解题时要明确相似对应顶点的顺序，分情况计算即可。
【难度系数】
0.6
