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1. 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”：
（1）任何一个有限小数都可以化成分数；（
（2）任何一个无限循环小数都可以化成分数；（
（3）任何一个分数都可以化成小数；（
（4）任何一个无限小数都是有理数。（
（1）任何一个有限小数都可以化成分数；（
√
）（2）任何一个无限循环小数都可以化成分数；（
√
）（3）任何一个分数都可以化成小数；（
√
）（4）任何一个无限小数都是有理数。（
×
）答案
1. (1) √. (2) √. (3) √. (4) ×.
解析
【分析】
要判断这4个说法的正误，首先我们需要明确小数的分类、有理数的定义以及小数和分数互化的规则：首先小数分为有限小数和无限小数，无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数；其次有理数包括整数和分数，所有有限小数、无限循环小数都属于分数范畴，无限不循环小数是无理数。我们结合这些规则逐个判断每个说法即可。
【解析】
（1）有限小数可以先写成分母为10、100、1000……的分数，再约分化为最简分数，例如0.12=12/100=3/25，因此任何有限小数都可以化成分数，说法正确。
（2）无限循环小数可以通过移位消去循环节的方法转化为分数，例如$0.\dot{7}=7/9$，所有无限循环小数都属于有理数，都能化成分数，说法正确。
（3）分数是分子除以分母的形式，做除法运算时，若能除尽则得到有限小数，若除不尽，余数会重复出现，对应得到无限循环小数，二者都属于小数，因此任何分数都可以化成小数，说法正确。
（4）无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数是无理数，例如圆周率π就是无限不循环小数，不属于有理数，因此该说法错误。
【答案】
(1) √；(2) √；(3) √；(4) ×
【知识点】
小数与分数互化；有理数的定义；小数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对有理数、小数、分数三者关系的理解，解题的关键是区分无限循环小数和无限不循环小数的属性，避免混淆有理数和无理数的概念。
【难度系数】
0.8
要判断这4个说法的正误，首先我们需要明确小数的分类、有理数的定义以及小数和分数互化的规则：首先小数分为有限小数和无限小数，无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数；其次有理数包括整数和分数，所有有限小数、无限循环小数都属于分数范畴，无限不循环小数是无理数。我们结合这些规则逐个判断每个说法即可。
【解析】
（1）有限小数可以先写成分母为10、100、1000……的分数，再约分化为最简分数，例如0.12=12/100=3/25，因此任何有限小数都可以化成分数，说法正确。
（2）无限循环小数可以通过移位消去循环节的方法转化为分数，例如$0.\dot{7}=7/9$，所有无限循环小数都属于有理数，都能化成分数，说法正确。
（3）分数是分子除以分母的形式，做除法运算时，若能除尽则得到有限小数，若除不尽，余数会重复出现，对应得到无限循环小数，二者都属于小数，因此任何分数都可以化成小数，说法正确。
（4）无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数是无理数，例如圆周率π就是无限不循环小数，不属于有理数，因此该说法错误。
【答案】
(1) √；(2) √；(3) √；(4) ×
【知识点】
小数与分数互化；有理数的定义；小数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对有理数、小数、分数三者关系的理解，解题的关键是区分无限循环小数和无限不循环小数的属性，避免混淆有理数和无理数的概念。
【难度系数】
0.8
2. 将下列有理数化成小数：
(1) $\frac{8}{25}$；
(2) $-\frac{17}{15}$；
(3) $3\frac{9}{11}$；
(4) $-\frac{13}{18}$。
(1) $\frac{8}{25}$；
(2) $-\frac{17}{15}$；
(3) $3\frac{9}{11}$；
(4) $-\frac{13}{18}$。
答案
2. (1) 0.32. (2) $-1.1\dot{3}$. (3) $3.\dot{8}\dot{1}$. (4) $-0.7\dot{2}$.
解析
【分析】
将有理数（分数）化为小数的核心方法是利用分数与除法的关系：分数的分子对应除法的被除数，分母对应除法的除数，通过分子除以分母计算结果。计算时注意：①带分数可先保留整数部分，仅将分数部分化为小数后再和整数部分合并；②负分数先计算对应正分数的小数结果，再添加负号；③除不尽时要识别循环规律，正确标注循环节。
【解析】
(1) 计算$\frac{8}{25}$：根据分数与除法的关系，$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$；
(2) 计算$-\frac{17}{15}$：先算$\frac{17}{15}=17÷15=1.1333···$，观察到小数部分从百分位开始重复出现3，即循环节为3，因此$\frac{17}{15}=1.1\dot{3}$，添加负号得结果为$-1.1\dot{3}$；
(3) 计算$3\frac{9}{11}$：先保留整数部分3，计算分数部分$\frac{9}{11}=9÷11=0.818181···$，观察到小数部分8、1重复出现，即循环节为81，因此$\frac{9}{11}=0.\dot{8}\dot{1}$，合并整数部分得结果为$3.\dot{8}\dot{1}$；
(4) 计算$-\frac{13}{18}$：先算$\frac{13}{18}=13÷18=0.7222···$，观察到小数部分从百分位开始重复出现2，即循环节为2，因此$\frac{13}{18}=0.7\dot{2}$，添加负号得结果为$-0.7\dot{2}$。
【答案】
(1) 0.32；(2) $-1.1\dot{3}$；(3) $3.\dot{8}\dot{1}$；(4) $-0.7\dot{2}$
【知识点】
1. 分数与除法的关系 2. 分数化小数 3. 循环小数表示
【点评】
本题属于分数化小数的基础常规题，核心考查分数与除法的转化能力，需要注意带分数、负分数的处理细节，以及循环节的准确判断和规范标注，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
将有理数（分数）化为小数的核心方法是利用分数与除法的关系：分数的分子对应除法的被除数，分母对应除法的除数，通过分子除以分母计算结果。计算时注意：①带分数可先保留整数部分，仅将分数部分化为小数后再和整数部分合并；②负分数先计算对应正分数的小数结果，再添加负号；③除不尽时要识别循环规律，正确标注循环节。
【解析】
(1) 计算$\frac{8}{25}$：根据分数与除法的关系，$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$；
(2) 计算$-\frac{17}{15}$：先算$\frac{17}{15}=17÷15=1.1333···$，观察到小数部分从百分位开始重复出现3，即循环节为3，因此$\frac{17}{15}=1.1\dot{3}$，添加负号得结果为$-1.1\dot{3}$；
(3) 计算$3\frac{9}{11}$：先保留整数部分3，计算分数部分$\frac{9}{11}=9÷11=0.818181···$，观察到小数部分8、1重复出现，即循环节为81，因此$\frac{9}{11}=0.\dot{8}\dot{1}$，合并整数部分得结果为$3.\dot{8}\dot{1}$；
(4) 计算$-\frac{13}{18}$：先算$\frac{13}{18}=13÷18=0.7222···$，观察到小数部分从百分位开始重复出现2，即循环节为2，因此$\frac{13}{18}=0.7\dot{2}$，添加负号得结果为$-0.7\dot{2}$。
【答案】
(1) 0.32；(2) $-1.1\dot{3}$；(3) $3.\dot{8}\dot{1}$；(4) $-0.7\dot{2}$
【知识点】
1. 分数与除法的关系 2. 分数化小数 3. 循环小数表示
【点评】
本题属于分数化小数的基础常规题，核心考查分数与除法的转化能力，需要注意带分数、负分数的处理细节，以及循环节的准确判断和规范标注，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 将下列无限循环小数化成分数：
(1) $5.\dot{4}$；
(2) $-0.1\dot{2}\dot{3}$。
说明：带“*”的内容为选学内容。
4. 现有一块面积为$625\ \mathrm{cm}^2$的正方形布料，欢欢为了完成某项手工制作，需要从中裁剪出一块面积为$360\ \mathrm{cm}^2$的长方形布料，使它的长宽之比为$5:2$。考虑到花纹设计，只能沿着平行于正方形布料的边进行裁剪，且不能拼接。欢欢认为一定能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料，你认为欢欢的想法对吗？为什么？
(1) $5.\dot{4}$；
(2) $-0.1\dot{2}\dot{3}$。
说明：带“*”的内容为选学内容。
4. 现有一块面积为$625\ \mathrm{cm}^2$的正方形布料，欢欢为了完成某项手工制作，需要从中裁剪出一块面积为$360\ \mathrm{cm}^2$的长方形布料，使它的长宽之比为$5:2$。考虑到花纹设计，只能沿着平行于正方形布料的边进行裁剪，且不能拼接。欢欢认为一定能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料，你认为欢欢的想法对吗？为什么？
答案
3. (1) $5 \frac{4}{9}$. (2) $-\frac{61}{495}$.
4. 欢欢的想法不对. 设长方形布料的长为5x cm，宽为2x cm. 根据题意，得$5x · 2x=360$，即$x^2=36$，根据平方根的意义，得$x=6$或$x=-6$(舍去)，因此长方形布料的长为30 cm. 而$\sqrt{625}=25$，即正方形布料的边长为25 cm. 长方形布料的长大于正方形布料的边长，所以不能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料.
4. 欢欢的想法不对. 设长方形布料的长为5x cm，宽为2x cm. 根据题意，得$5x · 2x=360$，即$x^2=36$，根据平方根的意义，得$x=6$或$x=-6$(舍去)，因此长方形布料的长为30 cm. 而$\sqrt{625}=25$，即正方形布料的边长为25 cm. 长方形布料的长大于正方形布料的边长，所以不能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料.
解析
【分析】
第3题是无限循环小数化分数问题，可通过设未知数、扩大倍数消去循环部分的方法求解：(1)是纯循环小数，循环节为1位，将小数部分乘10后与原数相减即可消去循环部分；(2)是混循环小数，不循环部分有1位、循环节有2位，先乘10将不循环部分移到整数位，再乘100将循环节整体移到整数位，两次结果相减即可消去循环部分，最后化简分数并带上符号即可。
第4题是实际裁剪的判断问题，解题思路为：先根据长方形长宽比和面积设未知数列方程，求出长方形的长，再计算正方形布料的边长，比较两者大小，若长方形的长小于等于正方形边长则可裁出，反之不可，注意求解平方根时负数根不符合实际意义需舍去。
【解析】
3. (1) 设$a=0.\dot{4}$，则$10a=4.\dot{4}$
两式相减得：$10a - a = 4.\dot{4} - 0.\dot{4}$，即$9a=4$，解得$a=\frac{4}{9}$
因此$5.\dot{4}=5 + 0.\dot{4}=5+\frac{4}{9}=5\frac{4}{9}$
(2) 设$b=0.1\dot{2}\dot{3}$，则$10b=1.\dot{2}\dot{3}$，$1000b=123.\dot{2}\dot{3}$
两式相减得：$1000b - 10b =123.\dot{2}\dot{3}-1.\dot{2}\dot{3}$，即$990b=122$，解得$b=\frac{122}{990}=\frac{61}{495}$
因此$-0.1\dot{2}\dot{3}=-\frac{61}{495}$
4. 欢欢的想法不对，理由如下：
设长方形布料的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$5x · 2x = 360$
整理得$10x^2=360$，即$x^2=36$
根据平方根的意义，$x=\pm6$，因为长方形边长为正数，故$x=-6$舍去，得$x=6$
因此长方形的长为$5x=5×6=30\ \mathrm{cm}$
已知正方形布料面积为$625\ \mathrm{cm}^2$，则正方形边长为$\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$
因为$30\ \mathrm{cm}＞25\ \mathrm{cm}$，长方形的长大于正方形的边长，所以无法裁出符合要求的长方形布料。
【答案】
3. (1) $5 \frac{4}{9}$；(2) $-\frac{61}{495}$
4. 欢欢的想法不对，不能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料。
【知识点】
1. 循环小数化分数
2. 平方根的运算
3. 列方程解应用题
【点评】
这两道题均属于基础应用型题目，第3题通过方程法消去循环部分，考察了无限循环小数转化为分数的推导方法；第4题结合实际生活中的裁剪场景，考察了平方根的实际应用，解题时需注意舍去不符合实际意义的负根，再通过边长比对得出结论，易错点为混循环小数化分数时倍数扩大错误，以及忽略边长的实际取值限制。
【难度系数】
0.7
第3题是无限循环小数化分数问题，可通过设未知数、扩大倍数消去循环部分的方法求解：(1)是纯循环小数，循环节为1位，将小数部分乘10后与原数相减即可消去循环部分；(2)是混循环小数，不循环部分有1位、循环节有2位，先乘10将不循环部分移到整数位，再乘100将循环节整体移到整数位，两次结果相减即可消去循环部分，最后化简分数并带上符号即可。
第4题是实际裁剪的判断问题，解题思路为：先根据长方形长宽比和面积设未知数列方程，求出长方形的长，再计算正方形布料的边长，比较两者大小，若长方形的长小于等于正方形边长则可裁出，反之不可，注意求解平方根时负数根不符合实际意义需舍去。
【解析】
3. (1) 设$a=0.\dot{4}$，则$10a=4.\dot{4}$
两式相减得：$10a - a = 4.\dot{4} - 0.\dot{4}$，即$9a=4$，解得$a=\frac{4}{9}$
因此$5.\dot{4}=5 + 0.\dot{4}=5+\frac{4}{9}=5\frac{4}{9}$
(2) 设$b=0.1\dot{2}\dot{3}$，则$10b=1.\dot{2}\dot{3}$，$1000b=123.\dot{2}\dot{3}$
两式相减得：$1000b - 10b =123.\dot{2}\dot{3}-1.\dot{2}\dot{3}$，即$990b=122$，解得$b=\frac{122}{990}=\frac{61}{495}$
因此$-0.1\dot{2}\dot{3}=-\frac{61}{495}$
4. 欢欢的想法不对，理由如下：
设长方形布料的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$5x · 2x = 360$
整理得$10x^2=360$，即$x^2=36$
根据平方根的意义，$x=\pm6$，因为长方形边长为正数，故$x=-6$舍去，得$x=6$
因此长方形的长为$5x=5×6=30\ \mathrm{cm}$
已知正方形布料面积为$625\ \mathrm{cm}^2$，则正方形边长为$\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$
因为$30\ \mathrm{cm}＞25\ \mathrm{cm}$，长方形的长大于正方形的边长，所以无法裁出符合要求的长方形布料。
【答案】
3. (1) $5 \frac{4}{9}$；(2) $-\frac{61}{495}$
4. 欢欢的想法不对，不能用这块正方形布料裁出符合要求的长方形布料。
【知识点】
1. 循环小数化分数
2. 平方根的运算
3. 列方程解应用题
【点评】
这两道题均属于基础应用型题目，第3题通过方程法消去循环部分，考察了无限循环小数转化为分数的推导方法；第4题结合实际生活中的裁剪场景，考察了平方根的实际应用，解题时需注意舍去不符合实际意义的负根，再通过边长比对得出结论，易错点为混循环小数化分数时倍数扩大错误，以及忽略边长的实际取值限制。
【难度系数】
0.7
