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1. 任何一个数的平方根一定是无理数吗？任何一个数的立方根一定是无理数吗？请说明理由。
答案
不一定是. 例如，1的平方根是±1，1的立方根是1，它们都是有理数.
解析
【分析】
这道题考查对平方根、立方根和无理数概念的辨析，要判断“所有数的平方根/立方根都是无理数”这类全称命题是否成立，只需找到至少一个反例就能推翻结论。我们可以结合平方根、立方根的定义，寻找开平方或开立方后结果为有理数的数作为反例即可完成推导。
【解析】
1. 判断“任何一个数的平方根一定是无理数”是否成立：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。取$a=1$，可得$(\pm1)^2=1$，即1的平方根是$\pm1$，$\pm1$属于有理数，因此该说法不成立。
2. 判断“任何一个数的立方根一定是无理数”是否成立：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。取$a=1$，可得$1^3=1$，即1的立方根是1，1属于有理数，因此该说法也不成立。
【答案】
不一定是. 例如，1的平方根是±1，1的立方根是1，它们都是有理数.
【知识点】
平方根的概念，立方根的概念，无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是掌握“举反例否定全称命题”的逻辑方法，要注意区分开方运算的结果特征，避免形成“开方得到的数都是无理数”的错误认知。
【难度系数】
0.9
这道题考查对平方根、立方根和无理数概念的辨析，要判断“所有数的平方根/立方根都是无理数”这类全称命题是否成立，只需找到至少一个反例就能推翻结论。我们可以结合平方根、立方根的定义，寻找开平方或开立方后结果为有理数的数作为反例即可完成推导。
【解析】
1. 判断“任何一个数的平方根一定是无理数”是否成立：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。取$a=1$，可得$(\pm1)^2=1$，即1的平方根是$\pm1$，$\pm1$属于有理数，因此该说法不成立。
2. 判断“任何一个数的立方根一定是无理数”是否成立：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。取$a=1$，可得$1^3=1$，即1的立方根是1，1属于有理数，因此该说法也不成立。
【答案】
不一定是. 例如，1的平方根是±1，1的立方根是1，它们都是有理数.
【知识点】
平方根的概念，立方根的概念，无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是掌握“举反例否定全称命题”的逻辑方法，要注意区分开方运算的结果特征，避免形成“开方得到的数都是无理数”的错误认知。
【难度系数】
0.9
2. 写出在4和5之间的一个无理数.
答案
答案不唯一，如$\sqrt{17}$、$3\sqrt{2}$、$\sqrt{21}$等.
解析
【分析】
要找出4和5之间的无理数，首先明确无理数是无限不循环小数，常见的开方开不尽的数属于无理数。我们可以先把4和5转化为算术平方根的形式，再利用算术平方根的大小规律找符合要求的数：先计算4和5的平方，可得4²=16，5²=25，因此只要找被开方数在16和25之间、且不是完全平方数的数，它的算术平方根就是4和5之间的无理数，也可以构造其他形式的符合要求的无理数。
【解析】
1. 先计算4、5的平方：$4^2=16$，$5^2=25$，因此可得$4=\sqrt{16}$，$5=\sqrt{25}$。
2. 根据算术平方根的性质：被开方数大于0时，被开方数越大，对应的算术平方根越大。因此只要取被开方数$a$满足$16＜a＜25$，且$a$不是完全平方数，那么$\sqrt{a}$就是无理数，同时满足$4＜\sqrt{a}＜5$。
比如取$a=17$时，$\sqrt{17}$就符合要求；$3\sqrt{2}=\sqrt{9×2}=\sqrt{18}$，也在4和5之间；$\sqrt{21}$的被开方数21在16和25之间，同样符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$\sqrt{17}$、$3\sqrt{2}$、$\sqrt{21}$等.
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 算术平方根的大小比较
3. 实数的大小比较
【点评】
本题是基础开放类题型，主要考查对无理数概念的理解，以及实数大小比较方法的运用，解题思路灵活，答案不唯一，只要满足数值在4到5之间且是无限不循环小数即可。
【难度系数】
0.8
要找出4和5之间的无理数，首先明确无理数是无限不循环小数，常见的开方开不尽的数属于无理数。我们可以先把4和5转化为算术平方根的形式，再利用算术平方根的大小规律找符合要求的数：先计算4和5的平方，可得4²=16，5²=25，因此只要找被开方数在16和25之间、且不是完全平方数的数，它的算术平方根就是4和5之间的无理数，也可以构造其他形式的符合要求的无理数。
【解析】
1. 先计算4、5的平方：$4^2=16$，$5^2=25$，因此可得$4=\sqrt{16}$，$5=\sqrt{25}$。
2. 根据算术平方根的性质：被开方数大于0时，被开方数越大，对应的算术平方根越大。因此只要取被开方数$a$满足$16＜a＜25$，且$a$不是完全平方数，那么$\sqrt{a}$就是无理数，同时满足$4＜\sqrt{a}＜5$。
比如取$a=17$时，$\sqrt{17}$就符合要求；$3\sqrt{2}=\sqrt{9×2}=\sqrt{18}$，也在4和5之间；$\sqrt{21}$的被开方数21在16和25之间，同样符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$\sqrt{17}$、$3\sqrt{2}$、$\sqrt{21}$等.
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 算术平方根的大小比较
3. 实数的大小比较
【点评】
本题是基础开放类题型，主要考查对无理数概念的理解，以及实数大小比较方法的运用，解题思路灵活，答案不唯一，只要满足数值在4到5之间且是无限不循环小数即可。
【难度系数】
0.8
