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4. 一个棱长为2 cm 的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加为原来的8倍，求新正方体的棱长. 
答案
新正方体的棱长为4 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，回忆正方体体积公式，正方体体积等于棱长的立方，先求出原正方体的体积；第二步，根据体积增加为原来的8倍，计算出新正方体的体积；第三步，已知新正方体体积，对体积开立方即可得到新正方体的棱长。
【解析】
解：已知原正方体棱长为2 cm，根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长）：
1. 计算原正方体体积：$V_{\mathrm{原}}=2^3=8\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算新正方体体积：体积增加为原来的8倍，故$V_{\mathrm{新}}=8× V_{\mathrm{原}}=8×8=64\ \mathrm{cm}^3$
3. 设新正方体棱长为$a_{\mathrm{新}}$，则$a_{\mathrm{新}}^3=V_{\mathrm{新}}=64$，对64开立方得：$a_{\mathrm{新}}=\sqrt[3]{64}=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
新正方体的棱长为4 cm.
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将正方体体积公式和立方根运算结合考查，解题核心是理清体积和棱长的对应关系，熟练掌握乘方和开立方的运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，回忆正方体体积公式，正方体体积等于棱长的立方，先求出原正方体的体积；第二步，根据体积增加为原来的8倍，计算出新正方体的体积；第三步，已知新正方体体积，对体积开立方即可得到新正方体的棱长。
【解析】
解：已知原正方体棱长为2 cm，根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长）：
1. 计算原正方体体积：$V_{\mathrm{原}}=2^3=8\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算新正方体体积：体积增加为原来的8倍，故$V_{\mathrm{新}}=8× V_{\mathrm{原}}=8×8=64\ \mathrm{cm}^3$
3. 设新正方体棱长为$a_{\mathrm{新}}$，则$a_{\mathrm{新}}^3=V_{\mathrm{新}}=64$，对64开立方得：$a_{\mathrm{新}}=\sqrt[3]{64}=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
新正方体的棱长为4 cm.
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将正方体体积公式和立方根运算结合考查，解题核心是理清体积和棱长的对应关系，熟练掌握乘方和开立方的运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 将平方根和立方根的定义加以推广，可以给出n次方根的定义：如果一个数x的n次方(n是大于1的整数)等于a，即$x^n=a$，那么这个数x叫作a的n次方根。
请根据以上定义，解答下列问题：
(1) 求81的四次方根。
(2) 求−128的七次方根。
(3) 求下列各式中未知数x的值：
① $32x^5 +243=0$；
② $x^6=(-8)^2$。
拓展与思考
请根据以上定义，解答下列问题：
(1) 求81的四次方根。
(2) 求−128的七次方根。
(3) 求下列各式中未知数x的值：
① $32x^5 +243=0$；
② $x^6=(-8)^2$。
拓展与思考
答案
(1) 因为 $3^4=81$，$(-3)^4=81$，所以 81 的四次方根是$\pm3$.
(2) 因为$(-2)^7=-128$，所以$-128$的七次方根是$-2$.
(3) ① 因为 $32x^5+243=0$，可得 $x^5=-\frac{243}{32}$. 因为$(-\frac{3}{2})^5=-\frac{243}{32}$，所以 $x=-\frac{3}{2}$.
② 由 $x^6=(-8)^2$，可得 $x^6=64$. 因为 $2^6=64$，$(-2)^6=64$，所以 $x=\pm2$.
(2) 因为$(-2)^7=-128$，所以$-128$的七次方根是$-2$.
(3) ① 因为 $32x^5+243=0$，可得 $x^5=-\frac{243}{32}$. 因为$(-\frac{3}{2})^5=-\frac{243}{32}$，所以 $x=-\frac{3}{2}$.
② 由 $x^6=(-8)^2$，可得 $x^6=64$. 因为 $2^6=64$，$(-2)^6=64$，所以 $x=\pm2$.
解析
【分析】
解题前首先明确n次方根的核心性质：当n为偶数时，正数的n次方根有2个，互为相反数，负数没有偶次方根；当n为奇数时，任意实数的n次方根只有1个，符号与被开方数一致。
(1) 四次方是偶次，只需找到所有满足$x^4=81$的x即可；
(2) 七次方是奇次，找到唯一满足$x^7=-128$的x即可；
(3) 求解高次方程时，先整理为$x^n=a$的形式，再根据n的奇偶性求根，偶次注意不要漏负根，奇次直接求唯一根即可。
【解析】
(1) 计算得$3^4=81$，$(-3)^4=81$，结合四次方根的定义，满足$x^4=81$的x为$\pm3$，因此81的四次方根是$\pm3$。
(2) 计算得$(-2)^7=-128$，结合七次方根的定义，满足$x^7=-128$的x为$-2$，因此$-128$的七次方根是$-2$。
(3) ① 对$32x^5 +243=0$移项得$32x^5=-243$，化简为$x^5=-\frac{243}{32}$。计算得$(-\frac{3}{2})^5=-\frac{243}{32}$，5是奇数，因此x只有唯一解，即$x=-\frac{3}{2}$。
② 先化简等号右侧得$x^6=(-8)^2=64$，计算得$2^6=64$，$(-2)^6=64$，6是偶数，因此x有两个解，即$x=\pm2$。
【答案】
(1) $\pm3$
(2) $-2$
(3) ① $x=-\frac{3}{2}$；② $x=\pm2$
【知识点】
n次方根的定义，乘方运算，解简单高次方程
【点评】
本题是n次方根的基础应用类题目，解题核心是区分奇次、偶次方根的性质差异，偶次方根要注意正数有两个互为相反数的根，避免漏解，熟练掌握常见整数的乘方可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确n次方根的核心性质：当n为偶数时，正数的n次方根有2个，互为相反数，负数没有偶次方根；当n为奇数时，任意实数的n次方根只有1个，符号与被开方数一致。
(1) 四次方是偶次，只需找到所有满足$x^4=81$的x即可；
(2) 七次方是奇次，找到唯一满足$x^7=-128$的x即可；
(3) 求解高次方程时，先整理为$x^n=a$的形式，再根据n的奇偶性求根，偶次注意不要漏负根，奇次直接求唯一根即可。
【解析】
(1) 计算得$3^4=81$，$(-3)^4=81$，结合四次方根的定义，满足$x^4=81$的x为$\pm3$，因此81的四次方根是$\pm3$。
(2) 计算得$(-2)^7=-128$，结合七次方根的定义，满足$x^7=-128$的x为$-2$，因此$-128$的七次方根是$-2$。
(3) ① 对$32x^5 +243=0$移项得$32x^5=-243$，化简为$x^5=-\frac{243}{32}$。计算得$(-\frac{3}{2})^5=-\frac{243}{32}$，5是奇数，因此x只有唯一解，即$x=-\frac{3}{2}$。
② 先化简等号右侧得$x^6=(-8)^2=64$，计算得$2^6=64$，$(-2)^6=64$，6是偶数，因此x有两个解，即$x=\pm2$。
【答案】
(1) $\pm3$
(2) $-2$
(3) ① $x=-\frac{3}{2}$；② $x=\pm2$
【知识点】
n次方根的定义，乘方运算，解简单高次方程
【点评】
本题是n次方根的基础应用类题目，解题核心是区分奇次、偶次方根的性质差异，偶次方根要注意正数有两个互为相反数的根，避免漏解，熟练掌握常见整数的乘方可提升解题效率。
【难度系数】
0.85
